07热力学习题

1、热力学习题热力学习题热力学习题热力学习题 丁 肇 中 热力学习题热力学习题热力学习题热力学习题 7-1 1mol 单原子理想气体从单原子理想气体从300K加热加热 到到350K， (1) 容积保持不变；容积保持不变； (2) 压强保持不变；压强保持不变； 问：在这两过程中各吸收了多少热量？增加问：在这两过程中各吸收了多少热量？增加 了多少内能？对外作了多少功？了多少内能？对外作了多少功？ 0A = =623J () 2 3 350=8.31300 RV p = A = T50 = 8.31=416J = +E= Q A623416=1019J ET= =C V Q 解解(1) (2)E =62

2、3J () 2 3 350=8.31300 7-2 在在1g氦气中加进了氦气中加进了1J的热量，若氦的热量，若氦 气压强并无变化，它的初始温度为气压强并无变化，它的初始温度为200K， 求它的温度升高多少？求它的温度升高多少？ M =+T2 mol MQ Cp T1 200=+ 41 154.19 200.19K = T()T2T10.19K ()QCp = M mol M T2T1 解解: 7-3 压强为压强为1.0105Pa，体积为，体积为0.0082 m3的氮气，从初始温度的氮气，从初始温度300K加热到加热到400K， 加热时加热时(1) 体积不变，体积不变，(2) 压强不变，问各需压

3、强不变，问各需 热量多少？哪一个过程所需热量大？为什么？热量多少？哪一个过程所需热量大？为什么？ ()QCV = M mol M T2T1 V = 1 3 5 2 8.31(400300)=692J ()QCp = M mol M T2T1 p = 1 3 7 2 8.31(400300)=970J CCV p 两过程内能变化相等，等等压过两过程内能变化相等，等等压过 程需对外作功，所以需要吸收更多的热量。程需对外作功，所以需要吸收更多的热量。 1 3RT V p = M mol M8.31300 10.082105 解：解： 7-4 2mol 的氮气，在温度为的氮气，在温度为300K、压、压

4、 强为强为1.0105Pa时，等温地压缩到时，等温地压缩到2.0105 Pa。求气体放出的热量。求气体放出的热量。 J 3 =3.4 10 =28.31300ln2 解：解： = M mol M RTQ p 2 ln p 1 =AT T 7-5 质量为质量为1g的氧气，其温度由的氧气，其温度由300K 升高到升高到350K。若温度升高是在下列。若温度升高是在下列3种不同种不同 情况下发生的：情况下发生的： (1) 体积不变，体积不变，(2) 压强不变压强不变 (3)绝热。问其内能改变各为多少？绝热。问其内能改变各为多少？ = 3.25104J = 1000 32 5 2 8.3150 E =

5、M mol M R T i 2 解：解： 7-6 将将500J的热量传给标准状态下的热量传给标准状态下2mol 的氢。的氢。 (1) 若体积不变，问这热量变为什么？氢的温若体积不变，问这热量变为什么？氢的温 度变为多少？度变为多少？ (2) 若温度不变，问这热量变为什么？氢的压若温度不变，问这热量变为什么？氢的压 强及体积各变为多少？强及体积各变为多少？ (3) 若压强不变，问这热量变为什么？氢的温若压强不变，问这热量变为什么？氢的温 度及体积各变为多少？度及体积各变为多少？ 解解：(1) 2Q = CV E = M mol M R T i 2 T 5 500 = 2 2 Q = CV T 8

6、.31 2 12K 120CT = + TT0 = M mol M RT0 V2 ln V1 Q T = 500 28.31273 =0.11 = M mol M RT Q V2 ln V1 =AT T 0 (2) = M mol M RT0 V2 ln V1 Q T = 500 28.31273 =0.11 V2 V1 =e 0.11 1.11 = V2V1 = 1.11 = 222.41.11= 50(升) = 0.05m3 p 1 V 1 p 2 V 2 = 44.8 50 1= 0.89atm 8.60CT = + TT 0 V = M mol M R p T V = 2 V1+ V

