应用数理统计吴翊李永乐方差分析课后作业参考答案详解

1、第五章 方差分析课后习题参考答案5.1 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数：菌型存活日数A12432477254A256851071266A371166795106310设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布， 试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异？(0.01)解： (1)手工计算解答过程r ni208.167r1ni21r niSAXijXiji 1 nij1ni1j1r niSTX iji1j1X ijn i 1 j 170.467提出原假设：H0 : i 0i 1,2,3记Se ST SA 137.7当 H 0 成立时，SA / r 1 Se / n rF r 1,

2、n r本题中 r=3经过计算，得方差分析表如下：方差来源平方和自由度均方F值菌型 A70.467235.23356.909误差137.7275.1总和208.16729查表得 F1 r 1,n rF0.95 2,27 3.35 且 F=6.9093.35 ，在 95%的置信度下，拒绝原假设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。(2)软件计算解答过程组 建 效 应 检 验Dependent Variable: 存 活 日 数方差来源平方和自由度均值F值P值菌型a70.429235.2156.903.004误差137.737275.101总和208.16729a. R S quare

3、d = .338 (Adjusted R Squared = .289)从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量 F 的观测值为 6.903，对应的检验概率 p 值为 0.004，小于 0.05，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。5.2 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取 6 只电池进行寿命试验，数据如下表所示：工厂寿命(小时)甲4048384245乙2634302832丙3940435050试 在 显 著 水 平 0.05 下 ， 检 验 电 池 的 平 均 寿 命 有 无 显 著 性 差 异 ？ 并 求12, 1

4、 3及 2 3 的 95% 置 信 区 间 。 这 里 假 定 第 i 种 电 池 的 寿 命Xi N( i, 2 )(i 1,2,3)解：手工计算过程：1. 计算平方和ST(XijX)2ns2 (n1)( s*) 214* 59.429 832rrSe(XijXi)2 niSi2 (ni1)(Si*)2 4* (15.810 28.3) 216.4i 1 i 1 rSA(Xi X)2ni(Xi X)2 4* (42.6 39)2 (30 39)2 (44.4 39)2 615.6i1其检验假设为：2. 假设检验：17.0684SA /(r 1) 615.6 /2 307.8Se /(n r)

5、 216.4/ 12 18.0333F F1 (r 1, n r) F0.95(2,12) 3.89 所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。3. 对于各组之间的均值进行检验。对于各组之间的均值进行检验有 LSD-t 检验和 q检验。 SPSS选取 LSD 检验(最小显著差 t 检验)，原理如下：其检验假设为： H0 ：，H1：。方法为：首先计算拒绝H0，接受 H1 所需样本均数差值的最小值，即 LSD( the leastsignificant difference ，LSD )。然后各对比组的与相应的 LSD 比较，只要对比组的大于或等于LSD，即拒绝 H0 ，接受 H1；否则，得到

6、相反的推断结论。LSD-t 检验通过计算各对比组的与其标准误之比值是否达到 t 检验的界值| x A xB |t1 ( N r )1 1 1 2MS e ()nA nB由此推算出最小显著差 LSD ，而不必计算每一对比组的 t 值LSD |xAxB | t1 2( N r) MSe(11)nA nB如果两对比组的样本含量相同，即时，则LSD |xA xB| t1 2(N r) MSe 2AB的置信区间为：2MSe| xA xB | t1 ( N r )MSe 2)n2* 18.033 2.686方差齐性检验结果Levene 统计量df1df2Sig.1.735212.218SPSS软件计算结果

7、：1.方差齐性检验即方从表中可以看出， Levene 统计量为 1.735,P 值为 0.2180.05, 说明各水平之间的方差齐。 差相等的假设成立。2.计算样本均值和样本方差。 （可用计算器计算）描述性统计量N均值标准化方差标准差均值的 95%置信区 间最小值最大值下限上限1542.603.9751.77837.6647.5438482530.003.1621.41426.0733.9326343544.405.3202.37937.7951.013950Total1539.007.7091.99034.7343.2726503.Tests of Betw een-Subjects Eff

