琴弦振动泛音的分析及应用

1、本科毕业论文题目： 琴弦振动泛音的分析及应用 学生姓名： 学号： 院（系）： 物理与材料科学学院专业：材料物理 入学时间： 年 月导师姓名： 职称/学位： 导师所在单位： 琴弦振动泛音的分析及应用 （ 物理与材料科学学院）摘要：弦乐器的是乐器中最重要的类别之一，弦乐器琴弦的振动式多种振动迭加的效果。当满足某些条件的时候，一些振动将会被屏蔽掉，产生音乐所说的“泛音”效果。本文应用物理振动方面的知识，利用数学物理方法，使用物理抽象的方法，将一根长炫抽象为一个个没用质量相对独立又相互联系的小段，由此列出两端固定的弦振动的泛音方程，这是一个有边界条件的齐次方程，使用分离变量法求解，对泛音的物理本质做出

2、分析。由于弦的振动是由一个个的振动迭加形成的结果，本文以图表的形式直观地表示出各种振动振幅的关系，以及泛音产生的规律。本文还将从音乐的角度阐述泛音的产生和演奏方法。关键词：泛音；弦乐器；泛定方程；振动；振幅Analysis and Application on Overtone of chord vibration(School of Physics and Material Science, )Abstract: Stringed-instrument-music is one of the most important types of music. Stringed instrument

3、 chord vibration is the superposition of various vibration effects. Given certain congditions, some vibrationg will be shielded, and the produced music is called”overtone”effect. Basing on the knowledge of vibrationg in physics, the use of mathematics-physics equations and the abstract use of physic

4、al methods, a long string could be divided into several independent and interonnected sections without quality. Thus we obtain the pan-set equation of a vibration string with both ends fixed, which is homogengous equation with a boundary condition, And then we find the determined solution to the equ

5、ation using the method of variable separation in order to analyze the physical nature of overtone. As the string vibration is a superposition effect of a lot minute vibrations, this paper displays the law of overtone and the relationships of these vibration amplitudes in the form of diagram. And thi

6、s paper will also discuss the occurrence and law of overtone from a point view of a musician.Keywords: overtone, stringed instruments, mathematical physics equation, vibration, amplitude定量琴弦的泛音是近年形成的一种特殊演奏技巧。如在名族拉琴弦乐器的演奏中，很多独奏曲目都有泛音的应用。“泛音虽然音量不如实音大，但音色非常清晰，明亮 能造成一种幽静、遥远、幻想的意境”如在独奏曲江南春色中，连续泛音的应用描绘了江南

7、山水相依，非常优雅的春天的美景，成功的演奏令人遐想，仿佛置身江南。在很多有关琴弦演奏技巧的专著中，主要是讲述泛音演奏的具体方法和泛音在弦上的经验位置。先摘录专著中有关泛音的讲述：“琴弦除去由于整体振动而发出一个基本频率音之外，同时还有其分段振动而发出若干比基本频率音高的音来。这就是泛音”。“琴弦整体振动所产生的基本频率音称为基音，除整体振动外。同时还以等分为1/2段， 1/3段， 1/4段振动，所产生的音即是泛音，如果我们以手指轻触琴弦的泛音点，泛音就会清晰地呈现在我们面前了。人工泛音是用一指实按某个音位，即以一指所按音位到秦马为全长，取其1/4或1/3段所演奏的泛音，符号为”。可见，演奏家在

8、实践中已经探索出了泛音在弦上的准确位置，并且对演奏方法作了准确合理的描述，但单靠实践的探索积累，不利于演奏技巧及乐改的发展，特别是在名族乐器正待改革，物理学的文化味越来越浓的今天，的搞清乐器的泛音物理机制，把其发音原理和演奏中的物理图像清楚地展现出来，对于促进乐改，提高演奏中的理智与悟性，都是有益的。下面通过对琴弦驻波的定量分析，揭示演奏中“泛音”的规律和必然，以此规律为指导，提出把传统“拉伸式”千斤改为“扣压式千斤”及“增宽音域”的专利设计，使泛音的个数几乎成倍增加，拓展了琴弦乐器的音域，还可以用自然泛音代替演奏中高难的“人工泛音”。从而为琴弦的作曲开辟了新的可用空间。下文将使用数学物理方程

