《数字信号处理》第三版课后习题答案

1、Tax1(n) bx2(n)二 aTxMn) bTx2(n) 数字信号处理课后答案 1.2教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列：(n)及其加权和表示 题1图所示的序列。 解： x(n)二4) 2 (n 2) n 1) 2 (n) 、(n -1) 2 (n -2) 4 (n -3) 0.5 (n -4)2、.(n -6) 2n 5, -4 _ n _ -1 2. 给定信号：x(n) = 6,0 n _4 o,其它 (1) 画出x(n)序列的波形，标上各序列的值； (2) 试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； (3) 令捲(n) =2x(n-2)，试画出捲(n)波形； (4) 令

2、X2(n)=2x(n 2)，试画出 x?(n)波形； (5) 令 x3(n) =2x(2 -n)，试画出 X3(n)波形。 解： (1) x(n)的波形如题2解图(一)所示 (2) x(n) = -3 (n 4) -、(n 3)、(n 2) 3 (n 1) 6 (n) 6 (n -1) 6 (n -2) 6 (n -3)6 (n _4) (3) X1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2,画出图形如 题2解图(二)所示。 (4) X2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2,画出图形如 题2解图(二)所示 (5)画X3(n)时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位,X3(n)波形

3、如 题2解图(四)所示。 3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 (1) x(n)二 Acos(3 二 n )， A 是常数； 7 8 (2) x(n) = e。 解： (1) w=3二,214，这是有理数，因此是周期序列，周期是 T=14 ； 7 w 3 (2) wJ,兰6二，这是无理数，因此是非周期序列。 8 w 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入 和输出，判断系统是否是线性非时变的。 (1) y(n) =x(n) 2x(n -1) 3x(n -2)； (3) y(n )=x( n-n)， n 为整常数； (5) y(n) =x2(

4、n)； n (7) y(n) x(m)。 m =S 解： (1)令：输入为x(n-n。)，输出为 y (n) =x(n - n0) 2x(n -n0 -1) 3x(n - n0 -2) I y(n - n) =x( n -n) 2x( n _n -1) 3x( n-山 -2) = y( n) 故该系统是时不变系统。 y(n)二 Taxi(n) bx2(n) = axdn) bx2(n) 2(axdn T) bx2(n-1) 3(axn-2) bx2(n-2) Tax1 (n) = ax1(n) 2ax1(n T) 3ax1(n _2) Tbx2(n) =bx2(n) 2bx2(n -1) 3b

5、x2(n -2) SZ5 故该系统是线性系统。 (3) 这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证 明。 令输入为x(n-ni)，输出为y(n) = x(nmn。)，因为 I y(n -nJ = x(n n 1 - n) = y (n) 故延时器是一个时不变系统。又因为 Tax1 (n) bx2 (n)二 ax,n-n0) bx2(n-n0 aTx1(n) bTx2(n) 故延时器是线性系统。 (5)y( n)= 2 ( n) 令：输入为x(n -n)，输出为y(n) = x2(n-n)，因为 2 y(n -no) =x (n -no) = y (n) 故系统是时不变系统。又因为

6、2 Tax1( n) bx2( n)=亦(n) bx2( n) -aTxi( n) bTK n) 22 二 ax-! (n) bx2 (n) 因此系统是非线性系统。 n (7)y(n) =x(m) m =0 n 令：输入为x(n -no)，输出为y(n)=二x(m - n)，因为 m=0 n-Q) y(n n。)=嘉 x(mp= y(n) m=0 故该系统是时变系统。又因为 Taxj(n) bx2(n)八(ax1(m) bx2(m)二 aTxMn) bTx2(n) m0 故系统是线性系统。 6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并 说明理由。 (1) 1 N J y(n)

7、 x(n -k)； N 7 (3) n n。 y(n)-為 x(k)； k =n -n0 (5) x(n) y(n) = e 解： (1) 只要N 一1,该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n 时刻以前的输入有关。如果x(n) zM，则y(n)空M，因此系统是稳定 系统。 n -+io (3)如果x(n) M， y(n)|工|x(k)| |2n。1 M，因此系统是稳定的。 系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关. (5)系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。女口 果x(n)|EM ,则y(n)| = ex(n)4*M，因此系统是稳定的。 7. 设线性时不变系统

8、的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图 所示，要求画出输出输出y(n)的波形。 解： 解法(1):采用图解法 Q0 y(n) = x(n) h(n) 八 x(m)h(n_m) m =0 图解法的过程如题7解图所示。 解法(2) 因为 所以 :采用解析法。按照 题7图写出x(n)和h(n)的表达式： x(n)二-、(n 2)、(n -1) 2、(n -3) 1 h(n) =2、(n)n -1) (n -2) 2 x( n)* n=) x n ) x( n) * A (nk今A X- n k 1 y(n) =x(n)*2、(n)、(n -1) 、(n - 2) 2 1 = 2x(n) x