8、ectsDependent Variable: 寿 命SourceType III Sum of SquaresdfMean SquareFSig.Corrected Model615.600a2307.80017.068.000Intercept22815.000122815.0001265.157.000factory615.6002307.80017.068.000Error216.4001218.033Total23647.00015Corrected Total832.00014a. R Squared = .740 (Adjusted R Squared = .697)从表中可以看

9、出， F值为 17.068,P 值为 0，拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。4. 方差分析表单因素方差分析表总平方和平方和 / 自由 度FSig.Between Groups615.6002307.80017.068.000Within Groups216.4001218.033Total832.00014从表中可以看出， F值为 17.068,P 值为 0，拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。5.最小显著性差异法（ LSD ）结果多重均值比较( Multiple Comparisons )(I) 厂工(J) 工厂MeanDifference(I-J)标准差Sig.95% 置信区

10、间下限上限1212.600(*)2.686.0016.7518.453-1.8002.686.515-7.654.0521-12.600(*)2.686.001-18.45-6.753-14.400(*)2.686.000-20.25-8.55311.8002.686.515-4.057.65214.400(*)2.686.0008.5520.25* The mean difference is significant at the .05 level.从表中可以看出 1 2的置信区间 为：(12.6-5.852, 12.6+5.852 ), 即：(6.748 ， 18.452) 同理可得 1

11、 3, 2 3 的置信区间为：(-7.652，4.052)，(-20.252，-8.548)从以上数据还可以看出， 说明甲和丙之间无显著差异 (sig=0.515 )。而甲和乙之间 (sig=0.001) ， 乙和丙之间 (sig=0.000) 有显著差异 (显著水平为 0.05)。5.3 对用 5 种不同操作方法生产某种产品作节约原料试验，在其它条件尽可能相同的情况下，各就四批试样测得原料节约额数据如下表：操作法A1A2A3A4A5节约额4.36.16.59.39.57.87.38.38.78.83.24.28.67.211.46.54.18.210.17.8假定原料节约额服从方差相等的正态

12、分布，试问：操作法对原料节约额的影响差异是否显著？哪些水平间的差异是显的？ (0.01)解： (1)手工计算解答过程提出原假设： H0 : i 0 i 1,2,3,4,5r niSTX ij记i1 j 1r niXijj189.910i1SAr1niXiji1 nij1r nii1 j 1Xij255.537SeST SA 34.373SA / r 1H F A F r 1,n r 当 H 0成立时，Se/ n r本题中 r=5 ，经过计算，得方差分析表如下：方差来源平方和自由度均方F值菌型 A55.537413.8846.058误差34.373152.292总和89.91019查表得 F1

13、r 1,n r F0.95 4,15 3.06且 F=6.0583.06 ，在 95%的置信度下，拒绝原假设， 认为不同工厂之间操作法的差异对原料节约额有显著影响。(2)软件计算解答过程组建效应检验Dependent Variable: 节 约 额方差来源平方和自由度均方F值P值操作法a55.537413.8846.059.004误差34.373152.292总和89.91019a. R Squared = .618 (Adjusted R Squared = .516)从上表可以看出，工厂使用的操作法这个因素的检验统计量 F 的观测值为 6.059，对应的检 验概率 p 值为 0.004，小

14、于 0.01，拒绝原假设，认为不同工厂之间操作法的差异对原料节约 额有显著影响。(3)判断各种操作方法之间的差异的显著， 使用 SPSS软件中最小显著性差异法 (LSD )计算。多重比较Dependent Variable : 节 约 额LSD(I) 操 作 法(J) 操 作 法Mean Difference (I-J)标 准 差P值95% 的 置 信 区 间下限上限12.0251.0704.982-2.2562.3063-2.450*1.0704.037-4.731-.1694-3.375*1.0704.007-5.656-1.0945-3.925*1.0704.002-6.206-1.64