7、=V1+ M mol M RT p 20.0828.6 1 41.8+ 46.2(升)= = Q Cp = M mol M p = 500 7 28.31 2 = 8.6K T Q Cp= M mol M p T (3) 0.046m3= 7-7 有一定量的理想气体，其压强按有一定量的理想气体，其压强按 的规律变化，的规律变化，C是常量。求气体从容是常量。求气体从容 积积V1增加到增加到V2所作的功。该理想气体的温度所作的功。该理想气体的温度 是升高还是降低？是升高还是降低？ C V2 p = C V 2= V1 V2 dV() 1 = V 1 V 2 1 C 2= C VR T 2 1= C

8、 VR T 1 V 1 V2 2 T 1 T RT = pV(2) = C VR T = C V RT Ap = V1 V2 dV (1) 解：解： 7-8 1mol氢，在压强为氢，在压强为1.0105Pa，温，温 度为度为200C时，其体积为时，其体积为V0，今使它经以下两，今使它经以下两 种过程达同一状态：种过程达同一状态： (1)先保持体积不变，加热使其温度升高到先保持体积不变，加热使其温度升高到 800C，然后令它作等温膨胀，体积变为原体，然后令它作等温膨胀，体积变为原体 积的积的2倍；倍； (2)先使它作等温膨胀至原体积的先使它作等温膨胀至原体积的2倍，然倍，然 后保持体积不变，加热

9、到后保持体积不变，加热到800C。 试分别计算以上两种过程中吸收的热量，试分别计算以上两种过程中吸收的热量， 气体对外作的功和内能的增量；并作气体对外作的功和内能的增量；并作pV图。图。 A =A 2 =RT V ln V 0 8.31353ln2=2033 J 2=+ QQ 1 QA 2 E 1 =1246+2033=3279J ET 1 = =CV 5 608.31 2 1246 J 解：解：(1) ET 2 =C V = 5 608.31 2 =1246 J 8.31293ln2=1678 J A =A 1 =RT V ln V 0 0 (2) 2=+ QQ 1 Q = +A 1 E 2

10、 =1246+2033 p (2) (1) V 0 V 0 2 353K 293K V (3) =3279J 7-9 理想气体作绝热膨胀，由初态理想气体作绝热膨胀，由初态(p0,V0) 至末态至末态(p,V)。试证明试证明 (1)在此过程中其他所作的功为；在此过程中其他所作的功为； (2)设设p0=1.0106Pa, V0=0.001 m3, p =2.0105Pa, V =0.00316m3, 气体的气体的=1.4,试计算气体作作的功。试计算气体作作的功。 p0V0-pV -1 = A CV= M mol M dT p 0 = Mmol M V 0 R T0 p = Mmol M V R T

11、 = R CV Cp = A CVp 0 V 0 pV() CVCp = p 0 V 0 pV 1 = dAdE 解：解：(1) T T0 =CV A M mol M () A = p 0 V 0 pV 1 0.00316m3V = V 0= 0.001m3 1.4 = 920JA = p 2.0106 Pa= (2)将将 p 0 1.0106 Pa= 代入，得：代入，得： 7-10 在一个密闭的抽空汽缸中在一个密闭的抽空汽缸中, 有个劲有个劲 度系数为度系数为 k 的弹簧的弹簧 , 下面吊着一个质量不计下面吊着一个质量不计 且没有摩擦的滑动活塞，如图所示且没有摩擦的滑动活塞，如图所示 。弹簧

12、下。弹簧下 活塞的平衡位置位于汽缸的底部活塞的平衡位置位于汽缸的底部 。当活塞下。当活塞下 面的空间引进一定量的摩尔定体热容为面的空间引进一定量的摩尔定体热容为CV 的的 理想气体时，活塞上升到高度理想气体时，活塞上升到高度 h，如图所示。，如图所示。 弹簧作用在活塞上的力正比于弹簧作用在活塞上的力正比于 活塞的位移。如果该气体从原活塞的位移。如果该气体从原 来的温度来的温度 T升高到升高到T1，并吸热，并吸热 Q。问活塞所在的高度。问活塞所在的高度 h等等 于多少？于多少？ h AEQ=+ f k = h x = + h h ()CV M mol M T1Tdx =+hh 22 ()k 1

