专题6.15：数列与简易数论问题的研究与拓展

1、专题6.15:数列与简易数论问题的研究与拓展【探究拓展】探究1:设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列.(1) 若 an =：3n -1，是否存在 m,k N ，使 am - am ak ？1(2) 数列bn中，若b1 =1，公比q.(0,才，且- kN，bk-bk1 -bk2仍是bn中的项，则q=.(3) an满足at =1,d =2,试证明任给mN”,总存在N*使a1,am,ap成等比数列.探究2 :已知 V 是公差为d的等差数列，CbJ是公比为q的等比数列。(1) 若an =3n - 1，是否存在 m、k N，有am am ak ?说明理由；(2) 找出所有数列 n渝二使对

2、一切nN*,也 =bn，并说明理由an探究3:从数列an中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列， 称之为数列an的一个子数列.设 数列an是一个首项为a1、公差为d (d =0)的无穷等差数列.()若a1 , a2, a5成等比数列，求其公比q .(2)若a1 =7d，从数列an中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第 1项、第2项，试问该数列是 否为an的无穷等比子数列，请说明理由.拓展：若印=1，从数列an中取出第1项、第m (m 2)项(设at )作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t为何值时，该数列为an的无穷等比子数列，请说明理由.探究4:设数列an，对任意n N*

3、都有(kn b)(a1 anT P = 2佝-a an),(其中k、b、p是常数)(1) 当 k =0 , b = 3 , p = V 时，求 a1 a2 a an ；(2) 当k =1 , b = 0, p =0时，若a3 -3, a9 -15，求数列an的通项公式；(3) 若数列CaJ中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是封闭数列”.当k =1 , b =0, p=0时，设Sn是数列an 的前n项和，a? - 3 = 2，试问是否存在封闭数列,*i i i ii ii对任意.N，且都有0,苕:厂厂|三乓 若存在，求数列：an ?的首项ai的所有取值；若不存在，说明理由解:

4、(i)当 k = 0 , b = 3, p = -4 时，3 an) -4 二 2(ai a an),用 n i 去代 n 得，3(aia.i)4 = 2( aia211(a. a. .i)， -得，3(an i - an ) = 2an i， an i = 3an，在中令n=i得，ai =i，则an =0, a.数列a.是以首项为 1公比为3的等比数列, a! - a2 a? |( - a.=3n -i(2)当 k=i， b=0， p=0 时，n(ai a.)= 2(ai a?丨1(a.),用 n 1 去代 n得，(n 1)(ai a. i2(ai a a. a. i),-得，(n -i)a

5、n i - na.印=0 ,用 n I 去代 n 得，nan .2 -(n i)an i a 0 ,-得，na. 2-2 na. i 5 a. =0，即 a. - a. a. i a.,a _ a二数列a.是等差数列 t a3 = 3 , a? = I5，公差d - = 2 ,93 an = 2n -3(3)由(2)知数列an是等差数列， a2 -ai =2 , a. = ai - 2(n -i)。又是“封闭数列”，得：对任意 m,n N，必存在p N 使ai 25 T) ai 2(m -i)2( p -i)，得 ai =2(p - m -门 i),故 ai 是偶数,又由已知，-，故 i8 a

6、i : I2I2 SiI8 iiy i2 时，iiS.n ni ai ) 0, 对任意n，N , 都有丄丄 i丄.丄SiS2S3SnSii2另一方面，当ai = 2时，Sn =门（门I），Snn则 1113S2S3SnnS21112取n =2,则丄丄=1 -1SS23S2-口，不合题意18当 a4时，Sn =n(n 3),Sn1 1 1-丄)，则3 n n 31右三1 115 S3SnSiS3-7(183 n 1 n 2 n 311，18a1_6 时，S. =n(n a -1) n(n 3)， J1Sn3 n n + 3S1S2 s3 川 Sn 18 3n 1 n 2 n 3 18丄10(丄丄

7、丄)，厂 18又 a : 12 ,. ai = 4 或 ai = 6 或 ai = 8 或 = 10 11d，若数列：a中任意(不同)两项之和仍是该拓展1：设数列 订和n =1,2,IH是等差数列，且公差为数列中的一项，则 称该数列是 封闭数列”(1)若 =4,d =2，判断该数列是否为 封闭数列”并说明理由?(2)试问：数列fan?为 封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明 拓展2:若数列：an对任意的正整数满足： =k(k为常数)，则该数列：an 称为“等差比数列”an 卅 一 an(1) 若数列 & 的前n项和Sn满足Sn =2(an -1)，求an 的通项公式，并判断 订是

8、否为“等差比数 列”？(2) 若数列an f为等差数列，试判断 Qn ?是否为等差比数列？并说明理由？(3) 试写出一个“等差比数列”的通项公式an，使此数列既不是等差数列，也不是等比数列？(4) 类比“等差比数列”的定义，请你给出“等比差数列”的定义，并仿照(3 )给出该数列的一个通项 公式？探究5: (1)设a1,a2-；a50是从一1,0,1这三个整数中取值的数列，若a- a5 =9 ,(a1 1)2 (a2 1)(a50 1)2 =107，则色色，,a50中数字0的个数为7(2) 已知a,b,c,d是正整数，a :b：c：；d , d_a=7,若a,b,c成等差数列，b,c,d成等比数列，则这四数依次为.(3) 已知等差数列(an ?首项为a，公差为b，等比数列首项为b，公比为a，其中a,b* *都是大于1的正整数，且 a ：D,b2 : a3，对于任意的N ,总