15、421-.0251.0704.982-2.3062.2563-2.475*1.0704.035-4.756-.1944-3.400*1.0704.006-5.681-1.1195-3.950*1.0704.002-6.231-1.669312.450*1.0704.037.1694.73122.475*1.0704.035.1944.7564-.9251.0704.401-3.2061.3565-1.4751.0704.188-3.756.806413.375*1.0704.0071.0945.65623.400*1.0704.0061.1195.6813.9251.0704.401-1.35

16、63.2065-.5501.0704.615-2.8311.731513.925*1.0704.0021.6446.20623.950*1.0704.0021.6696.23131.4751.0704.188-.8063.7564.5501.0704.615-1.7312.831Based on observed means.*. The mean difference is significant at the .05 level.以看出，在给定的置信水平0.01时，操作法 A1 和 A4，A1 和 A5，A2 和 A4 ，A2 和A5 的 P 值都小于 0.01，因此可以认为他们之间的差异

17、显著。5.5 在化工生产中为了提高得率，选了三种不同浓度，四种不同温度情况做实验。为了考虑 浓度与温度的交互作用， 在浓度与温度的每一种水平组合下做两次实验， 其得率数据如下面 的表所示 （数据均以减去 75） ：温度 浓度B1B2B3B4A114，1011，1113，910，12A29，710，87，116,10A35，1113，1412，1314，10假定数据来自方差相等的正态分布，试在0.05 的显著水平下检验不同浓度、不同温度以及他们之间的交互作用对得率有无显著影响。解： (1)手工计算解答过程提出原假设： H01 : i 0 i 1,2,3H02 : j 0 j 1,2,3,4H03

18、: ij 0i 1,2,3; j 1,2,3,4为了便于计算，记tTijXijk tX ijk1stTiXijk stX i ; T190,T268,T392j 1 k 1rtT j Xijk rt X j ; T1 56,T2 67,T3 65,T 4 62i1k1r s t r sT Xijk rstXTiT j 250i 1 j1k1 i 1 j1rstWX i2jk 2752i 1 j1k1则有：T2ST W 147.833rstSA s1t Ti 2 Trst 44.333st i 1 rstSB r1tT 2jTrst 11.5B rt j 1 j rst1SA B1Tijti1j

19、1r s 2Se ST SA BSA SB65.000ij2 Trst SA SB 27.000H 01成立时，SSeA/rsrt 11 F r 1,rs t 1H 02成立时，SB / s 1SSeB/r/sst 11 F s 1,rs t 1ABH 03成立时，方差来源平方和自由度均方F值浓度 A44.333222.1674.092温度 B11.50033.8330.708交互作用 A B27.00064.5000.831误差65.000125.417总和147.83323本题中 r=3,s=4,t=2 ，经过计算，得方差分析表如下：SASBe/rrs t1 s1 1 F r 1 s 1,

20、rs t 1查表得 F1 r 1,rs t 1F0.95 2,12 3.89且 FA =4.0923.06 ，在 95%的置信度下，拒绝原假设，认为浓度的差异对化工得率有显著影响。F1 r 1 s 1,rs t 1 F0.95 6,12 3.00且 FCF1 s 1,rs t 1 F0.95 3,12 3.49 且 FB =0.7083.49 在 95%的置信度下， 接受原 假设，认为温度的差异对化工得率无显著影响。=0.8313.00 在 95% 的置信 度下，接受原假设，认为温度和浓度的交互作用之间的差异对化工得率无显著影响。(2)软件计算解答过程组间效应检查Dependent Varia

21、ble: 化 工 得 率方差来源平方和自由度均方F值P值Corrected Model82.833a117.5301.390.290Intercept2604.16712604.167480.769.000浓度A44.333222.1674.092.044温度B11.50033.833.708.566浓度A * 温度B27.00064.500.831.568误差65.000125.417全部 总和2752.00024总和147.83323a. R Squared = .560 (Adjusted R Squared = .157)从上表可以看出，因素 A 浓度的检验统计量 F 的观测值为 4.

