天体运动常见问题总结解析

1、问题 9：会讨论重力加速度 g 随离地面高度 h 的变化情况。例 15、设地球表面的重力加速度为 g,物体在距地心 4R( R 是地球半径)处，由于地 球的引力作用而产生的重力加速度g,，则 g/g,为A、1； B、1/9；C、1/4；D 、1/16。分析与解：因为 g= G M2 ,g, = GM 2 ,所以 g/g,=1/16,即 D 选项正确。R2(R 3R)2问题 10：会用万有引力定律求天体的质量。通过观天体卫星运动的周期 T 和轨道半径 r 或天体表面的重力加速度 g 和天体的半径 R，就可以求出天体的质量 M 。例 16、已知地球绕太阳公转的轨道半径 r=1.49 1011m,

2、公转的周期 T=3.16 107s,求太阳的质量 M 。分析与解：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得：Mm 2G 2 =mr(2 /T)2r2M=4 2r3/GT2=1.96 1030kg.例 17 、宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时初速度增大到 2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为3 L 。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为 G 。求该星球的质量 M 。分析与解：设抛出点的高度为 h,第一次平抛的水平射程为 x,则有x2+h 2=L 2由平抛运动规律得知，当

3、初速度增大到 2 倍时，其水平射程也增大到 2x, 可得 (2x)2+h2=( 3 L)2设该星球上的重力加速度为 g，由平抛运动的规律得： 12h= gt22由万有引力定律与牛顿第二定律得：Mmmg= G 2R22联立以上各式解得 M= 2 3LR2 。3Gt2问题 11：会用万有引力定律求卫星的高度。通过观测卫星的周期 T 和行星表面的重力加速度 g 及行星的半径 R 可以求出卫星的 高度。例 18、已知地球半径约为 R=6.4 106m, 又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周 运动，则可估算出月球到地球的距离约m.(结果只保留一位有效数字 )。分析与解：因为 mg= G Mm2 ，而

4、G M2m =mr(2 /T)2R2r 2所以， r= 3gR2T2 2 =4 108m.问题 12：会用万有引力定律计算天体的平均密度。 通过观测天体表面运动卫星的周期 T ，就可以求出天体的密度。例 19 、如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为 则可估算此恒星的密度为多少 ?T，R，质量为 M ，由于卫星做匀速圆周运动，则有Mm 4 2G 2 =mR 2R2 T 2所以，M=4 2 R3GT 2所以恒星的密度 =M = 3 2 。V GT 2V= 43例 20 、一均匀球体以角速度绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作 用力是万有引力，则此球的最小密度是

5、多少？分析与解：设球体质量为 近做匀速圆周运动，则Mm 2G 2 =m 02R,R2而恒星的体积R3，所以，由于 0 得2 4 3M ，半径为 R， 02= 43 G。G，则设想有一质量为 m 的质点绕此球体表面附，即此球的最小密度为 3 。4 G 4 G分析与解：设此恒星的半径为问题 13：会用万有引力定律推导恒量关系式。例 21、行星的平均密度是，靠近行星表面的卫星运转周期是 T，试证明： T2 是个常量，即对任何行星都相同。证明：因为行星的质量 M= 4 R2GT 2R 是行星的半径），行星的体积4V=3R3，所以行星的平均密度M3= 2 ，V GT 2即 T2=G3，是一个常量，对任何

6、行星都相同。r3例 22、设卫星做圆周运动的轨道半径为r,运动周期为 T ，试证明： 2 是一个常数， 即T23对于同一天体的所有卫星来说， r 2 均相等。T2证明：由 G Mm2 = mr(2r23Tr32均3/T）2得r 2 = GM2 ，即对于同一天体的所有卫星来说， T 2 4 2相等。问题 14：会求解卫星运动与光学问题的综合题例 23、（ 2004 年广西物理试题）某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落R，地球表面处的重力加速12 小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为 度为 g,

7、地球自转周期为 T ，不考虑大气对光的折射。分析与解：设所求的时间为 t，用 m、M 分别表示卫星和地球的质量， r表示卫星到地mMmr(2T心的距离 .有春分时，太阳光直射地球赤道，如图 17 所示，图中 圆 E 表示赤道， S 表示卫星， A 表示观察者， O 表示地心 . 由图 17可看出当卫星 S绕地心 O 转到图示位置以后 （设地球自转是沿图中逆时针方向） ，其正下方的观察者将看 不见它 . 据此再考虑到对称性，有r sin Rt 2 T2图 18MG 2 g R221由以上各式可解得 tT arcsin(4 2R)3gT2问题 15：会用运动的合成与分解知识求解影子或光斑的速 度问

