计数应用题解题策略规划

1、计数应用题解题策略数学选修 2-3 1.4计数应用题教学反思沛县体育中学李锋计数应用题是排列组合中最常见的题型，由于其解法往往是构造性的，因此方法灵活多样，不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现。因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模 型是必要的。以下结合一些例题讲述了在解决计数应用题时的一般步骤和需要注意 的细节。一、把握分类计数原理、分步计数原理是基础例1在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳 工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选 法？解：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，

2、 如何做到这一点？分类的标准必须 前后统一。以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分 类标准。第一类：这两个人都去当钳工，有种；第二类：这两人有一个去当钳工，有种；第三类：这两人都不去当钳工，有 种。因而共有185种。小结：把握了 “分类的要求”和“分步的合理性”，解决排列组合问题就快速多 了。并能提高解题的准确度。二、注意区别“恰好”与“至少”例2.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有 。解：通过合理的分步可以完成任务。 第一步从6双中选出一双同色的手套，有 6种方法；第二步从剩下的十只手套中任选一只，有 10种方法；第三步从除前所 涉及的两双手套

3、之外的八只手套中任选一只，有 8种方法。由于选取与顺序无关， 因而第二步和第三步中的选法重复一次，因而共240种。A小结：“恰好有一个”是“只有一个”的意思。“至少有一个”则是“有一个或 一个以上”，可用分类讨论法求解，它也是“没有一个”的反面，故可用“排除法”。三、特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑例3 .六人站成一排，求：(1) 甲不在排头，乙不在排尾的排列数(2) 甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数解：(1)先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。第一类：乙在排头，有种站法。第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法，共504种站法（2）第一类：甲在排

4、尾，乙在排头，有种方法；第二类：甲在排尾，乙不在排 头，有种方法；第三类：甲不在排尾 , 乙在排头，有种方法；第四类：甲不在排尾， 乙不在排头，有种方法。共有 312 种方法。小结： 1、“在”与“不在”可以相互转化。解决某些元素在某些位置上用 “定位 法”，解决某些元素不在某些位置上一般用 “间接法”或转化为 “在”的问题求解。 2、排列组合应用题极易出现 “重”、“漏”现象，而重 ”、“漏”错误常发生在该 不该分类、有无次序的问题上。为了更好地防 “重”堵 “漏”，在做题时需认真分 析自己做题思路，也可改变解题角度，利用一题多解核对答案四、“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空” 例 4、7

5、 名学生排成一排，下列情况各有多少种不同的排法？ （1）甲、乙必须站在一起； （2）甲、乙互不相邻。解：（1）将甲、乙二人看作一个元素，先排甲、乙有 A 22种，然后再与其他 5 人构成 6 个元素进行全排列，有 A 22A 66 1440 种方法。（2）先排除甲、乙二人外的 5 人有 A 55种，产生 6个空，把甲、乙二人插空有A 55A 26 3600种方法。 小结：以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法 ”；以某些元素不能相邻为附加条件的 ,可采用“插空法”。“插空”有同时 “插空”和 有逐一 “插空”,并要注意条件的限定 .五、混合问题，先 “组” 后“排”例

6、5 对某种产品的 6 件不同的正品和 4 件不同的次品 , 一一进行测试， 至区分出所有 次品为止，若所有次品恰好在第 5 次测试时全部发现 , 则这样的测试方法有种可能？ 解：由题意知前 5 次测试恰有 4 次测到次品，且第 5 次测试是次品。故有： C34C16A 44 576种可能 小结：本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是 先元素（即组合）后排列。六、分清排列、组合、等分的算法区别例 6、有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ （1）分成 1 本、23 本；（2）分给甲、乙、丙三人 , 其中 1 人一本， 1人二本、 1 人三本

7、；（3）分成三份 ,每份 2本解：（1）分三步：先选一本有C6种选法；再从余下的5本中选2本有C5种选法；最后 余下的3本全选有C3种。由分步计数原理知，分配方法共有：c6c2c3 60种。（2）由于甲、乙、丙三人是不同的三个人，在（ 1）的基础上，还应考虑再分配问 题，因此，分配方法共有： c16 c 25 c 33A 33360种。（3）先分三步：则应是C6C；C；种方法，但是这里出现重复，不防记六本书为 A BC、D E、F,若第一步取了 AB第二步取了 CD，第三步取了 EF。记该种分法为（ABCD EF）则 c2c2c2 种分法中还有（AB EF CD、（CD AB EF）、（CD EF、AB）、（EF、CD AB、（EF、AB CD）共a3种情况，而且这a3种情况是AB CD EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方式有:c2c2c15种小结：平均分组问题：一般来说,km个不同的元素分成k组，每组m个，则不同的分法有:m(k -1)mm C m 种。七、分类组合，隔板处理例7某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代队，参加中学生数学竞赛活动， 使代表队中每班至少1人参加的选法有多少种？解：问题相当