22、092，对应的检验概率 p 值 为 0.044 ，小于 0.05，拒绝原假设，认为浓度之间的差异对化工得率有显著影响。因素 B 温度的检验统计量 F的观测值为 0.708，对应的检验概率 p 值为 0.566，大于 0.05， 接受原假设，认为温度之间的差异对化工得率无显著影响。交互作用的检验统计量 F 的观测值为 0.831，对应的检验概率 p 值为 0.568，大于 0.05，接 受原假设，认为温度和浓度的交互作用之间的差异对化工得率无显著影响。5.6 下表记录三位工人分别在四台不同机器上三天的日产量。工人机器B1B2B3A115,15,1719,19,1616,18,21A217,17,

23、1715,15,1519,22,22A315,17,1618,17,1618,18,18A418,20,2215,16,1717,17,17假定数据来自方差相等的正态分布，问(1)工人之间的差异是否显著(2)机器之间的差异是否显著(3) 交互作用是不是显著 (0.05)解： (1)手工计算解答过程 提出原假设： H01 : i 0i 1,2,3,4H02 : j 0 j 1,2,3H03: ij 0i 1,2,3,4; j 1,2,3 为了便于计算，记tTijXijk tX ijk1TiX ijk stX i ; T1156, T2159, T3153,T4159j 1k 1rtT j Xij

24、k rt X j ; T1 206,T2 198,T3 223i 1k 1r s t r sTXijkrstXTiT j 627i 1 j 1k 1 i 1 j 1r s tWXiSA B t i 1 j 1Tij rst SA SB 73.500jk 11065i 1 j 1k 1则有：T2ST W 144.75rstSA s r s 2 T 2t Ti2 Trst 2.75st i 1 rst1sSB 1 T 2j T 27.167 rstrt j 1Se ST SA B SA SB41.333当 H 01 成立时，SA / r 1Se/rs t 1F r 1,rst 1当 H02 成立时

25、，FB SSeB/rsst 11 F s 1,rst 1当 H03 成立时， F r 1 s 1,rs t 1SA B / r 1 s 1Se /rs t 1本题中 r=4,s=3,t=3 经过计算，得方差分析表如下：方差来源平方和自由度均方F值机器 A2.75030.9170.532工人 B27.167213.5837.887交互作用 A B73.500612.2507.113误差41.333241.722总和144.75035查表得 F1 r 1,rs t 1 F0.95 3,24 3.01且 F A =0.5323.40 在 95%的置信度下， 拒绝原假设，认为工人的差异对日产量有显著影

26、响。F1 r 1 s 1,rs t 1 F0.95 6,24 2.51且 F C =7.1132.51，在 95%的置信度下，拒 绝原假设，认为机器和工人的交互作用之间的差异对日产量有显著影响。(2)软件计算解答过程组间效应检查Dependent Variable: 日 产 量方差来源平方和自由度均方F值P值Corrected Model103.417a119.4025.459.000Intercept10920.250110920.2506340.790.000机器A2.7503.917.532.665工人B27.167213.5837.887.002机器A * 工人B73.500612.2

27、507.113.000误差41.333241.722全部 总和11065.00036总和144.75035a. R Squared = .714 (Adjusted R Squared = .584)从上表可以看出，因素 A 机器的检验统计量 F 的观测值为 0.532，对应的检验概率 p 值为 0.665，大于 0.05，接受原假设，认为机器之间的差异对日产量无显著影响。因素 B 温度的检验统计量 F的观测值为 7.887，对应的检验概率 p 值为 0.002，小于 0.05， 拒绝原假设，认为工人之间的差异对日产量有显著影响。交互作用的检验统计量 F 的观测值为 7.113，对应的检验概率

