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文档简介
1、故可设椭圆方程为221(ab0)2由题意知ac4,解得a2,b2.c,因此x0c2又ax0a,ac2e2e1a.1b.1c.1d.1aa2ba213cb2db22bac4,故所求椭圆方程为1.222a(0,b(0,c21,1)d,1)11.又0e1,eb0)与双曲线c2:x241有公共的焦点,c2的一条渐近线与以c1的长轴为直径的圆相交于a,b两点,若c1恰好将线段ab三等分,则()13212解析:选c.由题意知,a2b25,因此椭圆方程为(a25)x2a2y25a2a40,双曲线的一条渐近线方程为y2x,联立方程消去y,得(5a25)x25a2a40,直线截椭圆的弦长d52a45a22a,5
2、a25311122x2y23椭圆a2b21(ab0)的右焦点为f,其右准线与x轴的交点为a,在椭圆上存在点p满足线段ap的垂直平分线过点f,则椭圆离心率的取值范围是()212212a2解析:选d.设p(x0,y0),则|pf|aex0.又点f在ap的垂直平分线上,aex0ca(aca2c2).a(aca2c2)b0),以其左焦点f1(c,0)为圆心,以ac为半径作圆,过上顶点b2(0,b)作圆f1的两条切线,设切点分别为m,n.若过两个切点m,n的直线恰好经过下顶点b1(0,b),则椭圆e的离心率为()a.21b.31c.52d.73解析:选b.由题意得,圆f1:(xc)2y2(ac)2.设m
3、(x1,y1),n(x2,y2),则切线b2m:(x1c)(xc)y1y(ac)2,切线b2n:(x2c)(xc)y2y(ac)2.又两条切线都过点b2(0,b),所以c(x1c)y1b(ac)2,c(x2c)y2b(ac)2.所以直线c(xc)yb(ac)2就是过点m、n的直线又直线mn过点b1(0,b),代入化简得c2b2(ac)2,所以e31.二、填空题6(2011高考课标全国卷)在平面直角坐标系xoy中,椭圆c的中心为原点,焦点f1,2f2在x轴上,离心率为2.过f1的直线l交c于a,b两点,且abf2的周长为16,那么c的方程为_x2y2解析:设椭圆方程为a2b21,2c2b212a
4、2a2由于abf2的周长为|ab|bf2|af2|af1|af2|bf1|bf2|4a16,故a4.b28.x2y2168x2y21687(2011高考江西卷)若椭圆221的焦点在x轴上,过点1,2作圆x2y21的x2y21ab切线,切点分别为a,b,直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是_解析:由题意可得切点a(1,0)n1切点b(m,n)满足m1m,解得b5,5.nm2n2134椭圆方程为1.答案:1过切点a,b的直线方程为2xy20.令y0得x1,即c1;令x0得y2,即b2.a2b2c25,x2y254x2y254x2y228(2012高考四川卷)椭圆a51(a为定值,且a
5、5)的左焦点为f,直线xm与椭圆相交于点a、b,fab的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是_解析:设椭圆的右焦点为f,如图,故椭圆方程为1,所以c2,所以e.3(2)如果af22f2b,求椭圆c的方程由椭圆定义知,|af|af|bf|bf|2a.又fab的周长为|af|bf|ab|af|bf|af|bf|4a,当且仅当ab过右焦点f时等号成立此时4a12,则a3.x2y295c2a32答案:三、解答题x2y29设f1,f2分别为椭圆c:a2b21(ab0)的左,右焦点,过f2的直线l与椭圆c相交于a,b两点,直线l的倾斜角为60,f1到直线l的距离为23.(1)求椭圆c的焦距;解:(1)设
6、椭圆c的焦距为2c,由已知可得f1到直线l的距离3c23,故c2.所以椭圆c的焦距为4.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),由题意知y10,直线l的方程为y3(x2)解得y1,y2.而a2b24,所以b5.故椭圆c的方程为1.y3(x2)联立x2y2,得(3a2b2)y243b2y3b40.a2b213b2(22a)3b2(22a)3a2b23a2b2因为af22f2b,所以y12y2.3b2(22a)3b2(22a)即2,得a3.3a2b23a2b2x2y29510(2011高考辽宁卷)如图,已知椭圆c1的中心在原点o,长轴左、右端点m,n在x轴上,椭圆c2的短轴为mn,且c1,c2
7、的离心率都为e.直线lmn,l与c1交于两点,与c2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为a,b,c,d.(1)设e,求|bc|与|ad|的比值;a2t2,bt,a2t2.当e时,ba,分别用ya,yb表示a,b的纵坐标,可知|bc|ad|.22a2t2a2t2t1e2解得ta.a2b21e2因为|t|a,又0e1,所以1,解得e1.所以当0e时,不存在直线l,使得boan;当eb0)设直线l:xt(|t|b0)的左、右焦点分别为f1、f2,其中f25也是抛物线c2:y24x的焦点,m是c1与c2在第一象限的交点,且|mf2|3.(1)求椭圆c1的方程;(2)已知菱形abcd的顶点a、c在椭圆