13、2 ()CV M mol M T1T =+Q 22() CV M mol M T1Thh 22 kk 化简后得：化简后得： Vp = M mol M RT 解：解： hSp= M mol M RT h Sp = M mol M RT 2 k = M mol M h RT =+Q 22() CV M mol M T1Thh 22 kk =+ Q22 ()CVT1Thh 22 k RT h 2 =+ Q22 ()CVT1Thh 2 k RT h 2 =+ Q22 ()CV M mol M T1Thh 22 kk 2 k = M mol M h RT 将将代入上式，得：代入上式，得： 7-11 汽缸

14、内有单原子理想气体，若绝热汽缸内有单原子理想气体，若绝热 压缩使其容积减半，问气体分子的平均速率压缩使其容积减半，问气体分子的平均速率 变为原来速率的几倍？若为双原子理想气体变为原来速率的几倍？若为双原子理想气体, 又为几倍。又为几倍。 () = V1 V2 1 2 = v2 v1 T2 T1 = v2 v1 2 51 =1.26 = v2 v1 2 31 =1.15 v = TR8 Mmol 解：解： = V 1 1 T1V 2 1 T2 由绝热方程：由绝热方程： = 7 5 单原子气体单原子气体 = 5 3 双原子气体双原子气体 TR8 Mmol 2 TR8 Mmol 1 T2 T1 =

15、v2 v1 () 1 = T2V1 V 2 T1 7-12 高压容器中含有未知气体，可能是高压容器中含有未知气体，可能是 N2或或A。在。在298K时取出试样，从时取出试样，从510-3m3 绝热膨胀到绝热膨胀到610-3m3，温度降到，温度降到277K。试。试 判断容器中是什么气体？判断容器中是什么气体？ V1=510-3 m3 V2=610-3 m3T2=277K = V 1 1 T1V 2 1 T2 由绝热方程：由绝热方程： () 1 = T1V2 V 1 T2 = 298 277510-3 610-3 () 1 ln1.076=(-1)ln1.2 =1.4i = 5为双原子分子为双原子

16、分子N2 (-1)=0.4 1.076=(1.2) 1 T1=298K 解：解： 7-13 (1)有一有一10-6m3的的373K的纯水，在的纯水，在 1.013105Pa的压强下加热，变成的压强下加热，变成1.671 10-3m3的同温度的水蒸气。水的汽化热为的同温度的水蒸气。水的汽化热为 2.26106 J/kg。问水变汽后，内能改变多问水变汽后，内能改变多 少？少？ (2)在标准状态下在标准状态下10-6kg的的373K的冰化的冰化 为同温度的水，试问内能改变多少？标准状为同温度的水，试问内能改变多少？标准状 态下水的比体积各为态下水的比体积各为10-3m3/kg与与1.110-3 m3

17、 /kg。冰的溶解热为冰的溶解热为3.34105 J/kg。 =1.013105(1671-1)10-6 =1.69102J =2.26103J EQ = A =2.261031.69 102 =2.09103J Ap = V 解解：(1) =2.26106 10-3 1Q Q= 3.3410510-31 = 1.0110-2J =3.34102J =3.34102( 1.01 10-2) =3.34102J ()10-6=1.01105 11 10 1 E = AQ Ap = V (2) 7-14 在室温下在室温下270C下一定量理想气体下一定量理想气体 氧的体积为氧的体积为2.310-3m

