圆锥曲线试题及答案

1、故可设椭圆方程为221(ab0)2由题意知ac4，解得a2，b2.c，因此x0c2又ax0a，ac2e2e1a.1b.1c.1d.1aa2ba213cb2db22bac4，故所求椭圆方程为1.222a(0，b(0，c21,1)d，1)11.又0e1，eb0)与双曲线c2：x241有公共的焦点，c2的一条渐近线与以c1的长轴为直径的圆相交于a，b两点，若c1恰好将线段ab三等分，则()13212解析：选c.由题意知，a2b25，因此椭圆方程为(a25)x2a2y25a2a40，双曲线的一条渐近线方程为y2x，联立方程消去y，得(5a25)x25a2a40，直线截椭圆的弦长d52a45a22a，5

2、a25311122x2y23椭圆a2b21(ab0)的右焦点为f，其右准线与x轴的交点为a，在椭圆上存在点p满足线段ap的垂直平分线过点f，则椭圆离心率的取值范围是()212212a2解析：选d.设p(x0，y0)，则|pf|aex0.又点f在ap的垂直平分线上，aex0ca(aca2c2).a(aca2c2)b0)，以其左焦点f1(c,0)为圆心，以ac为半径作圆，过上顶点b2(0，b)作圆f1的两条切线，设切点分别为m，n.若过两个切点m，n的直线恰好经过下顶点b1(0，b)，则椭圆e的离心率为()a.21b.31c.52d.73解析：选b.由题意得，圆f1:(xc)2y2(ac)2.设m

3、(x1，y1)，n(x2，y2)，则切线b2m：(x1c)(xc)y1y(ac)2，切线b2n：(x2c)(xc)y2y(ac)2.又两条切线都过点b2(0，b)，所以c(x1c)y1b(ac)2，c(x2c)y2b(ac)2.所以直线c(xc)yb(ac)2就是过点m、n的直线又直线mn过点b1(0，b)，代入化简得c2b2(ac)2，所以e31.二、填空题6(2011高考课标全国卷)在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为原点，焦点f1，2f2在x轴上，离心率为2.过f1的直线l交c于a，b两点，且abf2的周长为16，那么c的方程为_x2y2解析：设椭圆方程为a2b21，2c2b212a

4、2a2由于abf2的周长为|ab|bf2|af2|af1|af2|bf1|bf2|4a16，故a4.b28.x2y2168x2y21687(2011高考江西卷)若椭圆221的焦点在x轴上，过点1，2作圆x2y21的x2y21ab切线，切点分别为a，b，直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_解析：由题意可得切点a(1,0)n1切点b(m，n)满足m1m，解得b5，5.nm2n2134椭圆方程为1.答案：1过切点a，b的直线方程为2xy20.令y0得x1，即c1；令x0得y2，即b2.a2b2c25，x2y254x2y254x2y228(2012高考四川卷)椭圆a51(a为定值，且a

5、5)的左焦点为f，直线xm与椭圆相交于点a、b，fab的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_解析：设椭圆的右焦点为f，如图，故椭圆方程为1，所以c2，所以e.3(2)如果af22f2b，求椭圆c的方程由椭圆定义知，|af|af|bf|bf|2a.又fab的周长为|af|bf|ab|af|bf|af|bf|4a，当且仅当ab过右焦点f时等号成立此时4a12，则a3.x2y295c2a32答案：三、解答题x2y29设f1，f2分别为椭圆c：a2b21(ab0)的左，右焦点，过f2的直线l与椭圆c相交于a，b两点，直线l的倾斜角为60，f1到直线l的距离为23.(1)求椭圆c的焦距；解：(1)设

6、椭圆c的焦距为2c，由已知可得f1到直线l的距离3c23，故c2.所以椭圆c的焦距为4.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意知y10，直线l的方程为y3(x2)解得y1，y2.而a2b24，所以b5.故椭圆c的方程为1.y3(x2)联立x2y2，得(3a2b2)y243b2y3b40.a2b213b2(22a)3b2(22a)3a2b23a2b2因为af22f2b，所以y12y2.3b2(22a)3b2(22a)即2，得a3.3a2b23a2b2x2y29510(2011高考辽宁卷)如图，已知椭圆c1的中心在原点o，长轴左、右端点m，n在x轴上，椭圆c2的短轴为mn，且c1，c2

