(完整word版)层次分析法例题

1、目标层 判断层 购买设备A 功能Bi 价格B2维护性B3 产品C2 产品Ci 产品C3 图设备采购层次结构图 某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护 性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对 3个不同品牌的设备进行综 合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次 结构如下图所示。以A表示系统的总目标，判断层中Bi表示功能，B2表示 价格, B3表示可维护性。Ci，C2，C3表示备选的3种品牌的设备 解题步骤: 1、标度及描述 人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重 要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两

2、个相 邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。 为了便于将比较判断定量化，引入19比率标度方法，规定用1、3、5、 7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较 强重要、强烈重要、绝对重要，而 2、4、6、8表示上述两判断级之间的折 衷值。 标度 定义（比较因素i与j） 1 因素i与j同样重要 3 因素i与j稍微重要 5 因素i与j较强重要 7 因素i与j强烈重要 9 因素i与j绝对重要 2、4、6、8 两个相邻判断因素的中间值 倒数 因素i与j比较得判断矩阵a ij，贝U因素j与i相比的判断为aji=1/aij 注：ajj表示要素i与要素j相对重要度之比，且

3、有下述关系: aj=i/aji ； ah=i ； i, j=i , 2,，n 显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。 2、构建判断矩阵A 判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据 根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵： 判断矩阵A B（即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性 比较）如表1所示； 判断矩阵Bi C（相对功能，各方案的相对重要性比较）如表2所示； 判断矩阵b2 -C（相对价格，各方案的相对重要性比较）如表3所示； 一 判断矩阵B3 -C （相对可维护性，各方案的相对重要性比较）如表4所 示。 表1判断矩阵A B A B1 B2 B3

4、 B1 1 1/3 2 B2 3 1 5 B3 1/2 1/5 1 表2判断矩阵B -C B1 C1 C2 C3 C1 1 l/3 1/5 C2 3 1 1/3 C3 5 3 1 表3判断矩阵B2-C B2 C1 C2 C3 C1 1 2 : 7 C2 1/2 1 5 C3 1/7 1/5 1 表4判断矩阵B3 -C B3 C1 C2 C3 C1 1 : 3 1/7 C2 l/3 1 1/9 C3 7 9 1 3、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标 一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需 要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。 求和法 1

5、）将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）: bj= aij/砂; 2）将归一化的矩阵按行求和：Ci=3Dj （i=1 , 2, 3.n）; 3）将G归一化：得到特征向量 W= （w1, w2 ,wn ） T, wi=Ci /艺c W即为A的特征向量的近似值； 4）求特征向量W对应的最大特征值： 2max/) 求根法 1) 计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根；亦二n【aj(i =1, V y 2,) wn ) T即为A的特 wi 2) 将 Wi 归一化，得到 Win ； W=( w1，w2, Z Wi i丄 征向量的近似值； 3) 求特征向量W对应的最大特征值: 丄匕沁) H W.- (1

6、) 判断矩阵A B的特征根、特征向量与一致性检验 计算矩阵A-B的特征向量。 计算判断矩阵A - B各行元素的乘积Mi ,并求其n次方根，如 12 Mi =1 - 2, W =3 Mi =0.874 , 类似地有，W2 =3 M2 = 2.466 , 33 W 仝*3 =0.464。对向量W二W W2，WnT规范化，有 W| = 0.874 0.874 2.466 0.464 = 0.230 类似地有W2 = 0.684 , W3 =0.122。所求得的特征向量即为: W -0.230, 0.648, 0.122T 计算矩阵A-B的特征根 11/32 AW =3150.230,0.648, 0

7、.122T J/21/51一 1 AW1 =1 0.2300.648 2 0.122 = 0.69 3 max J (AW)j y nW 类似地可以得到 AW2 =1.948 , AW 0.3666 按照公式计算判断矩阵最大特征根： 丄迢业阻= 3.004 3 0.2303 0.6483 0.122 一致性检验。 实际评价中评价者只能对A进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错 误。如，已判断9比。2重要，C2比C3较重要，那么，C1应该比C3更重要 如果又判断5比。3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。这就需要进行 一致性检验。 根据层次法原理，利用A的理论最大特征值?iax与n之差检验一致性。

8、 致性指标： 计算 ci /ax_n =3.004 _3 =0.002V0.1 CR = 9 = 0.003 c 0.1，查同阶平均 n 13-1Rl 随机一致性指标(表5所示)知Rl =0.58，(一般认为CK0.1、CRV0.1时, 判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较)。 表5平均随机一致性指标 阶数 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Rl 0.58 0.89 1.12 ：1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 (2) 判断矩阵Bi C的特征根、特征向量与一致性检验 类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩

9、阵 Bi C的特征根、特征向量与 一致性检验如下： W =0.105, 0.258, 0.637t， max =3.039， CR =0.033 ： 0.1 (3) 判断矩阵B2-C的特征根、特征向量与一致性检验 类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵刀：一C的特征根、特征向量 与一致性检验如下： W -0.592, 0.333, 0.075t， max 二 3.014， CR 二 0.012 ： 0.1 (4) 判断矩阵B3-c的特征根、特征向量与一致性检验 类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵B3-c的特征根、特征向量与一一 致性检验如下： W 二0.149, 0.066,0.785

10、T， max =3.08， CR =0.069 ： 0.1 4、层次总排序 获得同一层次各要素之间的相对重要度后， 就可以自上而下地计算各级 要素对总体的综合重要度。设二级共有 m个要素c1, c2，,m，它们对总值的 重要度为w1, w2,wm ；她的下一层次三级有p1, p2,pn共n个要素，令要素 Pi对Cj的重要度(权重)为Vjj，则三级要素pi的综合重要度为： J 方案 的重要度(权重)=0.230 0.105+0.648 S.529+0.122 &149=0.426 方案 C2的重要度(权重)=0.230 0.258+0.648 0.333+0.122 0.066=0.283 方案 C3的重要度(权重)=0.230 0.637+0.648 0. 075+0.122 0785=0.291 依据各方案综合重要度的大小，可对方案进行排序、决策。层次总排 序如表6所示。 表6层次总排序 层次 B1 B2 B3 层次C 层