阶段性测试题十二(算法初步、推理与证明、复数)

1、E hEmxn阶段性测试题十二（算法初步、推理与证明、复数）本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）11111 .（文）（2011辽宁文）i为虚数单位，1 + !+ 1 + 77=（）A . 0B. 2iC. 2iD. 4i答案A解析本题考查了复数的定义及其运算，等比数列前n项和公式的应用，并考查了多种方法灵活处理问题的能力.法 1：vi2 = 1,.i3= i, i5= i, i7= i,1 丄 1丄 .原式=：+

2、+= 0.i i i i1 1法2:把原式看成是以为首项，以尹为公比的等比数列的前4项和即1 1原式=1 = 0.a+ i一（理）（2011辽宁理）a为正实数，i为虚数单位，厂i |= 2,则a =（）A . 2B. , 3C2答案B解析本小题考查内容为复数的运算与复数的模的求法.=|1-ai|= ：1 + a2= 2,a= 3.2. （2011大纲全国卷理）复数z= 1+i,为z的共轭复数，则z z1 =（）A . 2iB. iC. iD. 2i答案B解析本小题考查的内容是复数的概念与运算.z = 1 i z 1= (1 + i)(1 i) (1 + i) 1 = i.3. （2011新课标

3、理）执行下面的程序框图，如果输入的N是6,那么输出的p是（）A . 120B. 720C. 1440D. 5040结束答案B解析当输入的N是6时，由于k= 1, p= 1,因此p= p k= 1此时k=1，满足 k6，故 k= k+ 1=2;当 k= 2 时，p= 1 x2,此时满足 k6,故 k= k+ 1 = 3;当 k= 3 时，p= 1 x 2x 3,此时满足 k6，故 k = k+ 1 = 4;当 k= 4 时，p= 1x 2x 3x4,此时满足 k6,故k=k+ 1= 5;当 k= 5 时，p= 1x2x 3x4x 5,此时满足 k6,故k= k+ 1 = 6.当k= 6时，p=

4、1x 2x 3x 4x 5x6= 720,此时k6不再成立，因此输出 p= 720.4. （2012 九江一模）下面的程序框图给出了计算数列a.的前8项和S的算法，算法执行完毕后，输出的S为）A . 8B. 63C. 92D. 129答案C解析程序框图是计算S= 1 + 2 + 4+7+11+ 16+22+ 29= 92,二输出的S为92,故选C.5. （2012三亚调研）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文a, b,c,d 对应密文 a+ 2b,2b + c,2c + 3d,4d,例如，明文 1,2,3,4对应密文 5,7,

5、18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（）B. 7,6,1,4D. 1,6,4,7A . 4,6,1,7C. 6,4,1,7 答案Ca + 2b = 14a= 62b+ c = 9b= 4解析因加密规则可得？2c+ 3d= 23c= 14d= 28d= 7故明文为6,4,1,7.6. （2012西宁调研）观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上 合适的图形为（）aAAIIIO答案A解析表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经 有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形.7.

6、（文）要表示直线与圆的位置关系最好用下列哪种框图来表示（TA .流程图B.程序框图C.结构图D .统筹图答案C解析直线与圆有三种位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离，它们三者是并列关系，都从属与直线与圆的位置关系，故宜 用结构图表示.（理）（2012临沂一模）如图所示的程序框图输出的结果是（）5C.6E hSmxn答案C一 2解析i= 1 4满足，执行第一次循环后，A=3， i = 2;i = 2 4满足，执行第二次循环后，3 .A=4， i = 4 z在复平面由对应的点为（5，罗，故选d.9. （2011 福建理）对于函数 f（x）= asinx+bx+c（其中 a, b R,