9、通过对琴弦上驻波的分析，解释泛音产生的根本原理和规律。并将以此原理为理论基础定量地作出泛音演奏时的物理图像，直观清晰地展现泛音的产生过程。并将以此理论指导琴弦的演奏。1.泛音的物理原理（1）琴弦振动方程的导出 均匀弦的微小振动的抽象演奏弦乐器的人用弓在弦上来回拉动或用手在弦上按动。弓或受所接触的只是弦的很小一段，似乎只应该引起这个小段的振动，实际上振动总是传播到整根弦，弦的各处都振动起来。振动式怎样在弦上传播的呢？不妨认为弦是柔软的，也就是说在放松的条件下，把弦弯成任意形状，它都静止。可是在绷紧以后相邻小段之间有拉力，这种拉力叫做弦中的张力。张力沿着弦的切线方向。由于张力的作用，一个小段的振动

10、必定带动它的邻段，如此反复。这样，一个小段的振幅必然传播到整根弦。这种振动现象叫做波。弦的振动是一种机械运动。机械运动的基本规律是质点力学F=ma。然而并非质点，所以对整根弦F=ma并不适用。但是整根弦可以细分为许多极小的小段，每个小段都可以抽象为质点，就是说，整根弦由许多相互牵连的质点组成，对每个质点即每个小段都可以用F=ma。琴弦所用的弦往往是很轻松地，它的质量只有张力的几万分之一。跟张力相比弦的质量完全可以略去。这样，真实的弦就被抽象为“没有重量”的理想弦了。建立坐标系把没有重力的弦绷紧，它在不振动时是一条直线，就取这条直线为x轴，如图1.把弦上各点的横向位记作u。位移u在弦上各点是不一

11、样的，即u依赖于x，另一方面，既然研究的是振动，u必随着时间t而变，即依赖于t。这样，横向位移是x和t的函数。记作u(x,t)。图1 建立坐标系把细弦分成许多极小的小段。拿区间（x,x+dx）上的小段B作为代表加以研究。B既然没有重量而且是柔软的，它就是只受到邻段A和C的拉力T1和T2，如图2所示图2 弦小段的受力情况弦的每小段都没有纵向的运动，所以作用于B段的纵向合理为零，即： （1） B的长度。在振动的条件下， （2） 用表示单位长度的弦的质量，则B的质量是。于是，根据写出B段的运动方程 （3） 其中，是横向加速度2u/2t的缩写对微小的振动，有：， （4）而是切线的斜率即，这里记为ux，

12、即， （5）这样，在小振动的条件下，B段的纵向平衡方程和横向平衡方程简化为： （6）即张力不随位置而异，它在整根弦中取同一数值。由于B段长度不变，即长度在振动过程中不随时间改变，所以张力不变。总之，张力既与位置x无关，又与时间t无关，它是常数，记作T。这样一来，B段的运动方程为 （7）上边左式就是，而即，因此缩写为uxx。这样，B段的运动方程就作为： (8)其实。B段作为代表的一个小段，所以各个小段的运动方程都是这样。因此可以说，上式是弦做微小横振动的运动方程，通常简单说成弦振动方程。对于均匀弦，各个小段是相同的，即线密度和张力是常数。通常记用记号：其中，表示波速，而把弦振动方程写成 （9）（

13、2） 弦振动泛定方程及一般解设弦长为l，称为有效长度，如图3所示，O,A为两个固定点，当其自由振动时，略去其他共振性能，则琴弦的泛定方程及有关条件为： 其中T为弦上的张力，为单位长度弦的质量，即线密度。图3 两端固定弦的坐标用分离变量法求得解为： （10）由边界条件，得：由边界条件即 n=1，2，3 （11）上式中，如果则没有讨论意义。故为不为0的常数，由于其取值不影响我们对弦振动的讨论，为简单起见本文取。由（11）式可知因此，两端固定的弦上存在的驻波是： （12）可改写为： （13）上式中即是角频率根据以及可以得到令 （14）为波长。因此，式（12）、（13）可改写为 （15） （16）由上