7、的离心率都为e.直线lmn，l与c1交于两点，与c2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为a，b，c，d.(1)设e，求|bc|与|ad|的比值；a2t2，bt，a2t2.当e时，ba，分别用ya，yb表示a，b的纵坐标，可知|bc|ad|.22a2t2a2t2t1e2解得ta.a2b21e2因为|t|a，又0e1，所以1，解得e1.所以当0e时，不存在直线l，使得boan；当eb0)设直线l：xt(|t|b0)的左、右焦点分别为f1、f2，其中f25也是抛物线c2：y24x的焦点，m是c1与c2在第一象限的交点，且|mf2|3.(1)求椭圆c1的方程；(2)已知菱形abcd的顶点a、c在椭圆

8、c1上，顶点b、d在直线7x7y10上，求直线ac的方程5解：(1)设m(x1，y1)，f2(1,0)，|mf2|3.52由抛物线定义，x113，x13，261y24x1，y13.m(，)，m在c1上，21，a24或a20，m27，7m0)焦点为f2，0，准线为直线x.由题意知2，p4，由题意知2a4，a2.双曲线渐近线yx中与准线x交于(2，1)的渐近线为yx，1(x，a2ab，.yx，同理可得bc，c.22abbabb，fb，.22fafb0，即cc0，b40，a2.a2c(，1)d(2，)x2y21(2011高考湖南卷)设双曲线a291(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()a4

9、b3c2d132双曲线的焦点在x轴上，93x2y222(2011高考天津卷)已知双曲线ab21(a0，b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为()a23b25c43d45解析：选b.双曲线左顶点为a1(a,0)，bapp2p2bpbb22222)，b1.c2a2b25，c5，2c25.3设双曲线的左准线与两条渐近线交于a、b两点，左焦点在以ab为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为()a(0，2)b(1，2)22a2cb解析：选b.法一：由得accaa2ab又左焦点f(c,0)，facccc点f在

10、以ab为直径的圆内，b2abb2a2，即c2a2a2，c22a2，即e22，e1，1e2.xa，法二：由得ac，c.2cbyax，a2aba2，ab.左焦点f到圆心的距离小于半径长，即cb.e121，1e0，b0)的两条渐近线均和圆c：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆c的圆心，则该双曲线的方程为()x2y2x2y25445x2y2x2y23663x2y2b解析：选a.双曲线a2b21的渐近线方程为yax，圆c的标准方程为(x3)2y24，圆心为c(3,0)又渐近线方程与圆c相切，即直线bxay0与圆c相切，3ba2b22，5b24a2.x2y2又a2b21的右焦点f2(a2b2，0)

11、为圆心c(3,0)，双曲线的标准方程为1.6(2011高考四川卷)双曲线1上一点p到双曲线右焦点的距离是4，那么点pa2b29.由得a25，b24.x2y254二、填空题x2y26436的第二定义有，即d16.到左准线的距离是_x2y2解析：由64361可知a8，b6，则c10，设双曲线的左、右焦点分别为f1、f2，由|pf2|4及双曲线的第一定义得|pf1|16420.设点p到左准线的距离为d，由双曲线2010d8答案：16bx2y227(2012高考重庆卷)设p为直线y3ax与双曲线ab21(a0，b0)左支的交点，f1是左焦点，pf1垂直于x轴，则双曲线的离心率e_.bx2y2解析：直线

12、y3ax与双曲线a2b21相交，yx，1消去y得x，由b3ax2y2a2b232a4又pf1垂直于x轴，c，即e.432ac324a432答案：y28已知双曲线x2b21(b0)的一条渐近线的方程为y2x，则b_.bb22，解析：双曲线的焦点在x轴上，aa24.a21，b24.又b0，b2.答案：2三、解答题x2y29由双曲线941上的一点p与左、右两焦点f1、f2构成1f，求pf1f2的内切圆与边f1f2的切点坐标n.解：由双曲线方程知a3，b2，c13.当点p在双曲线的右支上时，如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得|pf1|pf2|2a.由于|nf1|nf2|pf1|

13、pf2|2a.|nf1|nf2|2c.ac，由得|nf1|2a2c2|on|nf1|of1|acca3.故切点n的坐标为(3,0)根据对称性，当p在双曲线左支上时，切点n的坐标为(3,0)|pq|xq3m23，xr3m2310(2012高考四川卷)如图，动点m与两定点a(1,0)、b(1,0)构成mab，且直线ma、mb的斜率之积为4.设动点m的轨迹为c.(1)求轨迹c的方程；(2)设直线yxm(m0)与y轴相交于点p，与轨迹c相交于点q，r，且|pq|pr|，|pr|求的取值范围解：(1)设m的坐标为(x，y)，当x1时，直线ma的斜率不存在；当x1时，直线mb的斜率不存在yy于是x1且x1