8、c1上,顶点b、d在直线7x7y10上,求直线ac的方程5解:(1)设m(x1,y1),f2(1,0),|mf2|3.52由抛物线定义,x113,x13,261y24x1,y13.m(,),m在c1上,21,a24或a20,m27,7m0)焦点为f2,0,准线为直线x.由题意知2,p4,由题意知2a4,a2.双曲线渐近线yx中与准线x交于(2,1)的渐近线为yx,1(x,a2ab,.yx,同理可得bc,c.22abbabb,fb,.22fafb0,即cc0,b40,a2.a2c(,1)d(2,)x2y21(2011高考湖南卷)设双曲线a291(a0)的渐近线方程为3x2y0,则a的值为()a4
9、b3c2d132双曲线的焦点在x轴上,93x2y222(2011高考天津卷)已知双曲线ab21(a0,b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1),则双曲线的焦距为()a23b25c43d45解析:选b.双曲线左顶点为a1(a,0),bapp2p2bpbb22222),b1.c2a2b25,c5,2c25.3设双曲线的左准线与两条渐近线交于a、b两点,左焦点在以ab为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为()a(0,2)b(1,2)22a2cb解析:选b.法一:由得accaa2ab又左焦点f(c,0),facccc点f在
10、以ab为直径的圆内,b2abb2a2,即c2a2a2,c22a2,即e22,e1,1e2.xa,法二:由得ac,c.2cbyax,a2aba2,ab.左焦点f到圆心的距离小于半径长,即cb.e121,1e0,b0)的两条渐近线均和圆c:x2y26x50相切,且双曲线的右焦点为圆c的圆心,则该双曲线的方程为()x2y2x2y25445x2y2x2y23663x2y2b解析:选a.双曲线a2b21的渐近线方程为yax,圆c的标准方程为(x3)2y24,圆心为c(3,0)又渐近线方程与圆c相切,即直线bxay0与圆c相切,3ba2b22,5b24a2.x2y2又a2b21的右焦点f2(a2b2,0)
11、为圆心c(3,0),双曲线的标准方程为1.6(2011高考四川卷)双曲线1上一点p到双曲线右焦点的距离是4,那么点pa2b29.由得a25,b24.x2y254二、填空题x2y26436的第二定义有,即d16.到左准线的距离是_x2y2解析:由64361可知a8,b6,则c10,设双曲线的左、右焦点分别为f1、f2,由|pf2|4及双曲线的第一定义得|pf1|16420.设点p到左准线的距离为d,由双曲线2010d8答案:16bx2y227(2012高考重庆卷)设p为直线y3ax与双曲线ab21(a0,b0)左支的交点,f1是左焦点,pf1垂直于x轴,则双曲线的离心率e_.bx2y2解析:直线
12、y3ax与双曲线a2b21相交,yx,1消去y得x,由b3ax2y2a2b232a4又pf1垂直于x轴,c,即e.432ac324a432答案:y28已知双曲线x2b21(b0)的一条渐近线的方程为y2x,则b_.bb22,解析:双曲线的焦点在x轴上,aa24.a21,b24.又b0,b2.答案:2三、解答题x2y29由双曲线941上的一点p与左、右两焦点f1、f2构成1f,求pf1f2的内切圆与边f1f2的切点坐标n.解:由双曲线方程知a3,b2,c13.当点p在双曲线的右支上时,如右图,根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得|pf1|pf2|2a.由于|nf1|nf2|pf1|
13、pf2|2a.|nf1|nf2|2c.ac,由得|nf1|2a2c2|on|nf1|of1|acca3.故切点n的坐标为(3,0)根据对称性,当p在双曲线左支上时,切点n的坐标为(3,0)|pq|xq3m23,xr3m2310(2012高考四川卷)如图,动点m与两定点a(1,0)、b(1,0)构成mab,且直线ma、mb的斜率之积为4.设动点m的轨迹为c.(1)求轨迹c的方程;(2)设直线yxm(m0)与y轴相交于点p,与轨迹c相交于点q,r,且|pq|pr|,|pr|求的取值范围解:(1)设m的坐标为(x,y),当x1时,直线ma的斜率不存在;当x1时,直线mb的斜率不存在yy于是x1且x1
