八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法: 找三条两两垂直的线段，直接用公式 (2R) =a b2 c2，即 2/a2 b2 c2，求出 R 例1 A. 16 ： （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 B 20二 C 24二 体积为16，则这个球的表面积是（C ） 32 二 (2) 若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 . 3， 则其外接球的表面积是 9: 解: 2 2 2 2 2 (1) V =a h =16 , a =2 , 4R =a a h =4 416 =24，S = 24 ,选 C； (2)

2、4R2 =3 3 3 =9， S =4：R2 =9二 (3) 在正三棱锥 S-ABC中，M、N分别是棱SC、 BC的中点，且 AM _ MN ,若侧棱SA = 2、3 ,则 题-1 C 题-2 正三棱锥S-ABC外接球的表面积是。 36二 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下： 如图（3） -1，取AB, BC的中点D, E，连接AE,CD , AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角 形ABC的中心，SH _平面ABC, SH_AB , AC=BC , AD=BD , CD _ AB, AB _ 平面 SCD , -AB_SC，同理：BC _ SA, AC _ SB，即正三棱锥的对

3、棱互垂直, 本题图如图(3) -2 , AM _MN , SB/MN , AM _SB, AC_SB , SB_平面 SAC , SB_SA, SB_SC, SB_SA, BC _ SA, -SA_平面 SBC,SA_ SC, 故三棱锥S - ABC的三棱条侧棱两两互相垂直， .(2R)2 =(2 一 3)2 (2 一3)2 (2、,3)2 =36，即 4R2 =36 , -正三棱锥S-ABC外接球的表面积是 36 (4)在四面体S-ABC中，SA_平面ABC , ZBAC =120 ,SA= AC =2, AB =1,则该四面体的外接 球的表面积为(D ) A.11二B.7 : (5)如果三

4、棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 1040 C.D. 33 6、4、3，那么它的外接球的表面积是 (6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 何体外接球的体积为 1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几 解析：(4 )在 ABC 中，BC = AC2 AB-2AB BC cos120 =7， BC =$7， ABC的外接球直径为 ，选D (5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为 a, b,c( a,b,c R )，则 ab =12 2 2 2 2 2 bc =8， abc = 24，a=3， b=4， c=2， (2r) = a b c =29， s = 4二 R =

5、29 二， ac = 6 (2R)2 宀3，r2+， R， V 二4 二R3 二4二 33 3.3 8 类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面) 1.题设：如图5, PA_平面ABC 解题步骤： 第一步：将ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD，贝U PD必过球心O ; 第二步：O1为 ABC的外心，所以OO1 _平面ABC，算出小圆Q的半 径O1D二r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 P O A D B C a b sin A sin B c sin C =2r) 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： 2 2 2 (2R)二 PA (2

6、r)= 2R = PA2(2r)2 ； R2 二 r200i2 = R 2 OO12 2.题设：如图6, 7, 8, P的射影是ABC的外心 三棱锥P - ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 二 三棱锥P - ABC的三条侧棱相等 二 P点也是圆锥的顶点 第一步：确定球心 0的位置，取 ABC的外心Oi，则PQO三点共线; 第二步：先算出小圆 01的半径AOr，再算出棱锥的高 POh (也是圆锥的高)； 第三步：勾股定理：OA2 =OiA2，OiO2= R2 =(h-R)2 r2，解出 R 方法二：小圆直径参与构造大圆。 例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为()C

7、 16兀 A. 3二B. 2-C.D .以上都不对 3 解：选 C, ( 3 -R)2 1 二 R2, 3-2、3R R2 1 二 R2, 4-2 3R = 0, ；4R 类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直) P A C B 图9-1 P O C B A 图9-2 P O A Oi C B 图9-3 P O C B 图9-4 1题设：如图9-1，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC (即AC为小圆的直径) 第一步：易知球心 0必是 PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 AC = 2r ； 第二步：在 PAC中，可根据正弦定理 b c 2R，求出R sin A sin

