《中值定理应用》课件

第二章4微分中值定理及其应用(2)1第二章4微分中值定理及其应用1三.微分中值定理应用举例例1证记(证明恒等式)证明2三.微分中值定理应用举例例1证记(证明恒等式)证明2于是由推论1得即结论成立.又因例2(不等式的证明)3于是由推论1得即结论成立.又因例2(不等式的证明)3证(这里证明不等式,思路应是针对某个合适的辅助函数,应用中值定理,由等式过渡到不等式。)因为要证的结果等价于证令则f(x)在[b,a]上满足Lagrange定理条件,C[b,a]在(b,a)内可导,于是4证(这里证明不等式,思路应是针对某个合适的辅助函数,使得从而得例3(方程根的讨论)有一个正根,若方程证明方程必有一个小于的正根.

5使得从而得例3(方程根的讨论)有一个正根,若方程证由于函数在[0,]上连续,在(0,)上可导,且则根据Rolle

定理使即是的一个小于的正根.

6证由于函数在[0,]上连续,在(0,例4

(有关等式的证明)

设在闭区间[a,b]上连续,且在(a,b)内可导,试证:在(a,b)内至少存在一点,使证法1(用Rolle定理证)—“常数k法”

7例4(有关等式的证明)设在闭区间[a,要证的等式又可写为：

记取辅助函数为：则在[a,b]上连续，在(a,b)上可导,且8要证的等式又可写为：记取辅助函数为：则因此使即亦即这就是所要的结论。9因此使即亦即这就是所要的结论。9证法2(用Cauchy定理证)—由

适当变形进一步

10证法2(用Cauchy定理证)—由适当变形进一步于是取辅助函数：则它们都在上连续，在内可导，且满足Cauchy定理的三个条件，所以立即可得，.从而得到11于是取辅助函数：则它们都在*证法3(用Lagrange定理证)——思考提示：用辅助函数四.L’Hospital

法则此前，我们所遇到的极限绝大部分为不定式极限，事实上两个重要极限也属不定式极限。不定式极限有以下七类：12*证法3(用Lagrange定理证)——思考提示：用辅助

1313

1414通过以上分析可知，所有不定式极限最终归为两类：..所以,相应有两个定理,分别针对这两种情况,统称为L’Hospital

法则。15通过以上分析可知，所有不定式极限..所以,定理4(L’Hospital

法则)

设16定理4(L’Hospital法则)设16证由条件(1)，中值定理即有17证由条件(1)，中值定理即有17对于情况,可以通过变量代换化为的情况而得出类似结论。于是同理可证若条件再强些,还可有18对于情况,可以通过变定理5设不证19定理5设不证19书上

P.131.-P.133

例4.6——例4.9.使用L’Hospital

法则,必须注意：使用此法则，例如习题2.4—P.136.N.13.(1)并非所有的型不定式都可以20书上P.131.-P.133例4.6——例4.9.使用是否还是这两种不定式？

能否还可以用“洛比达

”法则？的复杂性后,再用法则.(2)若多次使用此法则,则需要每一步都得重新考察:(3)每次用法则前,应尽量先减少计算21是否还是这两种不定式？能否还可以用“洛比达”法则？例5解由条件要使则定有22例5解由条件要使则定有222323归纳地可得：24归纳地可得：24于是所求的n次多项式为：25于是所求的n次多项式为：25最后这个例子的作法及结论具有一般性，其意义在用高次多项式去逼近一个函数的数学思想——这将是我们在下一节要介绍的主要内容。作业P.135-习题2.4(A)—思考:N.13,15-17;书面:(A)—N.10(单),11,12,14；(B)—N.1—10.《接习题讨论课》26最后这个例子的作法及结论具有一般性，作业P.135-习第二章4微分中值定理及其应用(2)27第二章4微分中值定理及其应用1三.微分中值定理应用举例例1证记(证明恒等式)证明28三.微分中值定理应用举例例1证记(证明恒等式)证明2于是由推论1得即结论成立.又因例2(不等式的证明)29于是由推论1得即结论成立.又因例2(不等式的证明)3证(这里证明不等式,思路应是针对某个合适的辅助函数,应用中值定理,由等式过渡到不等式。)因为要证的结果等价于证令则f(x)在[b,a]上满足Lagrange定理条件,C[b,a]在(b,a)内可导,于是30证(这里证明不等式,思路应是针对某个合适的辅助函数,使得从而得例3(方程根的讨论)有一个正根,若方程证明方程必有一个小于的正根.

31使得从而得例3(方程根的讨论)有一个正根,若方程证由于函数在[0,]上连续,在(0,)上可导,且则根据Rolle

定理使即是的一个小于的正根.

32证由于函数在[0,]上连续,在(0,例4

(有关等式的证明)

设在闭区间[a,b]上连续,且在(a,b)内可导,试证:在(a,b)内至少存在一点,使证法1(用Rolle定理证)—“常数k法”

33例4(有关等式的证明)设在闭区间[a,要证的等式又可写为：

记取辅助函数为：则在[a,b]上连续，在(a,b)上可导,且34要证的等式又可写为：记取辅助函数为：则因此使即亦即这就是所要的结论。35因此使即亦即这就是所要的结论。9证法2(用Cauchy定理证)—由

适当变形进一步

36证法2(用Cauchy定理证)—由适当变形进一步于是取辅助函数：则它们都在上连续，在内可导，且满足Cauchy定理的三个条件，所以立即可得，.从而得到37于是取辅助函数：则它们都在*证法3(用Lagrange定理证)——思考提示：用辅助函数四.L’Hospital

法则此前，我们所遇到的极限绝大部分为不定式极限，事实上两个重要极限也属不定式极限。不定式极限有以下七类：38*证法3(用Lagrange定理证)——思考提示：用辅助

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4014通过以上分析可知，所有不定式极限最终归为两类：..所以,相应有两个定理,分别针对这两种情况,统称为L’Hospital

法则。41通过以上分析可知，所有不定式极限..所以,定理4(L’Hospital

法则)

设42定理4(L’Hospital法则)设16证由条件(1)，中值定理即有43证由条件(1)，中值定理即有17对于情况,可以通过变量代换化为的情况而得出类似结论。于是同理可证若条件再强些,还可有44对于情况,可以通过变定理5设不证45定理5设不证19书上

P.131.-P.133

例4.6——例4.9.使用L’Hospital

法则,必须注意：使用此法则，例如习题2.4—P.136.N.13.(1)并非所有的型不定式都可以46书上P.131.-P.133例4.6——例4.9.使用是否还是这两种不定式？

能否还可以用“洛比达

”法则？的复杂性后,再用法则.(2)若多次使用此法则,则需要每一步都得重新考察:(3)每次用法则前,应尽量先减少计算47是否还是这两种不定式？能否还可以用“洛比达”法则？例5解由条件要使则定有48例5解由条件要使则定有224923归纳地可得：50归纳地可得：24于是所求的n次多项式为：51于是所求的n次多项式为