近世代数ch2(1-6节)习题参考答案

1、第二章前 6 节习题解答P35 1 1全体整数集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解减法不满足结合律，.全体整数对于减法不构成群。 2举出一个有两个元的群例子。 解 1， 1 对于普通乘法构成一个群。 0，1 对于运算 i j i j 构成群。 1， 2 对于运算 i j ij 构成群。 它们都是两个元的群。G 中存在个群。3. 设G是一个非空集合，“”是一个运算。若 “”运算封闭；结合律成立； 右单位元 eR: a G，有 aeR a : a G，G，有 aa eR。则 G证（ 仿照群第二定义的证明 ）先证 aaR1 aR1a eR。T aR1 G，二 a G，使 aR1a eR,(aR1a

2、)eR(aR1a)(aR1a)aR1 (aaR1)a1aR eRa1aR a eR，1aR a eR。3aa r a r a eR。再证eRa aeR a，即卩eR是单位元。1 1 1 1a G，已证aaRar aeR，eRa(aaR )aa(aR a) aeR aeRaa。-eRa aeRa。即eR就是单位元e。再由aaRaR a e 得到 aR 就是 a 。这说明: G 中有单位元， a G 都有逆元 a 1 G是一个群。P38 21.若群G的每一个元都适合方程 x2 e，那么G是可交换的。证t x G, x2 e x x 1。 a,b G a a 1 ,b b 1。 ab a 1b 1

3、（ba） 1 ba。 ab ba ，即 G 是可换群。2在一个有限群中阶大于2 的元的个数一定是偶数。证 令a是有限群G中一个阶2的元，t互逆元是同阶的， a 1的阶也大于2,（若a 1 a a2 e,与a的阶2矛盾）。设G中还有阶2的元b，且b a,b a 1 , b 1的阶也大于2，且b 1 b。我们还可以得出b 1 a , b 1 a 1。这是因为若b 1 a b a 1，矛盾；若b 1 a 1 b a，矛盾。 所以在有限群G中，阶 2的元成对出现，因此命题成立。3假定G是一个阶是偶数的有限群，在G中阶等于2的元的个数一定是奇数。证 由上题知阶2的元的个数是偶数。T G是偶数，阶2的元也

4、必是偶数。但阶是 1的元只有单位元e，二阶等于2的元的 个数为奇数。4. 在有限群G中,每一元素具有一有限阶。证a G,a e, a, a2 ,a3,.,a冋,a冋1 G,根据鸽巢原理，这|G| 1个幕至少有两个相同。不妨设ai aj (1 i j |G| 1)，那么aj i e。所以命题成立。P44 41.假定两个群G与G的一个同态之下，a a ,那么a与a的阶是否相同？解不一定。取G e,o，运算为e e e ,显然G e,o是一个群。取整数加群 G Z, 。建立:G G，其中(n) e, n Z。显然 是G到G的同态。G的单位元0是一阶元，它的象是一阶元e, G的除0外的其他元都是无穷阶元，它们的象也是一阶元e。思考：若假定两个群G与G的一个同构 之下,那么a与a的阶是否相同?解肯定相同。若o(a) n，即 an e ,n(a )n(a)