14、式可知：当弦振动频率是一组不连续且有无限多个数值当n=1时 是弦的最低频率，其对应的有效弦长,称为弦的基频，n1振动频率称为泛频，例如n=2的频率称弦的第一泛频，对应的有效弦长为振动时各种振动并不是单独存在的，总的振动时由无数个振动迭加形成的。而各个振动又是相对独立的，可以分别以数学方法处理并迭加起来。从数学上看，每种振动都是方程的一个特解。由于方程式线性齐次的，因此方程的一般解是所有振动方式的线性迭加，因此，弦振动的总方程为： （17） （18）（3） 弦振动振幅的规律 弦振动振幅的相关方程为了得到各种振动的振幅，可根据方程计算待定系An以及Bn （19）对上式两边分别乘以，并从0到积分有

15、（20）因此，只要知道和，就可以得到待定系数，Bn根据公式： （21）可以得到Cn和，则弦的振动就可以确定了。 弦振动的具体计算在弦乐器的演奏中，是长度因人而异，这里取，琴一端至手指拨动点G的距离一般为5cm左右，位置G距O为25cm，设开始时G点被拨开u0，之后才开始振动，如图四所示。图4 琴弦的初始状态则具体的初始条件为： （22） （23）把（22）和（23）式代入（21）式得 （24） （25）把由（23）算的An值填入表1.是初始时刻弦被拉开的位移。各次振动振幅分别为：n123456787.0873.1921.7690.7790.2880.19700.111由以上数值看出： 各振动的

16、振幅一次递减 当n=6的整数倍时，振幅为零。为得到各次振幅的几何图像，把弦上各质点振幅进行比较，可把各次振动分别画出。因此，由（21）式可以计算出，由（17）和（21）式可知： （26）这里不妨去，则此时x点的位移是，而且各点位移均处于在绝对值的最大状态。对于不同n的各种振幅有： （27） （28）（29） （30） 根据以上数据和公式可做得图5图5 各种振动振幅对比图从图5不难看出同一根弦上存在着n=1到n=8的振动方式各种振动的振幅按n的大小依次递减，在长度范伟内各有0.5n个周期图像如果用某种方法抑制掉振幅较大的振动，保留n较高的振动，则会出现新的听觉效果。这个效果就是音乐界所说的“泛音

17、”了。本章从物理振动角度分析了泛音的产生，下面将从演奏的角度来看泛音的演奏。 2.琴弦泛音的演奏（1） 琴弦泛音演奏原理 弦体的波动 由于泛音这项技术较常被用于弦乐上，所以先来认识下弦体上的波动。如图6（a）所示，一条两端（A,B）被固定的弦，当我们由弦中心波动时，它以将图6（b）的方式来回振动，如果以虚像的方式将图（b）延伸到图（c），则此一上一下的振动称为一个完整的弦波波动，其长度2称为弦波波长，有趣的是，弦波频率正巧于此波长成反比关系，也就是说，弦波波长越短，空气分子的振动频率越高，发出音越高。 在弦乐器中，音符的高低源于频率的改变，而频率改变的方法正是利用手指压弦来改变弦波波长。现在来

18、看图7（a），在弦乐器中，所有弦的两端都被固定于琴身上，此时若以手拨动琴弦，其产生的弦波波长正好相当于弦长的两倍，即若手指将弦紧压与图7（b）的C处，并与C至B处拨弦，此时振动的弦长变为S，弦波波长变为2S，则乐器发出的声音音频就因此改变。这正是在拨弦乐器与拉乐器中改变音符高低的主要方法。至于击乐器，乃是由于许多长短粗细不一的弦构成，而一条弦只对应一个音。图6 弦体的波动图7 手指压弦 弦乐器泛音的演奏接下来，让我们从演奏层面来认识一下泛音。所谓的泛音，就是在琴弦振动并发出某一音的同时以另一个手指“轻触”于同一根弦上高五个半音的位置，如原音为A，则另一手指必须轻触同一弦上D的位置。此时所发出的

