高考专题 函数对称性

1、y2一 知识点精讲： i 函数 y = f ( x )函数对称性图象本身的对称性（自身对称）1、 f ( a +x) = f (b -x ) y = f ( x )图象关于直线x =( a +x ) +( b -x ) a +b=2 2对称证明：函数y = f ( x)图象上的任一点p ( x , y )（满足 0 0f ( x ) =y 00）关于直线x =a +b2的对 称 点 为 q(a +b-x , y )0 0f ( a +b -x ) = f (b -x ) +a = f b -(b -x ) = f ( x ) =y0 0 0 0 0a +b点 q 仍在函数 y = f ( x

2、) 的图象上，从而函数 y =f (x)的图象关于直线 x =2推论 1： f ( a +x ) = f ( a -x ) y = f ( x ) 的图象关于直线 x =a 对称 推论 2、 f ( x ) = f (2a -x ) y = f ( x ) 的图象关于直线 x =a 对称对称.，推论 3、f ( -x) = f (2a +x ) y = f ( x )的图象关于直线 x =a 对称2、f ( a +x ) + f (b -x ) =2 c y = f ( x)a +b的图象关于点 ( , c )2对称证明：函数y = f ( x )图象上的任一点p ( x , y ) 0 0（

3、满足f ( x ) =y 00）关于点(a +b2, c )的对 称 点 为 q(a +b-x ,2c -y )0 0f ( a +b -x ) = f (b -x ) +a =2c - f b -(b -x ) =2c - f ( x ) =2c -y0 0 0 0 0a +b 点 q 仍在函数 y = f ( x) 的图象上，从而函数 y =f ( x) 的图象关于点 ( , c) 对称.2，推论 1、f ( a +x ) + f ( a -x ) =2b y = f ( x )的图象关于点 ( a , b)对称推论 2、f ( x ) + f (2a -x ) =2by = f ( x)

4、的图象关于点 ( a , b )对称推论 3、 f (-x) + f (2 a +x ) =2b y =f ( x)的图象关于点 (a, b )对称ii 两个函数的图象对称性（相互对称）1、y = f ( x ) 与 y = f ( -x)图象关于 轴对称2、y = f ( x )与y =-f ( -x)图象关于原点对称函数3、函数y= f ( x )与y =-f ( x )图象关于x轴对称4、函数y = f ( x)与其反函数y = f-1( x )图象关于直线 y =x 对称5.函数y = f ( a +x ) 与 y = f (b -x )图象关于直线x =b -a2对称证明：函数 y

5、= f ( a +x ) 图象上的任一点 b -ax = 的对称点为 q(b -a -x , y )0 0p ( x , y ) （满足 f ( a +x ) =y ）关于直线 0 0 0 0， f b -(b -a -x ) = f ( a +x ) =y0 0 0点 q 在函数 y = f (b -x )的图象上；反之函数y = f (b -x )的图象上任一点关于直线142222x =b -a2的 对 称 点 也 在 函 数y = f (a +x )图 象 上 . 从 而 函 数y = f (a +x )与y = f (b -x )b -a的图象关于直线 x = 对称.2推论 1:函数

6、y = f ( a +x )与 y = f ( a -x )图象关于直线 x =0 对称推论 2:函数 y = f ( x )与 y = f (2 a -x )图象关于直线x =a对称推论 3:函数 y = f ( -x)与 y = f (2a +x )图象关于直线x =-a对称6 若函数y = f ( x)的定义域为r，则函数y = f (a +x )与y =-f (b -x )的图象关于点b -a( ,0)2对称.证明：函数 y = f (a +x ) b -a( ,0) 的对称点为 2图象上的任一点 p ( x , y ) （满足 f ( a +x ) =y ）关于点0 0 0 0q(b

7、 -a -x , -y ) ， -f b -(b -a -x ) =-f (a +x ) =-y 0 0 0 0 0点q在函数y =-f (b -x )的图象上；反之函数y =-f (b -x )的图象上任一点关于点(b -a2,0)的 对 称 点 也 在 函 数y = f (a +x )图 象 上 . 从 而 函 数y = f (a +x )与y =-f (b -x )的图象关于点(b -a2,0)对称.二 典例解析：1、定义在实数集上的奇函数f ( x )恒满足f (1 +x ) = f (1 -x )，且x ( -1,0)时,f ( x ) =2x+15,则f (log 20) =2_。

8、解析：y = f ( x)关于直线 x =1 对称， f (-x) = f (2 +x )，又 是f ( x )奇函数，f ( -x) =-f ( x )，故有f (2 +x ) =-f ( x )， t = 4 ,5 4 log 1f (log 20) = f (log 20 -4) = f (log ) =-f (log ) =-2 25 - =-14 5 5答 案为：-12、已知函数y = f ( x)满足f ( x ) + f (2 -x ) =0，则y = f ( x)图象关于_对称。解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知y = f ( x )图象关于(1,0)对称3、函数y =

9、f ( x -1)与函数y = f (1 -x )的图象关于关于_对称。解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于x =1对称 答案：x =14、设函数y = f ( x )的定义域为 r，且满足f ( x -1) = f (1 -x ) ，则 y = f ( x )的图象关于_对称。解析：这是一个函数的对称性，y = f ( x )的图象关于 y 轴即 x =0 对称 答案：x =05、设函数y = f ( x )的定义域为 r，且满足f ( x +1) = f (1 -x ) ，则 y = f ( x +1)的图象关于_对称。解析：y = f ( x )关于直线 x =1 对称， y =

10、 f ( x +1) 是由 y = f ( x)向左平移一个单位得到2的， 故y = f ( x +1)的图象关 y 轴对称 正确答案为 y 轴6、设y = f ( x)的定义域为 r，且对任意x r，有f (1 -2 x) = f (2 x )，则y = f ( x )关于_对称，y = f (2 x)图象关于_对称，。解析：令t =2 x， 则有f (1 -t ) = f (t ) y = f (t )关于直线t =12， 即y = f ( x)关于x =12对称，y = f (2 x) 是由 y = f ( x )1的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，2y = f (2 x)关于x =

11、1 1 1 对称。 正确答案为 x = ， x =4 2 47、已知函数y = f ( x )对一切实数 x 满足f (2 -x ) = f (4 +x )，且方程f ( x ) =0有 5 个实根，则这 5 个实根之和为_解析：y = f ( x )的图象关于直线x =3对称，故五个实根，有两对关于直线x =3对称，它们的和为12，还有一个根就是3。故这 5 个实根之和为 15，正确答案为 158、设函数y = f ( x )的定义域为 r，则下列命题中，若y = f ( x )是偶函数，则y = f ( x +2)图象关于 y 轴对称；若y = f ( x +2)是偶函数，则y = f ( x)图象关于直线x =2对称；若f ( x -2) = f (2 -x )