18、3,压强为压强为1.0105Pa， 经过一多方过程后，体积变为经过一多方过程后，体积变为4.110-3m3, 压强变为压强变为0.5105Pa。求：。求：(1)多方指数多方指数n; (2)内能的改变内能的改变；(3)吸收的热量吸收的热量；(4)氧膨胀氧膨胀 时对外所作的功。已知氧的时对外所作的功。已知氧的CV =5R/2。 = V 1 n p 1 V 2 n p 2 () = V 1 np 1V2 p 2 1 1.78 0.5 = n4.1 2.3 () n ln2=n ln1.78 解解：(1)对于多方过程：对于多方过程： n =1.2 (2) E = M mol M R i 2 1 E 2

19、 ()T2T1)(V 2 V 1= p2p1 i 2 =-62.5J = (0.5105 4.110-3 - 11052.310-3) 5 2 =125J =125-62.5=62.5J 1105 2.310-3 - 0.51054.110-3 1.2-1 = =A V 1 V 2 p1p2 n 1 (3) E = AQ+ (4) 7-15 设某理想气体的摩尔热容随温度按设某理想气体的摩尔热容随温度按 c = a T 的规律变化，的规律变化， a 为一常数，求此理为一常数，求此理 想气体想气体1mol的过程方程式。的过程方程式。 p +CV dV =dT dQ R V =+ aTdTC V d

20、T T dV = RV a dT C V dT T dV R + = R V a C V T T R lnln 常数常数 =TV CV R e R aT 常数常数 aTc=dTdQ=dT 解：解： 为空气的密度。试证明声音在空气中的传为空气的密度。试证明声音在空气中的传 播速度仅是温度的函数。播速度仅是温度的函数。 7-16 声音在空气中的传播可以看作是一声音在空气中的传播可以看作是一 绝热过程。它的速度可按公式绝热过程。它的速度可按公式 v p = 计算，式中计算，式中 = Cp CV p为空气的压力，为空气的压力， v p = = mol M RT = mol M RT mol M RT

21、= V = p M mol M RT 解：解： 7-17 如果在如果在00C、1.0105Pa下空气中下空气中 的声速的声速v =332m/s空气的密度空气的密度 =1.29 kg/m3。求空气的求空气的。 2 v p = 2 v p = 1.013105 (332)21.29 1.4 = v p = 解：解： 7-18 1mol范德瓦耳斯气体，初始体积为范德瓦耳斯气体，初始体积为 V1，向真空作绝热膨胀至体积，向真空作绝热膨胀至体积V2。 （1）求温度的增量）求温度的增量T。 （2）气体温度的变化是否由于其内能变化）气体温度的变化是否由于其内能变化 了？了？ （3）如果这是理想气体，温度变化

22、如何？）如果这是理想气体，温度变化如何？ 0 = dQ a V 2= dV k= dEdA CVdT a V 2= dV 11 () T = V1 CV a V2 p =dVdA 解：解： 7-19 设有一以理想气体为工作物质的热设有一以理想气体为工作物质的热 机循环，如图所示，试证明其效率为：机循环，如图所示，试证明其效率为： 1h= p 1 V 1 V 2 p 2 () () 1 1 p 1 V 1 V 2 p 2 b a c V p o () 0 R V Q=CV p1V2p2V2 R h = pQ V Q V Q = 1 ()Cpp2V1p2V2 ()CVp1V2p2V2 = pQ V

23、 Q 1 1 = p 1 V 1 V 2 p 2 () () 1 1 解：解： p 1 V1V2 p 2 b a c V p o 绝绝 热热 等压等压 等等 容容 7-20 1摩尔理想气体在摩尔理想气体在400K与与300K之之 间完成一卡诺循环，在间完成一卡诺循环，在400K的等温线上，的等温线上， 起始体积为起始体积为0.0010m3，最后体积为，最后体积为0.0050 m3试计算气体在此循环中所作的功，以及试计算气体在此循环中所作的功，以及 从高温热源吸收的热量和传给低温热源的热从高温热源吸收的热量和传给低温热源的热 量。量。 =8.31400ln5 解：解： 1 V2 =RT Qln

