《概率思想对几个恒等式的证明（论文）9600字》

II）用构建一次函数证明：证明：构造一个一次函数f(x),定义在区间[0,1]上当时，所以当时，所以因为是一次函数，且所以在上，恒有即对比：对比以上两种解题方法，可以鲜明地看出运用概率论知识来证明不等式方便简单，避免了分类讨论和一些繁琐的计算化简。例2已知求证：分析原式即由条件知所以即需证即需证成立，显然利用概率模型来证极为简单。证明:设两独立事件和即则所以因为故即得。所以例3证明：若a,b,c为三角形三边的长，且则(第23届全苏数学奥林匹克试题)证明：为三角形三边的长同理设为三个独立事件，且则从而有小结：根据题意建立概率模型，设定随机变量，将不等式中的未知量用模型中的事件来替换，就可利用概率中事件之间的关系列出不等式，从而获得证明。这种思路方法也可适用解决生活当中的一些不等关系，给我们生活带来便捷。例4切比雪夫Chebyshev不等式设随机变量的数学期望，方差,则对于任意正数，成立不等式：.切比雪夫不等式估计出随机变量在区间内取值的概率不小于，由此可知：若方差越小，则概率越大，说明随机变量取值在数学期望附近的密集程度越高；若方差越大，则概率越小，说明随机变量取值在数学期望附近的密集程度越低。切比雪夫不等式说明方差刻画了随机变量的取值对其期望的离散程度。当随机变量的分布未知时，由期望与方差、利用切比雪夫不等式也能提供关于分布的信息(实用性强)，利用这个信息可以粗略估计(估计粗糙)随机变量落入关于其数学期望对称区间内(有限制)的概率。例5设的概率密度函数为试证：[1]证明：因此，由切比雪夫不等式取对随机变量有即引理1设随机变量X的数学期望EX=0，方差，则对于任意正数ε，成立不等式：证明：对任意的实数x>0,利用马尔可夫不等式，有记则时f(x)达到最小值，此时，命题得证。根据该引理，容易得到下列定理。定理2（单边切比雪夫不等式）设随机变量X的数学期望EX=μ，方差,则对于任意正数ε，成立不等式：,[2]例6将n(n>5)个人的帽子充分混合后每个人随机地从中取出一顶，求至少有5人拿到自己帽子的概率小于1/17。解：记i=1,2,…,n.设，则帽子和人配对数X可表示为由于，所以，利用单边切比雪夫不等式，有.4.2构造特殊的随机变量证明不等式在证明不等式时，如果能够发现其中蕴含某些常用分布的分布列或者密度函数，那么通过引入随机变量，可将一些与求和或者积分有关的不等式化成数学期望，然后利用概率论知识巧证这些不等式。1）利用正态分布的密度函数例7利用概率论方法证明：当时，有[6]证明：设随机变量和相互独立，且都服从分布。则其联合密度函数注1：我们知道，重积分可转化为定积分，而定积分又可转化成重积分，后者是概率论中常用的一个积分技巧。如验证，也是通过将左端转为二重积分而实现的。注2：本题的另一大关键是不等式的放大。一个非负可积函数在某一正方形区域上的积分当然小于该函数在以正方形的对角线为直径的圆域上的积分。这从定积分几何意义上容易理解。不少概率问题的积分运算从几何意义上不失为计算积分的一个好途径。2）利用两点分布证明不等式例8设则对于一切,成立不等式证明：设随机变量服从两点分布：则,由得利用指数分布证明不等式例9设若则成立不等式证明：设随机变量服从参数为的指数分布，其概率密度：则由得4）利用泊松分布证明不等式例10设为某一实函数，若则成立不等式证明：设随机变量服从参数为的泊松分布，其分布律为则由得小结：在概率论中有各种各样的随机变量，如上列举的有正态分布、两点分布、指数分布、泊松分布，在实际证明不等式和求解函数最大值的时候引入随机变量，再运用这些分布函数来证明，往往会有意想不到的效果——简洁易懂，思路清晰。4.3概率论期望的应用在企业经营过程中产生的经济效益方而，商界人士为此做了不少努力。数学期望的应用就可在这里表现出来。由于产品销量每时每刻都在变化，所以对这一随机变量采用数学期望的方法来求得企业的最大效益得到了很多企业的好评，也为更多企业的发展提供了一个新的思路。例1是在求解最大经济效益问题时的具体步骤，假设随机变量为x，利润表示成Y,Y是x的函数，记作y=f(x)，最后通过求利润的数学期望E(y)，得到企业的最大利润值。例1某公司出售一种原材料，按市场价来讲，出售1吨该材料可获1.5千元，积压1吨则亏损0.5千元。且该材料在市场上的需求购买量x(单位:口翰服从(300，500)上的均匀分布，若该公司想获得最大利润，应准备多少吨货源?设该公司应准备。吨货源，y为。吨货源所获得的利来讲，无形资产取代有形资产成为企业价值主体和竞争优势的重点，其中企业的战略信息、管理战略是决定企业在激烈的市场竞争下生存和发展的关键因素，核心技术、企业文化等无形资产成为带动经济利益的最重要的经济资源。