28、 p值为 0.000，小于 0.05，拒 绝原假设，认为工人和机器的交互作用之间的差异对日产量有显著影响。5.4 一位老师想要检查三种不同的教学方法的效果，为此随机地选取了水平相当的 15 位学 生，把他们分成三组，每组五人，每一组用一种教学方法。过一段时间后，这位教师给这15 位同学进行统考，成绩如下：方法成绩甲7562715873乙8185689290丙7379607581试问，在显著性水平0.10 下，这三种教学方法的效果有显著差异？这里假定学生成绩服从方差相等的正态分布。解：一、手工计算结果1.计算平方和ST(XijX)2ns2 (n1)(s*) 2604.933rrSe(XijXi)

29、2 niSi2 (ni1)(Si*) 2 852.800i 1 i 1rSA(Xi X)2ni(Xi X )2 1457.733i1其检验原假设为： H0： 甲 乙 丙2.假设检验：SA /(r 1)Se /(n r)604.933/ 2852.800 /12302.46771.0674.256F F1 (r 1, n r) F0.95(2,12) 3.89 所以拒绝原假设，即认为学生成绩和教学方法显著相关。 二、软件结果1.首先检验方差是否齐，如下表：LeveneStatisticdf1df2Sig.097212.908从上表可以看出， P值为 0.9080.05, 说明三个样本方差齐。2.

30、进行方差分析如下表：方差分析表Sum of SquaresdfMean SquareFSig.Between Groups604.9332302.4674.256.040Within Groups852.8001271.067Total1457.73314P值为 0.04 0.1,F0.9.(2,12)=2.814.256, 拒绝原假设，说明三种教学方法有显著差异。 3.进一步分析有下表，多重比较(I) 法方 (J) 方 法Mean Difference(I-J)Std.ErrorSig.95% Confidence IntervalUpperBoundLowerBoundTukeyHSD12

31、-15.400(*)5.332.034-29.62-1.183-5.8005.332.539-20.028.422115.400(*)5.332.0341.1829.6239.6005.332.211-4.6223.82315.8005.332.539-8.4220.022-9.6005.332.211-23.824.62Scheffe12-15.400(*)5.332.042-30.26-.543-5.8005.332.569-20.669.062115.400(*)5.332.042.5430.2639.6005.332.238-5.2624.46315.8005.332.569-9.06

32、20.662-9.6005.332.238-24.465.26LSD12-15.400(*)5.332.014-27.02-3.783-5.8005.332.298-17.425.822115.400(*)5.332.0143.7827.0239.6005.332.097-2.0221.22315.8005.332.298-5.8217.422-9.6005.332.097-21.222.02从上表可以看出，甲方法和乙方法在显著水平 0.05 下有显著差异（ P 值 0.0340.05） 而甲方法和丙方法，乙方法和丙方法之间没有显著差异5.7 一火箭使用四种燃料，三种推进器做射程试验。每种燃料

33、与每种推进器的组合作一次试验（ 假定不存在交互作用 ） ，得火箭射程如下表 （单位：海里 ）推进器燃料B1B2B3A158.256.265.3A249.154.151.6A360.170.939.2A475.858.248.7假定数据来自方差相等的正态分布，问燃料之间、推进器之间有无显著差异 ( 0.05). 解： (1)手工计算解答过程提出原假设： H01 : i 0 i 1,2,3,4H02 : j 0 j 1,2,3为了便于计算，记sTiXij sX i T1 179.7,T2 154.8,T3 170.2,T4 182.7j1rT jXij rX j T1 15155.7,T 2 14499.3,T 3 10834.98i1rsTXij rsX 687.4i 1 j 1rsWX i2j 40489.98i1j1SA 1s i1Ti2T 157.590 SB rs1T 2j T 223.847r j 1 rsSeSTSASB731.980ST W T 2 1113.417则有：T rsSA/ r 1SB / s 1Se/SBr/ s1 s1 1 F