14、.此时，ma的斜率为，mb的斜率为.x1x1yy由题意，有4.化简可得，4x2y240.x1x1故动点m的轨迹c的方程为4x2y240(x1且x1)yxm(2)由，4x2y240消去y，可得3x22mxm240.(*)对于方程(*)，其判别式(2m)243(m24)16m2480，而当1或1为方程(*)的根时，m的值为1或1.结合题设(m0)可知，m0且m1.设q、r的坐标分别为(xq，yq)，(xr，yr)，则xq，xr为方程(*)的两根因为|pq|pr|，所以|xq|xr|，m2m2.xr|pr|pq|xq1211212121所以223m21.33mm所以113，且1，21212121所以

15、1xr1，且1此时1mm22，225333mm|pr|x|pr|x5qq|pr|55|pq|x24|x12y1|x12y1|x12y1|x12y1|x214y21|4.则|pa|2(x3)2y2(x3)21(x)2，|x|2，当x时，|pa|2取到最小值，即|pa|的最小值为.a.b1解析：选c.由抛物线的标准方程得准线方程为x.由x2y26x70得(x3)2准线与圆相切，34，p2.(1)求证：点p到双曲线c的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点a的坐标为(3,0)，求|pa|的最小值解：(1)证明：设p(x1，y1)是双曲线c上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x2y0和x2

16、y0，点p(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和，555555故点p到双曲线c的两条渐近线的距离的乘积是一个常数(2)设点p的坐标为(x，y)(|x|2)，x24512445512455255抛物线一、选择题1已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为()12c2d4p2y216.p22(2012高考四川卷)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点m(2，y0)若点m到该抛物线焦点的距离为3，则|om|()a22b23c4d25解析：选b.由题意设抛物线方程为y22px(p0)，pp0则m到焦点的距离为xm2223，p2，y24x.y242，y02

17、2，0|om|4y24823.3(2013四川成都模拟)设抛物线y28x的焦点为f，过点f作直线l交抛物线于a、b两点若线段ab的中点e到y轴的距离为3，则弦ab的长为()a5b8c10d12解析：选c.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，|ab|af|bf|x1x24，xx2又e到y轴距离为3，123.故直线l的方程为x.代入y22px得yp，即|ab|2p，又|ab|12，故p6，所以抛a2.设直线与抛物线的切点横坐标为x0，|ab|10.l4(2011高考课标全国卷)已知直线l过抛物线c的焦点，且与c的对称轴垂直，与c交于a，b两点，|ab|12，p为c的准线上一点，则abp的面积为(

18、)a18b24c36d48解析：选c.不妨设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，p21物线的准线方程为x3，故abp261236.5(2011高考四川卷)在抛物线yx2ax5(a0)上取横坐标为x14，x22的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x25y236相切，则抛物线顶点的坐标为()a(2，9)b(0，5)c(2，9)d(1，6)解析：选a.当x14时，y1114a；当x22时，y22a1，所以割线的斜率k114a2a142由y2xa得切线斜率为2x0a，2x0aa2，x01.直线与抛物线的切点坐标为(1，a4)，切线方程为y

19、a4(a2)(x1)，即(a2)xy60.圆5x25y236的圆心到切线的距离d6(a2)21.由题意得6(a2)2165，即，|af|bf|，则|af|_.解析：由于y22x的焦点坐标为2，0，设ab所在直线的方程为ykx2，a(x1，将ykx2代入y22x，得k2x222x，(a2)215.又a0，a4，此时，yx24x5(x2)29.顶点坐标为(2，9)二、填空题6(2012高考重庆卷)过抛物线y22x的焦点f作直线交抛物线于a，b两点，若|ab|251211y1)，b(x2，y2)，x1x2，11k21k2x2(k22)x40.x1x24.2513而x1x2px1x2112，x1x21

20、2.13x13，x24.6mmmf|mm|mf|，则点m的横坐标为_p115|af|x12326.5答案：7已知抛物线c：y24x的焦点为f，c上的点m在c的准线上的射影为m，若12mmmf|mm|mf|cosmmf|mm|mf|，cosmmf.mmf60.解析：如图所示，1212又|mm|mf，故mmf为正三角形设m(x，y)，则m(1，y)，f(1,0)，|mf|(11)2y2|mm|x1，整理得y2x22x3，将y24x代入y2x22x3得x22x30，即x3或1(舍)答案：38(2011高考重庆卷)设圆c位于抛物线y22x与直线x3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆c的半径能取到的最