14、.此时,ma的斜率为,mb的斜率为.x1x1yy由题意,有4.化简可得,4x2y240.x1x1故动点m的轨迹c的方程为4x2y240(x1且x1)yxm(2)由,4x2y240消去y,可得3x22mxm240.(*)对于方程(*),其判别式(2m)243(m24)16m2480,而当1或1为方程(*)的根时,m的值为1或1.结合题设(m0)可知,m0且m1.设q、r的坐标分别为(xq,yq),(xr,yr),则xq,xr为方程(*)的两根因为|pq|pr|,所以|xq|xr|,m2m2.xr|pr|pq|xq1211212121所以223m21.33mm所以113,且1,21212121所以
15、1xr1,且1此时1mm22,225333mm|pr|x|pr|x5qq|pr|55|pq|x24|x12y1|x12y1|x12y1|x12y1|x214y21|4.则|pa|2(x3)2y2(x3)21(x)2,|x|2,当x时,|pa|2取到最小值,即|pa|的最小值为.a.b1解析:选c.由抛物线的标准方程得准线方程为x.由x2y26x70得(x3)2准线与圆相切,34,p2.(1)求证:点p到双曲线c的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;(2)设点a的坐标为(3,0),求|pa|的最小值解:(1)证明:设p(x1,y1)是双曲线c上任意一点,该双曲线的两条渐近线方程分别是x2y0和x2
16、y0,点p(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是和,555555故点p到双曲线c的两条渐近线的距离的乘积是一个常数(2)设点p的坐标为(x,y)(|x|2),x24512445512455255抛物线一、选择题1已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切,则p的值为()12c2d4p2y216.p22(2012高考四川卷)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点o,并且经过点m(2,y0)若点m到该抛物线焦点的距离为3,则|om|()a22b23c4d25解析:选b.由题意设抛物线方程为y22px(p0),pp0则m到焦点的距离为xm2223,p2,y24x.y242,y02
17、2,0|om|4y24823.3(2013四川成都模拟)设抛物线y28x的焦点为f,过点f作直线l交抛物线于a、b两点若线段ab的中点e到y轴的距离为3,则弦ab的长为()a5b8c10d12解析:选c.设a(x1,y1),b(x2,y2),|ab|af|bf|x1x24,xx2又e到y轴距离为3,123.故直线l的方程为x.代入y22px得yp,即|ab|2p,又|ab|12,故p6,所以抛a2.设直线与抛物线的切点横坐标为x0,|ab|10.l4(2011高考课标全国卷)已知直线l过抛物线c的焦点,且与c的对称轴垂直,与c交于a,b两点,|ab|12,p为c的准线上一点,则abp的面积为(
18、)a18b24c36d48解析:选c.不妨设抛物线的标准方程为y22px(p0),由于l垂直于对称轴且过焦点,p21物线的准线方程为x3,故abp261236.5(2011高考四川卷)在抛物线yx2ax5(a0)上取横坐标为x14,x22的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x25y236相切,则抛物线顶点的坐标为()a(2,9)b(0,5)c(2,9)d(1,6)解析:选a.当x14时,y1114a;当x22时,y22a1,所以割线的斜率k114a2a142由y2xa得切线斜率为2x0a,2x0aa2,x01.直线与抛物线的切点坐标为(1,a4),切线方程为y
19、a4(a2)(x1),即(a2)xy60.圆5x25y236的圆心到切线的距离d6(a2)21.由题意得6(a2)2165,即,|af|bf|,则|af|_.解析:由于y22x的焦点坐标为2,0,设ab所在直线的方程为ykx2,a(x1,将ykx2代入y22x,得k2x222x,(a2)215.又a0,a4,此时,yx24x5(x2)29.顶点坐标为(2,9)二、填空题6(2012高考重庆卷)过抛物线y22x的焦点f作直线交抛物线于a,b两点,若|ab|251211y1),b(x2,y2),x1x2,11k21k2x2(k22)x40.x1x24.2513而x1x2px1x2112,x1x21
20、2.13x13,x24.6mmmf|mm|mf|,则点m的横坐标为_p115|af|x12326.5答案:7已知抛物线c:y24x的焦点为f,c上的点m在c的准线上的射影为m,若12mmmf|mm|mf|cosmmf|mm|mf|,cosmmf.mmf60.解析:如图所示,1212又|mm|mf,故mmf为正三角形设m(x,y),则m(1,y),f(1,0),|mf|(11)2y2|mm|x1,整理得y2x22x3,将y24x代入y2x22x3得x22x30,即x3或1(舍)答案:38(2011高考重庆卷)设圆c位于抛物线y22x与直线x3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆c的半径能取到的最