9、(n -1) x(n-2) 2 将x(n)的表达式代入上式，得到 y(n) - -2 (n 2) -、(n 1)-05 (n) - 2 (n -1) (n -2) 4.5 (n -3) 2、(n - 4)、(n -5) 8. 设线性时不变系统的单位取样响应h(n)和输入x(n)分别有以下三 种情况，分别求出输出y(n)。 (1) h(n )=民(n),x( n)二 Rs( n)； (2) h(n) =2民(n) ,x( n) (n)-、( n-2)； (3) h(n) = 0.5nu(n), Xn 二 R5(n)。 解： oO (1)y(n)=x(n)* h(n)二 民(口足(n-m) m =

10、；： 先确定求和域，由Rt(m)和Rs(n-m)确定对于m的非零区间如下： 0_m_3, n-4_m_n 根据非零区间，将n分成四种情况求解： n : 0, y(n) =0 n 0 込 n 乞3, y(n) 1 二 n 1 mq0 3 4 二n z7,y(n)二 1=8 -n m _4 7 : n,y(n) =0 最后结果为 n c0, n a 7 y(n )= n +1, 0 兰 n E3 8 n, 4兰n兰7 y(n)的波形如题8解图 (一) 所示。 (2) y(n) =2R4(n)* (n) -； (n 2)(n) -2 (2) x( 一n)； (3) x(n)y(n)； (4) x(2

11、n)。 解： (1) FTx( n n。) = _x( n n n : 令 n 二 n - n。, n 二 n n。，贝卩 FTx(n -n。) =一 x(n归-吨 n。)= ewnX(ejw) n=: jwn : (2) FTx*( n)八 x*( n)e珂 x( n)ejwn* = X* (ew) n -： ：n : (3) FTx(-n)x(n)e_|wn n =-：: 令n - -n，则 qOjwn FTx( -n)工 _x(n)e-X(ew) n=.： (4) FTx(n)* y(n) = X(ejw)Y(ejw) cd 证明：x(n)* y(n) = v x(m)y( n - m)

12、 m =：: QO QO FTx(n)* y(n) x(m)y(n-m)ejwn n 二：m二： 令k=n-m，贝卩 FTx(n)* y(n)八、x(m) y(k)ewke k -一： ： m-： jwkjwn y(k)e 、 x(m)e k =m-： = X(ejw)Y(ejw) 2.已知 X(ejwH?，w0 O,wo 解： 3.线性时不变系统的频率响应 x(n). woejwndwnwn 5 : n (传输函数)H (ejw) = H (ejw) e,如果单 求X(ejw)的傅里叶反变换x(n) 位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n )=Acos(w n )的稳态响应 为 y(n

13、) = AH(ejw) coswn+ + 日(w。)。 解: 假设输入信号x(n)=ejwon，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为 : :jw0n y(n) = h(n)* x(n)h(m)ejw(n=ejw h(m)ejwm = H (ejw0 )e m = ： ：m 上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列， 且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。 x(n) = Acos(wn) = -Aejwnej - jwne 2 y(n)Aej ejwnH(ejw) d ejnH (e0) 2 = -Ae%jwnH(ejw)ejRw)+ejwnH(rw)

14、ej(M) 2 上式中H(ejw)是w的偶函数，相位函数是 w的奇函数， H(ejw) = H(ew),日(w)=(w) y(n)=舟 A H(ejw)沁叫心0)+沁讥0) =A H (ejw0) cos(w0 n + +日(w0) 4.设x(n)= 1，X0,1将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列 |0,其它 x(n)，画出x(n)和x(n)的波形，求出x(n)的离散傅里叶级数X(k)和傅 里叶变换。 解: 画出x(n)和x(n)的波形如题4解图所示。 3J勺kn1 X(k)二DFSx(n) = = x(n)e 4=e 2 -1 e 2 n 0n 0 -j7：k7-j7：k 4 )

15、 = 2cos( k) *e 4 4 X(k)以4为周期，或者 1 X(k)八 e n=0 计 1_ejk I= -A 1 -e 2 111 j2k j2k e2(e2-e2 ) 111 -j k j k-j k e4(e4-e4 -j7：k =e 4 ) .1 , sin k 2 1 , sin k 4 2 : X(k)以4为周期 X(ejw) =FT【x(n)二鼻 X(k) (w-仝k) 4 ks4 Tt iiJI X(k) (w k) 2 k -2 :二-Fk二 二二cos(k)e 4 (w k) k42 5.设如图所示的序列 x(n)的FT用X(ejw)表示，不直接求出X(ejw)，