8、B sin C 2.如图9-2，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC (即AC为小圆的直径) OC2 gc2 OQ2 二 R2=r2 OQ2 二 AC=2. R2OQ2 3如图9-3，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC (即AC为小圆的直径)，且 P的射影是 ABC的 外心二 三棱锥P-ABC的三条侧棱相等 =三棱P-ABC的底面：ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是 圆锥的顶点 解题步骤： 第一步：确定球心 O的位置，取 ABC的外心O1，则PQ,。!三点共线； 第二步：先算出小圆 O1的半径AOr，再算出棱锥的高 POh (也是圆锥的高)； 第三步：勾股定理：OA2 =OiA2

9、 OiO2= R2 =(h-R)2 r2，解出 R 4如图9-3，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC (即AC为小圆的直径)，且 PA _ AC，贝U 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)PA2 (2r)2二2 ；.：PA2 (2r)2 ； R2 =r2 OOu R = ,r2 OO12 例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2.3，则该球的表面积为 。 (2)正四棱锥S -ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_ 解：(1)由正弦定理或找球心都可得 2R =7, S =4二R2 =49二， _4兀 (2)方法一

10、：找球心的位置，易知r =1 ,h=1,h=r，故球心在正方形的中心 ABCD处，R=1, V = 3 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径， 4兀 2R =2 , R =1 , V 二 3 （3）在三棱锥P ABC中，PA二PB二PC = 3 ,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外 接球的体积为（） JI_ 4 二 A.二B.C. 4二D. 3 3 解：选D,圆锥A, B,C在以r3的圆上 R=1 2 （4）已知三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球 径,且SC =2，则此棱锥的体积为（ O的求面上，UABC是边长为1的正三角形

11、，SC为球O的直 D. 42 2 解:。1 小-32 1 “13 2 一 6 二Sh 二 3343 A 类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 图 10-2 , 10-3,直三棱柱内接于球 题设：如图10-1 , 是任意三角形） （同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以 第一步：确定球心 O的位置，01是ABC的外心，则 00平面 ABC ； 第二步：算出小圆 Oj 的半径 AOr , 001 -AA1 2 1 h （ AA =h也是圆柱的高）； 2 第三步：勾股定理: 2 2 2 OA 9A OQ =： 2 h 2 r (?)，解出 R 例4（1） 一个正六棱柱的底面上正六边形

12、，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 且该六棱柱的体积为 9，底面周长为3，则这个球的体积为 8 1 解：设正六边形边长为 a，正六棱柱的咼为 h，底面外接圆的关径为 r，则a二一, 2 底面积为 S =6 仝（丄）2，V柱=Sh=出 h， h = . 3，R2 = （ 3）2 （丄）2 =1， 4288822 4下 R=1，球的体积为7 = 3 (2)直三棱柱 ABC -ABG的各顶点都在同一球面上，若AB二AC二AA, =2, . BAC =120，则此 球的表面积等于。 解：BC =2、3，2r4 , r=2，R= 5，S = 20 二 sin120 (3)已知.EA

13、B所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直， EA =EB =3, AD =2,. AEB =60，则多面体 E - ABCD 的外接 球的表面积为。16： 解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为. 3，00,-1， D 313 R= ._1 3=2 ；法二：O1M，r2 =O2D =- 2 2 ，R2 3 13 13 =4，R=2，S = 16 二 4 4 （4）在直三棱柱 ABC -A,BiCi 中，AB =4,AC =6, A ,AA1 = 4则直三棱柱 ABC - A B1C1的外接球 3 的表面积为 160 。 - 3 2 1- 解析：BC =16 36 -2 4 628，BC

14、 = 2.7， 2 A7 c2.74 7 八.33，3， 22AA1 2 R-r2 （ b2 2 2840 4 = 33 160 S =- 3 类型五、折叠模型 第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出 BCD和 A BD的外心H1和H2 ； 第二步：过H1和H?分别作平面BCD和平面A BD的垂线，两垂线的交点即为球心 O ,连接OE,OC ； 第三步：解 OEH1，算出OH1，在Rt OCH 1中，勾股定理： OH； CH； =OC2 例5三棱锥P - ABC中，平面PAC _平面ABC， PAC和 ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P - ABC外接球的半径为 解析：

