把握差异突破解题

1、把握差异突破解题 差异分析法是一种以揭露差异为手段，以寻求差异之间联系 为依据寻求解题途径的一种数学方法。 其主要特点是：揭露差异, 逆向转化，寻求联系。所谓揭露差异，就是将数学问题的条件与 条件，条件与结论之间的差异揭示出来。所谓逆向转化就是让差 异双方向其对立面转化，直到与对立面化同。所谓寻求关系，就 是通过逆向转化，找出条件与结论之间的内在联系。 而根据这个 联系，即可实现由条件向结论的转化。 下面结合具体的例子介绍 差异分析法在审题，探路等方面的应用。 一、差异分析法在审题中的应用 在以往的数学教学中，不少教师只重视对教法的研究与探 讨，而对学生学法指导上的探索做得很少。 在新课程标准

2、的理念 下，教师不再是信息的主要传播者、讲授者，而应当是帮助学生 形成正确的学习态度、方法以及较高的迁移能力。 如何审题是一 个关键环节。 在审题时先抛开细节观察揣摩整个问题，尽量使其清晰而鲜 明，这样做能够使自己熟悉问题，并把问题的目标牢记在脑海中， 同时也会调动起学生的记忆力， 做好准备去联想与问题有关的知 识，在审题时我们要特别关注它的本质，因为本质是内部矛盾的 主要方面，是比较深刻，比较稳定的内在联系。我们要通过对表 象的审查，揭示数学问题的内在联系， 这个联系其实是差异之间 的联系。 例如关于x的方程x2+2kx+k2-k+2=0的两个根为a, b,求 a2+b2 的最小值。 采用差

3、异分析法, 首先揭露差异, 由韦达定理, 易得 a+b=-2k 且 ab=k2-k+2 ,而 a2 与 b2 前面的 a+b, ab 的形式是有差异的 . 但它们能化 a2+b2=(a+b)2-2ab=2k2+2k-4 于是找到了它们之间 的联系, 但这只是这一题目中的一个小差异, 审题不应该就这样 结束。事实上,由于受到方程的制约,的取值是有限制的,它由 =4k2-4 (k2-k+2 ) 0确定，由此不等式解之，得 k2,从而 a2+b2 的实际表达式为 a2+b2=2k2+2k-4(k2). 由于k2的限制条件不时题中直接给的，因此乃是一种隐 含条件。于是,在审题时要注意隐含条件与直接条件

4、这样的差异, 它时刻存在审题之中。 所以我们应加深对差异的认识, 把握问题 的本质,从而避免陷入审题误区。 二、差异分析法在探路中的应用 探路就是探求解题思路, 它是审题的继续和发展, 审题审好 了,对于探路就是水到渠成的事情。 但是对于较难的数学问题来 说,审题的过程同时也是探路的过程。 这样运用差异分析法就可 以同时解决审题与探路的问题。 (07重庆)例如 如图2,中心在原点0的椭圆的右焦点为 F( 3, 0),右准线 l 的方程为： x=3. (1)求椭圆的方程； (2)在椭圆上任取三个不同点 P1, P2, P3,使 / P1FP2=/ P2FP3=/ P3FP1证明： + +为定值，

5、并求此定 值. 这个问题的解决也可采用差异分析法 . 第一问比较简单，题 设告诉焦点、准线，禾U用公式可以很容易求出椭圆方程+=1. 第二问显得有点难度，题设条件极其简单，而题断比较复杂，我 们先揭露出它的主要差异，仔细观察下题断，要求之和，使我 们联想到椭圆第二定义，于是得到= =，这样将发现FP1在 分子上，而题目中的 FP1 在分母上，它们所处的位置不同，于是 这里的主要差异是位置差异，再将其逆向转化，化异为同，于是 设/ P1FP2=琢1,这样便得到： 三、差异分析法在一题多解方面的应用 从不同的角度入手解题会得到不同的方法， 这就是一题多解 一题多解，可以开阔视野，拓宽思路，开发智力

6、，发展能力，因 此长期以来备受数学教育界的重视 . 用差异分析法来研究一题多 解就要求我们从不同的角度揭露差异，从而得到不同的方法。 例如 若a, b, c皆为正实数，求证：a2+b2+c2ab+bc+ac. 方法一：以等式与不等式之间的差异来解题 . 题目要证明的 是不等式,我们逆向转化下,化不等为相等,于是 设 f(x) =a2+b2+c2-ab+bc+ac. 下面只要证明f (x)恒大于等于零就可以了 . 而 f(x) =a2+b2+c2-ab+bc+ac = ( a2+2ab+b2) + ( b2-2bc+c2 ) + (a2-2ac+c2 ) = ( a-b ) 2+ (b-c )

7、2+ (a-c ) 2 0. 所以 a2+b2+c2ab+bc+ac. 方法二：以 a2，b2，c2 与 ab，bc，ac 之间的差异来解题， 虽然他们之间存在差异但同时又存在联系： a2+b2 2ab, b2+c2 2bc, a2+c2 2ac. 把上面三组不等式相加得到 2a2+2b2+2c2 2ab+2bc+2ac. 即 a2+b2+c2 ab+bc+ac. 方法三：以变量个数的“多”和“少”之间的差异来解题 . 这里涉及 a， b， c 三个变量，于是我们尽量向变量个数少的方向 来转化 . 令abc,设 a=m+c b=n+c,( m0, n0), 则 a2+b2+c2-ab+bc+a

8、c = (m+c)2+ (n+c)2+c2- (m+c) (n+c)- (n+c)c- (m+c) c =m2+n2-mn=( m-.n) 2+.n20. 所以 a2+b2+c2 ab+bc+ac. 方法四： 以几何与代数之间的差异来解题, 化代数问题为几 何问题，首先我们构造三个边长分别为a，b，c 的正方形(不妨 设 abc), 由图3易知，图中几部分的面积关系有 s1s2+s3s3+s4, 即 a (a-b) b ( a-b ) +b (b-c ) c ( b-c ) +b (a-b ), 所以 a (a-b) b ( a-b) +b (b-c ), 即 a2-abab-b2+bc-c2 , a2+b2+c2 2ab+bc ab+bc+ac.