16、完成下列运算: (1) X(ej0)； (2) JI X(ejw)dw ； -41 兀j 2 (5)X(eJw) dw 解： 7 (1) X(eJ0) = x(n) =6 n -_3 31 (2) X(eJw)dw = x(0) *2二=4二 (5) f X(eJw) 7 dw 二 2二 n 二 28 ： 6试求如下序列的傅里叶变换： 1i (2) X2(n)(n 1)、(n) (n1); (3) x3(n) =anu(n),0 va cl 解: (2) X2(eJw)八 X2(n)eJwn n : 1 jw e 2 e_jw )=1 cosw (3) X3(eJw)二二anu(n归如anew

17、n n zz-：:n =0 1 w ae 7.设： (1) x(n)是实偶函数， x(n)的傅里 (2) x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下, 叶变换性质。 解： 令 X(eJw)八一 x(n)Lwn (1) x(n)是实、偶函数，x(ejw)八一 x(n)ewn n hi； 两边取共轭，得到 odoO X冶)八 x(n)ejwnx(n)ez)n =X(ew) nnco 因此 X(ejwr X*(ew) 上式说明x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质。 X(ejw) - 7 x(n归一网 二 、 x(n)cos wn j sin wn n 二：n 二二 由于x(n)是偶函数

18、，x(n)sinwn是奇函数，那么 Q0 x(n)sin wn = 0 n 二：: 因此 X(ejw)x( n) coswn n =:： 该式说明X(ejw)是实函数，且是 W的偶函数。 总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(ejw)是实、偶函 数。 (2)x(n)是实、奇函数。 上面已推出，由于x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质，即 jw* _Jw X(e HX (e ) QOQO X(ejw)x(n)ejwnx(n)cos wn j sin wn n 二：n 二:二 qQ 由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么x(n)coswn =0 n o

19、O 因此 X(ejw)二 j x(n)sin wn n =-：: 这说明X(eM)是纯虚数，且是 w的奇函数。 10.若序列h( n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: H R(ejw) = 1 cosw 求序列h(n)及其傅里叶变换H (ejw) 解： H R(ejw) =1 cosw 1 1 jw =1 e e 2 2 _jw cd 二 FThe(n)二 he(n)ewn (3) sz19 n 1 2 he( n) = * 1,n =0 1 ,n =1 l 2 h(n)= “ 0, nc0、 he(n), n =0 f ghe(n), n a0. 1,n = 0 1,n =1 0,其

20、它n H(ejw)二h(n)e_wn =1 e $ = 2e w/2cosw n2 12. 设系统的单位取样响应h(n) =anu(n),0 : a ： 1，输入序列为 x(n) =、(n) 2 (n-2)，完成下面各题: (1)求出系统输出序列y(n)； (2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解： (1) y(n) = h(n)* x(n)二 anu(n)*、(n) 2 (n - 2) =anu(n) 2anu(n -2) X(ejw)、(n) 2 (n 一2)ewn =1 2e2 n wj QO jwnjwn H (e )八 a u(n)e QO n jwn =、a e

21、 n=0 1 jw 1 -ae Y(ejw)二 H(ejw)Lx(ejw)= 1 2严 1 -aew n wj 13.已知 Xa(t) =2cos(2 二 fot)，式中 fo=1OOHz，以采样频率 fs=400Hz 对 Xa(t)进行采样，得到采样信号Xa(t)和时域离散信号X( n)，试完成下面 各题： (1) 写出Xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(2)； (2) 写出xa(t)和x(n)的表达式； (3) 分别求出Xa (t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解： (1) Xa(j)二2xa(t)e jtdt 二：2cos(“0t)ejtdt 二：(ejej0t)ejtdt 上

22、式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅 里叶变换可以 表示成： (2) Xa(r)=2 二、C 一讥)-C 0) QOQO ?a(t)xa(t)、(t -nT)2cos(0nT)、(t-nT) n 二：n 二.：:： x(n) =2cos(0nT),-： : n ： 1 0 =2二 f0 = 200二 rad,T2.5ms fs 1 QO a(j)=Xa(j-jks) T ks 2 二： 、O o -k) -O 0 *s) T心 式中 11 s = 2 二 fs = 800 二 rad / s X(ejw)二、 x(n)ewn 二、 2cos(onT)ewn 二 2cos(w

