考点四十四抛物线

1、玩转数学优秀之路安老师课堂考点四十四 抛物线知识梳理1. 抛物线的概念把平面内与一个定点 F和一条定直线1（1不过F）的距离相等的点的集合叫作抛物线.这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线I叫作抛物线的准线.用集合语言描述：P= M|1MFI= 1，即 p = M|MF|= d.注意：抛物线的定义中不可忽视定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.2. 抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2= 2px(P0)y2= 2px(p0)X2- 2py(p0)X2- 2py(p0)p的几何意义：焦点 F到准线1的距离图形1J卜yOpoXml顶点0(0,0)

2、对称轴y= 0x 0焦占八、八、噜0）F- 2，0)F 2)Ft0， p)离心率e= 1准线方程X P2pX-2py- 2卫y 2焦半径|PF|= 2+ X0p|PF|-2 X0p|PF|- 2+ y0p|pf|- 2y。开口方向向右向左向上向下3.抛物线的焦点弦有关的常用结论22P(1)yiy2= p , xix2= 4.|AB|= Xi+ X2+ p= sinp(9为 AB 的倾斜角).2P 0aob = 2sin 0点+ BF|为定值p.以AB为直径的圆与准线相切，以AF或BF为直径的圆与y轴相切.(6)当AB与抛物线的对称轴垂直时，称线段 AB为抛物线的通径，它是焦点弦中最短者，长 度

3、等于2p.典例剖析题型一抛物线的定义及其应用例1若抛物线y= 4X2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()177C. 715B. 亦答案 B解析 M到准线的距离等于M到焦点的距离,又准线方程为1 1y=-16,设 M（x, y）,贝V y+五15变式训练已知抛物线C: y2= 8x的焦点为F，准线为I, P是I上一点,Q是直线PF与C的一个交点，若 FP = 4FQ，则|QF|=()C. 3D. 2答案 C解析T FP = 4FQ , |FP|= 4|fQ|, 器=|.如图，过 Q 作 QQ丄 I,垂足为Q,设I与x轴的交点为A,则|AF|= 4, IPQI= IQQ I = 3|P

4、F| |AF| 4, |QQ |= 3,根据抛物线定义可知|QF |= QQ 斗3, 故选C.解题要点利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径.题型二抛物线的标准方程求解例2已知抛物线C: y2= 2px(p0)过点A(1 , - 2).求抛物线C的方程，并求其准线方程； 解析 将(1 , - 2)代入 y2= 2px，得(-2)2= 2px 1，所以 p = 2.故所求的抛物线 C的方程为y2= 4x,其准线方程为x=- 1.变式训练已知抛物线C与双曲线x2 y2=

5、 1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A .y2=戈护xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=i42x答案 D解析 因为双曲线的焦点为(一2, 0), ( 2, 0).设抛物线方程为y2=戈px(p0), 则P= 2 ，所以p= 2承，所以抛物线方程为y2 = /2x.解题要点求抛物线的标准方程的方法： 求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可. 因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.题型三抛物线的几何性质例3如图，过抛物线y2= 2px(p0)的焦点F的直线I依次交抛物线及其准线于点A、B、C,若|BC|=

6、 2|BF|，且|AF|= 3，则抛物线的方程是 . yJJ1J答案 y2= 3x解析 分别过点A、B作准线的垂线 AE、BD，分别交准线于点 E、D，i/E0则|BF|=|BD|，t |BC|= 2|BF|，2|BD|,./ BCD = 30，又/ |AE|= |AF|= 3，|AC|= 6，即点F是AC的中点，根据题意得 p= 2，抛物线的方程是 y2= 3x.变式训练已知抛物线C: y2= 8x的焦点为F，准线为l，P是I上一点,Q是直线PF与C的一个交点，若FP = 4FQ，则|QF等于()2D.3C5 - 2B答案 C解析1= 4|FQ|,|PQ| PF|34.如图，过Q作QQ丄I，

7、垂足为Q,设I与x轴的交点为A,则 |AF= 4,|PQ| =|PF| =|QQ_|= 3AF| = 4 |QQ_ |= 3,根据抛物线定义可知|QQ _ |= |QF|= 3，故选C.解题要点 应用抛物线性质的技巧:1利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程.2要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.3借助抛物线的定义，在点到焦点间距离和点到准线间距离之间相互转化.当堂练习1. (2015陕西文)已知抛物线 y2= 2px(p0)的准线经过点(一1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A . ( 1,0)B. (1,0)C. (0，- 1)D . (0

8、,1)答案 B解析由于抛物线y2= 2px(p 0)的准线方程为x= p，由题意得一2 = 1， P= 2，焦点坐标为(1, 0)，故选B.2. O为坐标原点，F为抛物线C: y2 = 42x的焦点，P为C上一点，若|PF|= 4,2,则厶POF 的面积为()A . 2B . 2 .2C. 2 .3D . 4答案 C解析 利用 |PF |= xP+ , 2 = 4 2，可得 xP= 3 2，1 yp= . ,6.A Sapof= -|OF| |yp|= 2 3.故选C项.3. (2014年辽宁卷)已知点A( 2,3)在抛物线C: y = 2px的准线上，记 C的焦点为F，则直线AF的斜率为()