15、2 =2r2 24 ， sin 60. 3 2 1 21.3，% 二3 2 2 R =O2H 法二：o2h 1 1 =.3，1H 1.3， AH =1 R2 = AO2 = AH 2 ON OQ2 .15 3 类型六、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； (AB =CD , AD = BC , AC = BD ) 第二步：设出长方体的长宽高分别为 a,b,c，AD二BC二x，AB = CD二y，AC二BD二z，列方程组, -2 a e2 2 c b2 c2 a2 2 =x 2/cr2

16、2丄2丄 2 =y = (2R) a b c = 2 二 z x2y2z2 补充：Va_bcd 1 1 =abc abc 4 abc 3 第三步：根据墙角模型, 2R _ a2 b2 c2 x2y2 z 叫宀广2，求出R , 例如，正四面体的外接球半径可用此法。 例6（ 1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若 个截面如图，则图中三角形 （正四面体的截面）的面积是 （2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 A.型 B 空 43 解：（1）截面为 PCO1，面积是 2 ； （2）高h = R =1，底面外接圆的半径为 a 设底面边长为a，则2R

17、2， sin 60 I 1yJ3 三棱锥的体积为V Sh = 34 1的球面上，其中底面的三个顶点 12 R = 1，直径为 2R=2， a3，s 启 a2 小， 44 O 题解答图 （3）在三棱锥 A-BCD中，AB二CD =2,AD二BC =3,AC二BD =4,则三棱锥 A-BCD外接球的表 面积为。一二 2 解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，则a2 b9 , 2 2 2 2 2 2 2 222 b c =4，c a =16. 2( ab c ) =9 4 16 =29，2(a b c )=9 4 16=29， b2 c2 29 2 4

18、R2 二里，S 二29二 2 2 （4）如图所示三棱锥 A - BCD，其中AB =CD =5, AC = BD二6, AD = BC = 7,则该三棱锥外接球的 表面积为. 解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 a,b,c， 2(a2 b2 c2) =25 36 49 =110, a2 b2 c2 =55，4R2 二 55，S = 55 【55二；对称几何体；放到长方体中】 （5）正四面体的各条棱长都为-.2，则该正面体外接球的体积为 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R = .3， 类型七、两直角三角形拼接在一起 （斜边相同，也可看

19、作矩形沿对角线折起所得三棱锥 ）模型 C 题设： APB =/ACB =90，求三棱锥P - ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，连接 1 OP,OC，则OA =OB =OC =OPAB， O为三棱锥P - ABC外接球球心，然后在 OCP中求出 半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定 值。 例7（ 1）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B - AC - D， 则四面体ABCD的外接球的体积为（） a 125D A.B 125 - .JT C 125 .n D 125 .兀 12 9 6

20、3 5 4 3 4125 125- 解：(1) 2R=AC =5， R -， VR3 =Tt *= ，选C 2 3 38 6 （2）在矩形ABCD中，AB =2，BC =3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为 . 解析：（2） BD 的中点是球心 O，2 B - ： 13， S=4 二 R2=13 二; 类型八、锥体的内切球问题 1题设：如图14，三棱锥P _ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。 第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心； 1 第二步：求DHBD，P0二PH-r，PD是侧面 ABP的高； 3 第三步：由 P0E相似于

21、 PDH，建立等式： 匹二巴，解出r DH PD 2题设：如图15，四棱锥P-ABC上正四棱锥，求其外接球的半径 第一步：先现出内切球的截面图，P,0, H三点共线； 1 第二步：求FH BC , P0 = PH r , PF是侧面-PCD的高； 2 第三步：由P0G相似于 PFH，建立等式：99二史，解出 HF PF 3题设：三棱锥 P - ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径 P A C 图14 B D 图15 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为 r，建立等式：Vpbc二Vojbc - Vo _pab - VPAC Vo_PBC VP -ABC 111 SABC r_SPABr_SPAC 333 11 r Spbc r(S abc S pab Spac S PBC ) r 第三步：解出 r So SBC 3V So -PABSo _PAC So _PBC 33 习题: 1.若三棱锥s - ABC的三条侧棱两两垂直，且SA = 2 , SB = SC = 4 ,则该三棱锥的外接球半径为 （） A. 3B. 6C. 36D. 9 解：【A】（2R）216 16 =6 , R = 3 【三棱锥有一侧棱垂直于底