一元二次方程的知识点梳理

1、、知识结构:元二次方程解与解法 根的判别 韦达定理-12 -、考点精析 考点一、概念（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2,这样的整式方程就是h元二次方程。一般表达式： ax2 bx c 0（a0）难点：如何理解“未知数的最高次数是2”: 该项系数不为“ 0”； 未知数指数为“ 2”； 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题:例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）2 1 1A 3 x 1 22x1B1 20x xC ax2 bx c 0D x2 2x x21变式：当k时，关于x的方程kx2 2x x2 3是一元二次方程例2、方

2、程m 2 x冋3mx 1 0是关于x的一元二次方程，则 m的值为针对练习:1、 方程8x2 7的一次项系数是 ，常数项是。2、若方程m 210是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关于x的一元一次方程。3、若方程m 1 x2. m ? x 1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是4、若方程nxm+xn-2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2, n=1C. n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y2 y 3的值为2,则4y2 2y 1的值为。例2、关于

3、x的一元二次方程a 2x2 x a240的一个根为0,则a的值为例3、已知关于x的一元二次方程ax2 bx c 0a 0的系数满足a c b，则此方程 必有一根为。例4、已知a, b是方程x2 4x m 0的两个根，b,c是方程y2 8y 5m 0的两个根，则m的值为。针对练习：1、 已知方程x2 kx 10 0的一根是2,贝U k为，另一根是。2、 已知关于x的方程x2 kx 2 0的一个解与方程 乞3的解相同。x 1求k的值；方程的另一个解。3、已知m是方程x2 x 1 0的一个根，则代数式m2 m 4、已知a是x2 3x 1 0的根，贝U 2a2 6a ym 0, x m5、方程 a b

4、 x2be D;配方法；公式法b c x e a 0的一个根为（）对于x a 2 m , ax m 2 bxn 2等形式均适用直接开方法典型例题:例 1、解方程：1 2x2 8 0;2 25 16x2=0;3 1 x 2 9 0;例2、若9 x 1 216 x 2 2，则x的值为针对练习：下列方程无解的是()02小2x 2ax a例 1、 2x x 3的根为(典型例题:例2、若4x23 4x0，则4x+y的值为变式1： a2b2 2 a2b20,则 a2 b2变式2:若x3 0 ,则x+y的值为变式3:若x2xy14，2y xyx 28，则x+y的值为例3、方程x20的解为(A. x13，x2

5、B.X13,x 22C. x1 3,x23 D. x1 2，x22针对练习:1、下列说法中: 方程 xpx q 0 的二根为 Xi, X2，则 x px q (x xi)(x X2) x2 6x 8 (x 2)( x 4). a2 5ab 6b2(a 2)(a 3) x2 y2 (x y)(. x ,y)C.x . y) 方程(3x 1)2 7 0可变形为(3x 1 .、7)(3x 1 ,7) 0正确的有()A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、以1,7与17为根的一元二次方程是()A. x2 2x 60 B . x2 2x 60C. y2 2y 60D . y2 2y 603、写出

6、一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数：写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1,且两根互为相反数： 4、若实数x、y满足x y 3 x y 20，则x+y的值为（）A -1 或-2 B 、-1 或 2 C 、1 或-2 D5、方程：x2 A 2的解是x类型三、配方法ax2 bx c 0 a 0x2ab2 4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。典型例题:例1、试用配方法说明x2 2x 3的值恒大于0例2、已知x、y为实数，求代数式x2 y2 2x 4y 7的最小值例3、已知x2 y2 4x 6y 13 0，x、y为实数，求x

7、y的值。针对练习:1试用配方法说明10x2 7x 4的值恒小于01 1 12、已知 x22 x 40，则 x最小值为例1、选择适当方法解下列方程: 31 x 26. x 3 x 68. x2 4x 10 3x2 4x 1 0 3 x 1 3x 1x 1 2x 5例2、在实数范围内分解因式:(2) 4x2 8x 1. 2x2 4xy 5y2说明：对于二次三项式ax2 bxc的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,般情况要用求根公式，这种方法首先令 ax2 bx c=0,求出两根，再写成2 ax bx c = a(x x1 )(x x2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分

8、母化去类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值;典型例题：解二元二次方程组例1、已知x2 3x 20，求代数式区x1的值x 1例2、已知a是一元二次方程x2 3x 1320的一根，求-翌旦的值a 1例3、用两种不同的方法解方程组2x y 6,(1)2 2x5xy 6y0.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.考点四、根的判别式b2 4ac根的判别式的作用： 定根的个数； 求待定系数的值； 应用于其它。典型例题：例1、若关于x的方程x2 2、.kx 1 0有两个不相等的实

9、数根，则k的取值范围是例2、关于x的方程m 1 x2 2mx m 0有实数根，则m的取值范围是()A. m 0且m 1 B. m 0 C. m 1 D. m 1例3、已知关于x的方程x2 k 2x 2k 0(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根;若等腰 ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求ABC勺周长。例4、已知二次三项式9x2(m 6)x m 2是一个完全平方式，试求m的值.例5、m为何值时，方程组2xmx2y2y6,有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?3.针对练习：1、 当k时，关于x的二次三项式x2 kx 9是完全平方式。2、 当k取何值时，多项式3x2 4x 2k

10、是一个完全平方式？这个完全平方式是什么?3、已知方程mx2 mx 20有两个不相等的实数根，则m的值是y kx 24、 k为何值时，方程组 y2，y 4x 2y 10.(1) 有两组相等的实数解，并求此解；(2) 有两组不相等的实数解；(3) 没有实数解.5、 当k取何值时，方程x2 4mx 4x 3m2 2m 4k 0的根与m均为有理数？考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题:例1、关于x的方程m 1 x2 2mx 30有两个实数根，则m为,只有一个根，则m为。例2、不解方程，判断关于x的方程x2 2x k k23根的情况考点六、根与系数的关系前提：对于ax2 bx c 0而言，当满足

11、a 0、0时，才能用韦达定理。主要内容：x x2b ,x1x2 -aa应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 2x2 8x 7 0的两根，则这个直角三 角形的斜边是（）A. 3B.3C.6 D.6例2、已知关于x的方程k2x2 2k 1 x 10有两个不相等的实数根x-i, x2，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值；若不 存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 4、已知 a b， a2 2a 10， b2 2b 10，求 a b 变式：若a2 2a 10，b2 2b 10，则-的值为。b