21、大值为_解：当抛物线开口向上时，准线为y，点m到它的距离为36，a，抛物线的方程为yx2.当抛物线开口向下时，准线为y，m到它的距离为36，a.抛物线解析：如图所示，若圆c的半径取到最大值，必须为圆与抛物线及直线x3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a0)，m为直线y2p上任意一点，过m引抛物线的切线，切点分别为a，b.(1)求证：a，m，b三点的横坐标成等差数列；(2)已知当m点的坐标为(2，2p)时，|ab|410.求此时抛物线的方程x2x212解：(1)证明：由题意设a(x1，2p)，b(x2，2p)，x10)的直线l与圆c2相切，切点为a，直线l与曲线c1相交于点b，|ab|3，则直

22、线ab的斜率为()31a.b.c1d.38(a3)2b231a1解得.则直线ab的方程为yk(x1)，b03334设双曲线的一个焦点为f，虚轴的一个端点为b，如果直线fb与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()a.2b.33151c.d.解得e或e(舍去)，故选d.a.1b.1c.1d.1解析：选b.kab0151，直线ab的方程为yx3.设双曲线的标准方程为221(a0，b0)，把yx3代入双曲线方程，则21.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2x2y2解析：选d.设双曲线方程为a2b21(a0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方bbbb程为yax，而kbfc，

23、a(c)1，整理得b2ac.c2a2ac0，两边同除以a2，得e2e10，1515225已知双曲线e的中心为原点，f(3，0)是e的焦点，过f的直线l与e相交于a，b两点，且ab的中点为n(12，15)，则e的方程为()x2y2x2y23645x2y2x2y26354312由于双曲线的焦点为f(3,0)，c3，c29.x2y2abx2(x3)2ab2整理，得(b2a2)x26a2x9a2a2b20.6a22(12)，a2b2a24，b25.双曲线e的方程为1.6(2011高考江西卷)若椭圆221的焦点在x轴上，过点1，2作圆x2y21的a24a24b2，5a24b2.又a2b29，x2y245

24、二、填空题x2y21ab切线，切点分别为a，b，直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_解析：由题意可得切点a(1,0)n1切点b(m，n)满足m1m，解得b5，5.nm2n21，34过切点a，b的直线方程为2xy20.令y0得x1，即c1；令x0得y2，即b2.2b2c25，椭圆方程为1.ax2y254答案：17(2013广西梧州高三检测)设点f为抛物线yx2的焦点，与抛物线相切于点p(x2y254144，4)的直线l与x轴的交点为q，则pqf的值是_解析：yx，2且bf2fd，则c的离心率为_12kpqy|x42，直线pq的方程为y42(x4)令y0，得x2，点q(2,0)1又

25、焦点f(0，1)，kfq2，kpqkfq1，pqf2.答案：8已知f是椭圆c的一个焦点，b是短轴的一个端点，线段bf的延长线交c于点d，解析：法一：如图，设椭圆c的焦点在x轴上，b(0，b)，f(c,0)，d(xd，yd)，则bf(c，b)，fd(xdc，yd)，c2(xc)，xd，2ydb2.22131，即e2，e.|dd1|bd|3得|fd|e()a.又由|bf|2|fd|，得a2a，整理得2，即e2.e.bf2fd，3cdb2yd，3cb()2()2a2b233法二：设椭圆c的焦点在x轴上，如图，b(0，b)，f(c,0)，d(xd，yd)，则|bf|b2c2a.作dd1y轴于点d1，|

26、of|bf|2则由bf2fd，得，33|dd1|2|of|2c，3c即xd2.由椭圆的第二定义a23c3c2c22a3c2ac2113a333答案：33三、解答题9.已知抛物线c的方程为y24x，其焦点为f，准线为l，过f作直线m交抛物线c于m，n两点求omn的最小值16a2162a212(a0时取得等号)解：由题意知f(1,0)，l：x1，设m：xay1，m(x1，y1)，n(x2，y2)xay1则y24ay40，y24xy1y24a由根与系数的关系得.y1y2411omn2|of|y1y2|2(y1y2)24y1y212所以omn的最小值为2.ab1b22ab1b2因此所求椭圆的标准方程为1.因此y1y2，y1y24410441010(2012高考重庆卷)如图所示，设椭圆的中心为原点o，长轴在x轴上，上顶点为a，左、右焦点分别为f1、f2，线段of1、of2的中点分别为b1、b2，且1b2是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过b1作直线交椭圆于p、q两点，使pb2qb，求pb2q的面积x2y22解：(1)设