7、 c Z）, 选取a, b, c的一组值计算f（1）和f（ 1）,所得出的正确结果一定不可能 是 （）A . 4 和 6；i = 3 4满足，执行第三次循环后，4A=5，i = 4;i = 4 4满足，执行第四次循环后，A=6，i = C. 2 禾口 4；5i= 50, y0, lg2x + lg8y= lg2,最小值是()A . 2B. 2 2C. 4D. 2 3答案C解析因为 x0, y0,且 lg2x + lg8y= lg2, 所以 x+ 3y= 1.11113y x于是，有 x+ 3y= (x+ 3y)(x + 3y) = 2+(x+ 矿4,故选 C.(理)(2012江西上饶一模)用数

8、学归纳法证明“ n3 + (n+ 1)3 + (n + 2)3, (n N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n = k+ 1时的情况，只需展开()A . (k+ 3)3B. (k+ 2)3C. (k+ 1)3D. (k+ 1)3 + (k+ 2)3答案A解析假设当n = k时，原式能被9整除，即k3+(k+ 1)3 + (k+ 2)3能被9整除.当n=k+ 1时，（k+1）3 + （k+ 2）3 + （k+ 3）3为了能用上面的归纳假设,只需将（k+ 3）3展开，让其出现k3即可.第口卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案 填在题中横线上）2i1

9、1. 在复平面内，复数 厂对应的点的坐标为 .1 i答案（1,1）解析2i 2i 1 + i1 厂 1 i 1 + i = i(1 +i)= 1 + i.故对应点坐标为（ 1,1）.12. （文）（2011福建理）运行如图所示的程序，输出的结果是 ,F1PRINT aEND答案3解析本题主要考查算法知识，由于 a= 1, b= 2, a = a+ b= 1 + 2 =3.（理）（2011江西理）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是.:开舸占二0必=1下s=s+(-l)n+n/输出才/亠他束?T=n+l v答案10解析本题主要考查程序框图知识.n= 1, s= 0+ ( 1)1 +

10、1 = 0,n = 2 时，s= 0 + ( 1)2 + 2= 3, n= 3 时，s= 3 + ( 1)3 + 3= 5, n = 4 时, s= 5+ ( 1)4 + 4= 109，故运行输出结果为10.13. (2011安徽理)如下图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是答案15解析由T= T+ k可知T是一个累加变量，原题实质为求 1 + 2+ 3k(k + 1)k(k +1)+ k的和，其和为一，令一2三105,得k105.此时输出k= 15.14. (2012咸阳调研)已知点An(n, an)为函数y=px2+ 1的图像上的点， Bn(n, d)为函数y= X图像上的点，其中n

11、N*，设Cn= an bn，则Cn与Cn +1的大小关系为.答案CnCn +1解析解法1：.玄=；n2+ 1, bn= n,Cn = Pn2 + 1 n=，随n的增大而减小，为减函数，Cn+ 11 + 1 +nCnCn + 1.15 .(文)(2012唐山模拟)方程f(x) = x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)xa x+ 2有唯不动点，且x1 = 1007,xn + 1 N +)，则x2013答案2013x解析由=X,得 ax2 + (2a 1)x= 0,a(x + 2)Tf(X)有唯一不动点，口口12a 1 = 0, 即卩 a = 2，-f(x)=2xx + 2,12xn + 11

12、冷 + 1 =1 =2= Xn+ 2XnX2013= x +2012= 1007+ 1006= 2013.（理）自然数按下表的规律排列12510171111436111811198 -712119116 15 24 -23221- 21则上起第15行，左起第，16列的数为答案240解析经观察可得这个自然数表的排列特点:第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方, 即第n行的第1个数为n2；E hSmxn第一行第n个数为（n-1)2 +1； 第n行从第1个数至第n个数依次递减1; 第n列从第1个数至第n个数依次递增1.则上起第15行，左起第16列的数应为

13、第16列的第15个数，即为（16 1）2 +1+ 14= 152 + 1 + 14= 15X 16 = 240.三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）（2011上海理）已知复数z满足（乙2）（1 + i） = 1i（i为虚数单位），复数Z2的虚部为2,且Z1 是实数，求Z2.解析（乙一2）（1 + i） = 1 i? Z1 = 2 i设 Z2= a+2i, a R，贝zz= （2 i）（a + 2i） = （2a + 2）+ （4a）i,Z1Z2 R,.a = 4,.N = 4+2i.17 .（本小题满分12分）（2012