24、V1 1 2 V2 =RT Qln V1 2 A = Q1Q2 =5.35103 J =4.01103 J =1.3103 J =8.31300ln5 7-21 一热机在一热机在1000K和和300K的两热源的两热源 之间工作。如果（之间工作。如果（1）高温热源提高到）高温热源提高到1100 K，（，（2）低温热源降到）低温热源降到200K，求理论上的，求理论上的 热机效率各增加多少？为了提高热机效率哪热机效率各增加多少？为了提高热机效率哪 一种方案更好？一种方案更好？ 解：解： 1 300 h 0= T2 T1 1 = 1000 70% (1) 300 h 1= 1 = 1100 72.7%

25、 效率各增加效率各增加2.7%及10% 200 h 2= 1 = 1000 80%(2) 7-22 有有25mo1的单原子气体，作如图的单原子气体，作如图 所示的循环过程（所示的循环过程（ac为等温过程）。为等温过程）。 P1=4.15105Pa, V1=2.010-2m3， V2=3.010-2m3。 求：求： （1）各过程中的热）各过程中的热 量、内能改变以及量、内能改变以及 所作的功；所作的功； （2）循环的效率。）循环的效率。 p 1 V 1 V 2 p 2 ba c V p o = p1 4.15105 Pa= V12.010-2 m3 = T1 M mol M R p1V1 = 4

26、.151052.010-2 258.31 = 40K = T2V2 T1V1 = T2 V2 T1 V1 2 = 3 40= 60K 解：解： ab 等压过程等压过程 p 1 V 1 V 2 p 2 ba c V p o ()QCp = M mol M T2T1 p = + 25 23 2 8.31( )60 40 =10.4 103 J = AE Qp =10.4103 6.23 103 =4.17103 J E = M mol M R i 2 1 E 2 ()T2T1 = 25 3 2 8.31( )60 40 =6.23103 J bc 等容过程等容过程 ()QCV = M mol M

27、T2T1 V =25 3 2 8.3120 =6.23103 J E = M mol M R i 2 1 E 2 ()T2T1 =6.23103 J A = 0 =3.37103 J ac 等温过程等温过程 = M mol M RT Q V2 ln V1 =AT T 1 =258.31 40 ln 3 2 E = 0 = 1 6.23+3.37 10.4103 =77% 1h = Q2 Q1 (2) 7-23 两部可逆机串联起两部可逆机串联起 来，如图所示，可逆机来，如图所示，可逆机 1 工工 作于温度为作于温度为T1的热源的热源 1 与温与温 度为度为T2=400K的热源的热源 2之间。之间

28、。 可逆机可逆机 2吸入可逆机吸入可逆机 1 放给放给 热源热源 2的热量的热量Q2，转而放热，转而放热 给给 T3= 300K 的热源的热源 3。在。在 (1)两部热机效率相等，两部热机效率相等， (2)两部热机作功相等的情况两部热机作功相等的情况 下求下求T1。 T1 Q 1 Q2 T3 T2 T1 T3 T2 Q2 Q2 热源热源1 1 热源热源2 2 热源热源3 3 =2400-300=500K T1=2T2-T3 400 () 300 533K 2 = 解：解：(1) 1h= T2 T 1 1 = T3 T 2 = T1 T2 T3 2 A=Q1-Q2=Q2-Q3(2) T1-T2

29、=T2-T3 T1 Q 1 Q2 T3 T2 T1 T3 T2 Q2 Q2 热源热源1 1 热源热源2 2 热源热源3 3 7-24 一热机每秒从高温热源一热机每秒从高温热源(T1=600K) 吸取热量吸取热量Q1=3.34104J，作功后向低温热，作功后向低温热 源源(T2=300K)放出热量放出热量Q2=2.09104J 。 （1）问它的效率是多少？它是不是可逆）问它的效率是多少？它是不是可逆 机？机？ （2）如果尽可能地提高了热机的效率，）如果尽可能地提高了热机的效率， 问每秒从高温热源吸热问每秒从高温热源吸热3.34104J，则每秒则每秒 最多能作多少功？最多能作多少功？ =0.53.