8、题。例 24、如图 18 所示，点光源 S 到平面镜 M 的距离为 d 。 光屏 AB 与平面镜的初始位置平行。当平面镜 M 绕垂直于纸面 过中心 O 的转轴以的角速度逆时针匀速转过300 时，垂直射向平面镜的光线 SO 在光屏上的光斑 P 的即时速度大小为分析与解： 当平面镜转过 300 时，反射光线转过 600 角，反射光线转动的角速度为平面 镜转动角速度的 2 倍，即为 2。将 P点速度沿 OP 方向和垂直于 OP 的方向进行分解，可 得：Vcos600=2 .op=4 所d以, V=8d.例 25、如图 19 所示， S为频闪光源，每秒钟闪光 30 次， AB 弧对 O 点的张角为 6

9、00，平面镜以 O 点为轴顺时针匀速转动，角速度 = rad/s,问在 AB 弧上光点个数最多不超过3B多少？ 分析与解：根据平面镜成像特点及光的反射定律可知，当平面镜以转动时，反射光线转动的角速度为2。因此，光线扫过 AB 弧的时间为 t=0.5S,则在 AB 弧上光点个数最多 不会超过 15 个。三、警示易错试题 典型错误之一： 错误地认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同例 26、某卫星沿椭圆轨道绕行星运行， 近地点离行星中心的距离是 a, 远地点离行星中心的距离为 b, 若卫星在近地点的速率为 Va, 则卫星在远地点时的速率 Vb 多少？错解：卫星运行所受的万有引力提供

10、向心力，在近地点时，有MmG2a，在远2地点时有 GMbm2 mVbb ，上述两式相比得 VVbaba，故VbbVa。分析纠错 ：以上错误在于认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不 同。实际做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于R。所以，在近地点时有 G Mm2a222Va2MmVb2Va bm a ，在远地点时有 G 2 m b ，上述两式相比得 a ，故Rb2RVb aVbVa 。b 典型错误之二：利用错误方法求卫星运动的加速度的大小 例 27 、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道 2 运行，最后再次点火，将卫星送

11、入同步圆轨道3，轨道 1、2 相切于 Q 点，轨道 2、3 相切于 P 点，如图 20 所示。则在卫星分别 在 1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法正确的是：A、卫星在轨道B、卫星在轨道C、卫星在轨道3 上的速率大于在轨道 1 上的速率。3 上的角速度小于在轨道 1 上的角速度。1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道上经过 Q 点时的加速度。D、卫星在轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道 上经过 P 点时的加速度。错解：因为 G Mm2 mr 2r2mV2，所以 V= rGM ，GM3 ，即 B选项正确，A选项错误。因为卫星在轨道 1 上经过Q点时的速度等于它在轨道2 上经过Q

12、点时的速度， 而在Q点轨道的曲率半径 r1a2V2，即 C选项正确。r1r2GM2 ，即卫 r分析纠错 ：B 选项正确，但 C选项错误。根据牛顿第二定律可得 am星的加速度 a 只与卫星到地心的距离 r 有关，所以 C 选项错误， D选项正确。典型错误之三：错误认为卫星克服阻力做功后，卫星轨道半径将变大。例 28 、一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现：A、速度变小；B 、动能增大；C、角速度变小；D 、半径变大。错解：当卫星受到阻力作用时，由于卫星克服阻力做功，故动能减小，速度变小，为了继续环绕地球，由于卫星速度 VGM 可知， V 减小则半径 R必增大，又因V，r故 变

13、小，可见应该选 A、 C、 D。分析纠错 ：当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，卫星必定只能降至低轨道上B选GM飞行，故 R减小。由 V 可知， V要增大，动能、角速度也要增大。可见只有 项正确。典型错误之四：混淆稳定运动和变轨运动例 29、如图 21 所示， a、 b、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3 颗卫星，b说法正确的是：Ab、c 的线速度大小相等，且大于 a的线速度； Bb、c 的向心加速度大小相等，且大于 a 的向心加速度； Cc 加速可追上同一轨道上的 b，b 减速可等候同一轨道上的c；图 21Da 卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。 错解： c 加速可追

14、上 b，错选 C。分析纠错 ：因为 b、c 在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小 均相等。又 b、c轨道半径大于 a的轨道半径，由 V GM /r 知， Vb=VcVa,故 A选项错；2 由加速度 a=GM/r2可知 ab=acaa, 故 B 选项错。当 c 加速时， c 受到的万有引力 Fmv2/r, 故它将偏离原轨道做向心运动。所以无论如何c 也追不上 b， b也等不到 c，故 C选项错。对这一选项，不能用 V GM /r 来分析 b、c 轨道半径的变化 情况。对 a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨 道半径未变，视为稳定运行，由 V GM /r 知，r 减小时 V逐渐增大，故 D选项正确。典型错误之五：混淆连续物和卫星群例 30 、根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群。 可测出环中各层的线速度 V 与该层到土星中心的距离 R之间的关系。下列判断正确的