14、肥模拟）给出以下10个数： 5,9,80,43,95,73,28,17,60,36要求把大于40的数找出来并输出，试画出该 问题的程序框图.分析题目给出了 10个数字，将大于40的数找出来.解答本题先确 定使用循环结构，再确定循环体.解析程序框图如图所示：f=i否 /输出* /曰+1点评设计程序框图，首先由题意选择合适的结构，再确定本结构需 要的条件.18. (本小题满分12分)设复数z= lg(m2- 2m 2) + (m2 + 3m+ 2)i,当实 数m取何值时.(1) z是纯虚数.(2) z是实数.(3) z对应的点位于复平面的第二象限.lg(m2 2m- 2 )= 0,解析(1)由题意

15、知2Im2 + 3m+ 2 工 0.解得m= 3.所以当m= 3时，z是纯虚数.(2)由 m +3m+ 2=0,得 m= 1 或 m= 2,又 m= 1 或 m= 2 时，m2 2m 20,所以当m= 1或m= 2时，z是实数.由lg m 2m 2 0.2m 2m 20即 m? 2m 30解得：1m1 .3或 1+ 3m3.所以当一1m1 . 3或1+ 3m3时，z对应的点位于复平面的第二 象限.19. （本小题满分12分）求证关于x的方程ax2 + 2x+ 1 = 0至少有一个 负根的充要条件是a 1.分析需证明充分性和必要性.证充分性时，可分a= 0,a0和0aw 1 三种情况证明；证必要

16、性，就是寻找方程有一个负根和两个负根的条件.证明充分性：当a= 0时，方程为2x+1 = 0,1其根为x= 方程有一个负根，符合题意.当a0，方程ax2 + 2x+ 1 = 0有两个不相等的实根，1且a0,方程有一正一负根，符合题意.当 00,a方程ax2 + 2x+ 1 = 0有实根,2,故方程有两个负根，符合题意.-2综上知：当a0120.解得 a0 或 0a1.则-0 或a0 a综上知：若方程ax2 + 2x+ 1 = 0至少有一负根则a 1.故关于x的方程ax2 + 2x+ 1 = 0至少有一个负根的充要条件是 a 8疋;若x R，不等式(x+ 1)(x2 + 1)(x3 + 1)8x

17、3是否仍然成立？如果成 立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值.解析(1)x是正实数，由基本不等式知x+ 12&, x2+ 12x, x3+ 12収,故(x + 1)(x2 + 1)(x3 + 1)2 x 2x2 x3 = 8x3(当且仅当 x= 1 时等号成 立)(2) 若 x R，不等式(x+ 1)(x2 + 1)(x3 + 1)8x3仍然成立.由(1)知，当x0时，不等式成立；当 x 0 时，8x3 0.此时不等式仍然成立.21. (本小题满分14分)(2012贵阳一模)已知数列an中，&是它的前n项和，并且 S)+1 = 4an +2(n= 1,2,),a1 = 1.

18、(1)设bn= an+1 2an( n= 1,2,)，求证：数列bn是等比数列；设Cn=男(n= 1,2,)，求证：数列Cn是等差数列；(3) (理)求数列an的通项公式及前n项和公式.解析(1)证明：TS1 + 1= 4an + 2,.Sn + 2= 4an + 1 + 2,两式相减，得 Sn+ 2 Sn+1 = 4an+1 4an(n= 1,2,),即 an + 2= 4an + 1 4an ,变形得 an + 2 2an + 1 = 2(an+ 1 2an). bn = an+1 2an(n = 1,2 ,)，bn+1 = 2bn.由此可知，数列bn是公比为2的等比数列.(2)证明：由 S2 = a1 + a2 = 4a1 + 2, a= 1, a2 5 ,b a2 2a 3,由(1)知 bn =