19、音将比原先的音高出两个八度。正因为轻触的位置间隔四个半音，所以又被称为Touch fourth。泛音又被称为两种，凡是原音是来自于空弦的振动（所谓空弦就是琴弦本身），则由此产生的泛音称为自然泛音。如果原音是来自于手指控制的琴弦振动，则由此产生的泛音称为人工泛音。不过，它们背后的物理原理基本上式一样的。 弦乐器泛音原理的实验 让我们来做个实验，如图8所示，在一条以振动的弦上有手指轻压弦上某处C，则弦体的振动模式将如何改变呢？在满足波动连续的边界条件下，弦体的振动模式将改变为图9的情形，弦波波长也由原先的变为2s。当我们将这手指轻压于一振动荡弦体的四分之一，也就是跑频率变为原来的四倍，因此两个音正

20、好差上两个八度音阶。前面提及“轻触”于同一弦上间隔四个半音的手指就正好落在这弦的四分之一处上。而这就成了泛音。图8 轻触实验一图9 轻触实验二（2） 弦乐器的演奏规律 弦乐器的物理本质由图5可看出同一根弦上存在着n=1到n=6的振动方式，且各次振动的振幅依次递减。若用一定的方法抑制掉大振幅的振动，保留高次的泛频振动，势必出现新的视觉效果。如演奏时以指肚轻按先长的1/2处称为虚按，则n=1的基频受到抑制，而代之的最低频率是n=2的振动，听觉上必然是高八度的音调，由于n=3 5 等奇次振动也是迭加在弦上的，他们的振幅也在1/2处出现，1/2处的抑制，同时会抑制掉这些振动，即剩下的只有偶次项振动。不

21、仅如此，由于在琴弦上的最低次振动n=2同时存在两个波包，这与基频n=1的振动时不同的，虽然振幅降低了，但却具有高频合响的效果，其音色应更深邃、明澈。着正是弦乐器演艺界定义的泛音的物理本质。 弦乐器泛音的演奏规律 以D调演奏为例弦乐器外弦为A，简谱唱名为5sol基频为440Hz，当以指虚压1/2处，表示抑制了n=1的振动，得到的最低频率是n=2的振动，其频率是880Hz，发音为5，当虚压1/3，2l/3处时又抑制了n=1、n=2的振动，得到的是n=3的振动，其频率为1320Hz，发音为2，当虚压1/4、3l/4处时，抑制了n=1、2、3的振动得到的频率是1760Hz，发音为5，虚压1/5、2l/

22、5、3l/5、4l/5时抑制的是n=1、2、3、4的振动得到的最低频率是2200Hz，发音为7.读者可依次按图对应节点施之。由于级次越高，振幅越小，所以在n=6及以后的泛音极其微弱已无多大应用价值。由以上还可以看出，泛音位置都是对应本次振动的节点位置，级次越高，节点越多，因而会在同一弦线上出现几个音高相同的泛音位置，这也是演艺界所说的镜像现象。同时由（15）式可知n=7的整数倍时，An=0，因为对应于n=7m的奇数项的振动中，x=6l/7处时波节，但这点恰好是被弓毛摩擦的部位，波节条件被破坏，在数学上必然导致与其对应的常数Cn=0.如果摩擦点位置变化，不然会有另外抑制的情况，导致出现有区别的“音色”。演奏时弓毛触弦点越靠上，被抑制掉的泛频级次越低，振幅越大，音量损失严重。触弦点越往下，被抑制掉的振幅越小，有利泛音的出现。演奏家在实践中已体会到：“在演奏高把位的泛音时右手可将弓压低点，使弓毛的触弦点尽可能的靠近琴马，这样也有利于泛音的发音”，正是这个道理。 此外，在弦乐器的自然泛音演奏中，从来不用保留指，即总是单指压弦，否则将抑制掉应有的振幅，不难从图5看出其道理所在。根据物理原理，弦乐器里弦泛音的出现会有与外弦完全对应的位置，其图像也与外弦类似，不难做出分析。 对于人工泛音，由于使用一食指实按弦线的某处弦的全场相当于一指导马子的距离，即改变了千斤位置，泛音位也随