30、34104 解：解： (1)1h = Q2 Q1 1 = 2.09104 3.34104 =37% 300 = 600 =50%11 h = T2 T 1 卡卡 =1.67104 J =AQ1 h 卡卡 (2) 7-25 一绝热容器被铜片分成两部分，一一绝热容器被铜片分成两部分，一 边盛边盛800C的水，另一边盛的水，另一边盛200C的水，经过的水，经过 一段时间后，从热的一边向冷的一边传递了一段时间后，从热的一边向冷的一边传递了 4186J的热量，问在这个过程中的熵变是多的热量，问在这个过程中的熵变是多 少？假定水足够多，传递热量后的温度没有少？假定水足够多，传递热量后的温度没有 明显变化。

31、明显变化。 =2.4J/K 解：解： () 1 SQ = T2 1 T1 100 273+20 4.18= 273+80 11 () 7-26 把质量为把质量为5kg、比热容（单位质量、比热容（单位质量 物质的热容）为物质的热容）为544J/(kg.0C)的铁棒加热的铁棒加热 到到300 0C ，然后侵入一大桶然后侵入一大桶27 0C的水中。的水中。 求在这冷却过程中铁的熵变。求在这冷却过程中铁的熵变。 解：解： S T = 0 T dQ 300 575 mc = dT T = mc ln 300 575 =5544ln0.524= -1760 J 7-27 一固态物质，质量为一固态物质，质量

32、为 m ，熔点为，熔点为 Tm，熔解热为，熔解热为L，比热容（单位质量物质的，比热容（单位质量物质的 热容）为热容）为c 。如对它缓慢加热，使其温度从。如对它缓慢加热，使其温度从 T0上升为上升为Tm ，试求熵的变化。假设供给物，试求熵的变化。假设供给物 质的热量恰好使它全部熔化。质的热量恰好使它全部熔化。 解：解： S T = dQLm + mc = dT TTm Tm T1 T0 mc ln TmLm + Tm = 7-28 两个体积相同的容器盛有不同的理两个体积相同的容器盛有不同的理 想气体，一种气体质量为想气体，一种气体质量为 M1 。摩尔质量为。摩尔质量为 Mm1，另一种质量为，另一

33、种质量为M2 ，摩尔质量为，摩尔质量为 Mm2 。 它们的压强与温度都相同。两者相互连通起它们的压强与温度都相同。两者相互连通起 来，开始了扩散，求这个系统总的熵变。来，开始了扩散，求这个系统总的熵变。 + T dp1V1 = 2V1 V1 T dp2V2 2V1 V1 1 M mol M R 1 + V d V = 2V1 V1 V d V 2V1 V1 2 M mol M R 2 () = 1 M mol M 1 + 2 M mol M R 2 ln2 两容器的两容器的p、V、T 都相等都相等 = S 1 M mol M 1 2Rln2 = 1 M mol M 1 2 M mol M 2

34、S 1= + S 2 S 解：解： 7-29 一房间有一房间有N个气体分子，半个房间个气体分子，半个房间 的分子数为的分子数为n的概率为的概率为: （1）写出这种分布的熵的表达式）写出这种分布的熵的表达式S =klnW； （2）n=0状态与状态与n=N/2状态之间的熵变是多状态之间的熵变是多 少？少？ （3）如果）如果N=61023,计算这个熵差。计算这个熵差。 () 2 N W n e 2 = n 2 N () 2N ( ) 2 N e 2n 2 N () 2N k = ln ) 2 N k = ln(2 2 N n 2N 1 2 2 N k = lnS = 1 2 0 SSSk 2 N 0 2 N k = ln 2 N S(2) = S 610231.3810-23 2 = 4.14 J/K(3) Sk = lnW(1) 解：解： 7-30 1kg水银，初始温度为水银，初始温度为-1000C。如。如 果加足够的热量使其温度升到果加足够的热量使其温度升到1000C，问水问水 银的熵变有多大？水银的熔点为银的熵变有多大？水银的熔点为 -390C，熔，熔 解热为解热为 1.17104（kg0C），而