21、大值为_解:当抛物线开口向上时,准线为y,点m到它的距离为36,a,抛物线的方程为yx2.当抛物线开口向下时,准线为y,m到它的距离为36,a.抛物线解析:如图所示,若圆c的半径取到最大值,必须为圆与抛物线及直线x3同时相切,设圆心的坐标为(a,0)(a0),m为直线y2p上任意一点,过m引抛物线的切线,切点分别为a,b.(1)求证:a,m,b三点的横坐标成等差数列;(2)已知当m点的坐标为(2,2p)时,|ab|410.求此时抛物线的方程x2x212解:(1)证明:由题意设a(x1,2p),b(x2,2p),x10)的直线l与圆c2相切,切点为a,直线l与曲线c1相交于点b,|ab|3,则直
22、线ab的斜率为()31a.b.c1d.38(a3)2b231a1解得.则直线ab的方程为yk(x1),b03334设双曲线的一个焦点为f,虚轴的一个端点为b,如果直线fb与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()a.2b.33151c.d.解得e或e(舍去),故选d.a.1b.1c.1d.1解析:选b.kab0151,直线ab的方程为yx3.设双曲线的标准方程为221(a0,b0),把yx3代入双曲线方程,则21.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1x2x2y2解析:选d.设双曲线方程为a2b21(a0,b0),如图所示,双曲线的一条渐近线方bbbb程为yax,而kbfc,
23、a(c)1,整理得b2ac.c2a2ac0,两边同除以a2,得e2e10,1515225已知双曲线e的中心为原点,f(3,0)是e的焦点,过f的直线l与e相交于a,b两点,且ab的中点为n(12,15),则e的方程为()x2y2x2y23645x2y2x2y26354312由于双曲线的焦点为f(3,0),c3,c29.x2y2abx2(x3)2ab2整理,得(b2a2)x26a2x9a2a2b20.6a22(12),a2b2a24,b25.双曲线e的方程为1.6(2011高考江西卷)若椭圆221的焦点在x轴上,过点1,2作圆x2y21的a24a24b2,5a24b2.又a2b29,x2y245
24、二、填空题x2y21ab切线,切点分别为a,b,直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是_解析:由题意可得切点a(1,0)n1切点b(m,n)满足m1m,解得b5,5.nm2n21,34过切点a,b的直线方程为2xy20.令y0得x1,即c1;令x0得y2,即b2.2b2c25,椭圆方程为1.ax2y254答案:17(2013广西梧州高三检测)设点f为抛物线yx2的焦点,与抛物线相切于点p(x2y254144,4)的直线l与x轴的交点为q,则pqf的值是_解析:yx,2且bf2fd,则c的离心率为_12kpqy|x42,直线pq的方程为y42(x4)令y0,得x2,点q(2,0)1又
25、焦点f(0,1),kfq2,kpqkfq1,pqf2.答案:8已知f是椭圆c的一个焦点,b是短轴的一个端点,线段bf的延长线交c于点d,解析:法一:如图,设椭圆c的焦点在x轴上,b(0,b),f(c,0),d(xd,yd),则bf(c,b),fd(xdc,yd),c2(xc),xd,2ydb2.22131,即e2,e.|dd1|bd|3得|fd|e()a.又由|bf|2|fd|,得a2a,整理得2,即e2.e.bf2fd,3cdb2yd,3cb()2()2a2b233法二:设椭圆c的焦点在x轴上,如图,b(0,b),f(c,0),d(xd,yd),则|bf|b2c2a.作dd1y轴于点d1,|
26、of|bf|2则由bf2fd,得,33|dd1|2|of|2c,3c即xd2.由椭圆的第二定义a23c3c2c22a3c2ac2113a333答案:33三、解答题9.已知抛物线c的方程为y24x,其焦点为f,准线为l,过f作直线m交抛物线c于m,n两点求omn的最小值16a2162a212(a0时取得等号)解:由题意知f(1,0),l:x1,设m:xay1,m(x1,y1),n(x2,y2)xay1则y24ay40,y24xy1y24a由根与系数的关系得.y1y2411omn2|of|y1y2|2(y1y2)24y1y212所以omn的最小值为2.ab1b22ab1b2因此所求椭圆的标准方程为1.因此y1y2,y1y24410441010(2012高考重庆卷)如图所示,设椭圆的中心为原点o,长轴在x轴上,上顶点为a,左、右焦点分别为f1、f2,线段of1、of2的中点分别为b1、b2,且1b2是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过b1作直线交椭圆于p、q两点,使pb2qb,求pb2q的面积x2y22解:(1)设
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