9、431A . 3B 1C . 4D 2答案 C解析 点 A( 2,3)在 y2= 2px 的准线上，/ P = 2, / p= 4, / y2 = 2px 的焦点为 F(2,0),-k 30 =_ 3AF 2 2 4.4. (2014安徽)抛物线y= 1x2的准线方程是()A . y= 1B. y = 2C. x= 1D . x= 2答案 A1解析T y= 4x2,二 x2= 4y.准线方程为y= 1.5已知A(2,0)，抛物线C: x2= 4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM ： |MN| =.答案1 ： 5解析 MF的方程为|+ y= 1即x+ 2y

10、2= 0, MF的倾斜角为 a则tan a= *,由抛物线的 定义可知|MF|=|MQ|;01VA?.|ME1 IMQI .51sin a|MN| |MN|55 .课后作业选择题1. 过点P( 2,3)的抛物线的标准方程是()22 亠 2 4y = 或 x =C.y2= 2x 或 x2= 3yD. y2= fx 或 x2= 4y答案 A解析 设抛物线的标准方程为y2= kx或x2= my,代入点P( 2,3)，解得k= - , m = 4,2329、 2 4y = 2X 或 x = 3y,选 A.2. 抛物线y= 4x2的焦点到准线的距离是()1 D 1 1A B.C D 18416答案 A解

11、析 由x2= y,知p= g,所以焦点到准线的距离为p = -1.4883. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x= 2,则抛物线的方程是()A . y2= 8xB . y2= 8x C . y2= 4xD . y2= 4x答案 B解析由抛物线的准线方程为x= 2，得焦点F(2,0) ,号=2,二p = 4,故抛物线的标准方程为y2= 8x,故选B.4. 在y= 2x2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )A . ( 2,1)B . (1,2)C . (2,1)D. ( 1,2)答案 B解析 如图所示，直线l为抛物线y= 2/的准线，F为其焦点，PN丄I

12、, AN1丄l，由抛物线的定义知，|PF|=|PN|,|AP|+ |PF|=|AP|+ |PN| |AN1|,当且仅当A、P、N三点共线时取等号. P点的横坐标与 A点的横坐标相同即为 1，则可排除A、C、D，故选B.5. 若抛物线y2= 2px上一点P(2, y。)到其准线的距离为 4，则抛物线的标准方程为()2 2 2 2A . y = 4xB . y = 6xC . y = 8xD . y = 10x答案 C解析由题意，得2 2 = 4, p = 4,所以抛物线的方程为y2= 8x,故选C.6. 点M(5,3)到抛物线y= ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A. y= 12x

13、2B. y = 12x2 或 y = 36x2C. y= 36x2D. y=初2 或 y=苗答案 D1 1 11解析将y=ax化为x = ay,当a0时，准线y 荷由已知得3+矿6訂12,1 1 1二a = 12当a9. 过抛物线y2 = 4x的焦点F的直线交y轴于点A，抛物线上有一点B满足OB = OA+ OF (0为坐标原点)，则 BOF的面积是 .答案 1解析 由题可知F(1,0)，可设过焦点F的直线方程为y= k(x 1)(可知k存在)，则A(0, k), B(1 , k),由点 B 在抛物线上，得 k2= 4, k= 2，即 B(1, 2),1 1SBOF = |OF|yB|=2X

14、1X 2 =1.10. 若抛物线y2= 2x上一点M到坐标原点O的距离为.3,则点M到抛物线焦点的距离为3答案3y2= 2X, 解析设M（x, y）,则由22lx + y = 3,得 x2 + 2x 3 = 0.解得x= 1或x= 3（舍）.所以点M到抛物线焦点的距离 d= 1- = 32 211 已知抛物线y2 = 2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 答案 x=- 1解析 直线方程为y= x 号，由2得y2- 2py- p2= 0.设A和B的纵坐标分别为y=2px,y1和y，由韦达定理知y1 + y2= 2p

15、,又线段AB的中点的纵坐标为 2,所以p = 2.于是抛物线 的准线方程为x=- 1.三、解答题12.已知抛物线 C： y2= 2px(p0)的焦点为F，直线y = 4与y轴的交点为 P,与C的交点为5Q,且|QF|= 4PQI求C的方程；解析 设 Q(xo,4)，代入 y2 = 2px 得 Xo= 8.p所以 |PQ| = 8, |QF|= 2+ 百=2+ p.由题设得p+ 8= 5 X 8 ,2 p 4 p解得p=- 2(舍去)或p= 2.所以C的方程为y2 = 4x.13若抛物线y2= 4x上一点P到其焦点F的距离为3,延长PF交抛物线于Q,若0为坐标原点，求 OPQ面积Saopq 0解析 如图所示，由题意知，抛物线的