在电子商务环境下，产品更新换代速度不断加快，人才特别是掌握高新技术的人才对企业的发展发挥着比以往更加重要的作用。电子商务打破了传统职能部门依赖分工与协作完任务的过程，呈现了相互沟通、相互学习的网状结构，将企业内部几个要素组合起来，管理模式转变为相互支持，因而信息用户对会计信息的时效性要求大大提高。4.4概率论中心极限的应用目前，在国内一个备受关注的热点问题便是保险问题，如今保险公司会提供各式各样的保险服务，保险广告处处皆是，让人眼花缭乱。下而的例子就是运用概率论的相关知识来计算保险公司是赚还是亏的问题。近代保险业都是以大数定律和中心极限定理为基础来估算保险公司盈亏情况。例4是利用中心极限定理和大数定律来求解保险业的经济问题。例4老年人寿保险是保险公司一项比较常见的保险。设每年符合年龄且参加保险的人有100000人，保险费为每年20元/人，死亡后家属可领取8000元。依往年的经验得出，死亡率为0.002，假设保险公司用以管理该项业务的费用不计入在内，问:①该保险公司投资该项保险亏损的几率。②该保险公司投资该项保险获得超过80000元收益的概率。设随机变量x为死亡人数，x服从二项定理，则:x~B(n,p),n=100000p=0.002,q=1-p=0.998。根据概率论中对于现实实际问题的应用，保险公司就可以做到基本上从不亏损。所以学好概率论并且能在经济生活中得到实际的应用，会让我们更深入地了解问题的本质，同时也会使我们的生活添姿加彩，让我们的投资变得科学而有意义。结论谁会想到，赌徒之间毫不引人注目的争论，居然会发展出一种非常有用的数学理论?这种理论几乎渗透到各个领域，并产生了许多新的分支和边缘学科，如生物统计、统计物理、数学地质和教育统计等.许多新的重要学科，如信息论、控制论、可靠性理论和人工智能等都以概率论为理论基础。概率论在诞生初期不仅提出了一些特定的概念与经典问题，还涌现出许多重要思想、著名定理，其中很多流传至今，并且成为后世研究的源泉，比如大数定律、·几何概率，逆概率等。不过，这一阶段没有出现特定的方法，所取得的结果大都是零散而孤立的，并未形成一个完整的体系，可以说当时概率论只是有趣而特殊的问题集。直至1812年拉普拉斯的《概率的分析理论》的出现才改善了这一状况，它起到了承上启下的作用。这一时期人们使用了数学分析的工具，给出了各种形式的大数定律与中心极限定理的证明，并且人们试图把中心极限定理与大数定律推广到各类随机变量，其中包括相关随机变量。俄国数学家在这方面做出了重要贡献。同时人们普遍重视概率论在社会生活中的应用，例如人口统计学，保险，观测误差估计，法庭审判等等。概率论在19世纪属于应用数学，因此希尔伯特在他著名的报告中把概率论和物理放在了一起。然而，不论是拉普拉斯还是后来的贝特朗或庞加莱，他们都不能把概率论构建成逻辑上完美的数学学科。20世纪30年代，随着柯尔莫哥洛夫著作的发表，概率论的公理化基础才最终完成，它逐渐获得了广泛认可。由于公理化，概率论变成了一门抽象的，与集合论密切相关的演绎数学的学科，它不仅和自然科学的广阔领域有着密切而直接的关系，而且和技术、社会学、经济等方面的学科也有密切的联系。另外，概率论尤其是以概率论为基础的统计学的发展和应用异常迅速，这种发展最终导致了人们关于自然、社会和认识人类自身的观念的彻底改变。本文对概率论的概述以及对于恒等式的证明只是作了简要的证实，对于21世纪的发展，没有包罗概率论发展中的一切新领域，也没有力求仔细地阐明现代概率论思想对于恒等式证明的新结论，这些都是本文不足之处。参考文献夏利民，成福伟.切比雪夫不等式应用几例[J].承德民族师专学报，2008,28(2):3-4.张玉春，曾梦涵.一类概率不等式及其应用[J].高等数学研究，2010,1(13):45-46.汤茂林.一个概率不等式的应用[J].凯里学院学报，2012,30(3):160-161.杨晓华，徐烈民.不等式证明的概率方法[J].高等数学研究，2010,1(13):72-73.孙燕，杨海涛.构造随机变量巧证积分不等式[J]内蒙古民族大学学报（自然科学报），2007,22(4):374-376.原全，蕫魏莉，某几类积分的概率技巧解法[J]高校讲坛，2008,32:223-225转233.张元收.几个数学恒等式的概率证明[J].潍坊学院2008年5月第27卷第5期陈凌.概率方法与恒等式的证明[J].重庆工贸职业技术学院2007年3月第23卷第一期谢兴武.概率统计释难解疑[M].科学出版社曹汝成.组合数学[M].广州:华南理工大学出版社,2004.何宗祥.漫谈组合恒等式的证明[J].中国数学月刊,1994(2