23、on)jwn nn ；n =： sz31 解: (2) CO ZT2u(n)八 2u(n)z n =-：: oO 八2 z n =0 1 二、ejw0n ejw0newn = 2八 、.(w - w0 - 2k二)-(w w0 - 2k二) n -_： ：k -_： 式中 w0 - 0T = 0.5: rad 上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异 函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。 14. 求以下序列的Z变换及收敛域: (2) -2u(-n -1)； (3) 2u(-n)； (6) 2u( n)-u( n-10) (3) oOoOoO ZT2u(- n1)=_2u

24、(-n1)z* = 2z=-2nzn n ：n ,z -2z _1 1 -2z 1-2z (6) 9 ZT2 n) -u(n TO)=為 2宁 n=0 1 -2二才0 1-2z ,0 ： z - 16.已知: X(z)任 2 求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。 解: 有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情 况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。 (1)当收敛域z : 0.5时, 1 x(n)二 2jcX(Z)z% 令 F(z)=x(z)zn5厂 zn5z_7zn (1_0.5z )(1 _2z ) (z_0.5)(z_2) n_0，因为c内无极点，x(n)=0 ；

25、 n _-1，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留 数，圆外极点有Zi =0.5,Z2 =2，那么 z=0.5 x(n) =ReSF(z),0.5 _ReSF(z),2 二(5z7)zn (z_0.5) (z-0.5)(z-2) 二-3(1)n 22u(一n1) (2)当收敛域0.5 ： z : 2时, F(z)= H (z0.5)(z2) n -0，C内有极点05; x(n) =ResF (z), 0.5 =3_() n ： 0 , C内有极点0.5, 0,但0是一个n阶极点，改成求c外极点留 数，c外极点只有一个，即2, x(n) =-ResF(z),2 =2L_2nu(

26、-n -1) 最后得到 x(n) =3LQ)nu(n) 2_2nu(n -1) (3)当收敛域2 ： z时， F二 (5z - 7)zn (z-0.5)(z-2) n_0，C内有极点0.5, 2； x(n) =ResF(z),0.5ResF(z),2 =3L(f)n 2_2n n0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。 或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成 求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到 x(n) =l(2)n 2_2nu(n) 17.已知 x(n)二 anu(n),0 : a ： 1，分别求: (1) x(n)的Z变换； (

27、2) nx(n)的 Z 变换; (3) au(-n)的z变换 解: (1) oO 1”z X(z)二ZTanu(n)二 anu(n)z n=oCi (2) -J ZTnx(n)rX az 12 (1-az ) z Aa IA 1 -az，Z 心 (3) ZTau(-n)azanzn n q0n 二0 18已知X(亦看時分别求: (1) 收敛域05： z ： 2对应的原序列x(n); (2) 收敛域z 2对应的原序列x(n)。 解： x(n)= 1 2-j 7 X(z)zndz c F(z)二X(z)znJ -3z 2 -5z 2z， znJ -3zn 2(z-0.5)(z-2) (1)当收敛域

28、0.5 ： z ：2时，n_0 , c内有极点05, x(n)二 ResF(z),0.5 =0.52, n ： 0, c内有极点05,0,但0是一个n阶极点，改求c外极点留数,c外极点只 有2, x(nResF(z),2 =2n, 最后得到 x(n) =2u(n)2nu(-n T) = 2 (2 (当收敛域z 2时, n0, c内有极点05,2, x( n) =Res(F(z),0.5ResF(z),2 n -3 *z _0.52(z-0.5)(z-2)z2) z =2 = 0.5n -2n n ：0, c内有极点05,2,0，但极点0是一个n阶极点，改成求c外极点留 数，可是C外没有极点，因

29、此x(n)=0,最后得到 x( n) =(0.5n 2n)u( n) 25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为 x(n)二 anu(n), h(n) = bnu(n),0 : a : 1,0 : b : 1， 试: (1) 用卷积法求网络输出y(n)； (2) 用ZT法求网络输出y(n)。 解： (1)用卷积法求y(n) o y(n) = h(n) x(n)bmu(m)anu(n_m)，n 亠0, m -一 ?.:i nnq1 1 1 -az 1-bz j 1 _bn 1 y(n) = 0 n m n .m. m n I y( n)aba abaj， n：0， m=0m=01a b a b 最

30、后得到 (2)用ZT法求y(n) 1-azJ ,H(z) 1 1 -bz， 丫(z) =X(z)H(z)二 丁 Y(z)zn_1dz 二c 令 F(z) =Y(z)zn4 nJ z 1-az，1-bz n 1 z (z -a)(z-b) n -0,c内有极点a,b n 1豪 n 1 y(n) =ResF(z),a ResF(z),b， a-b b-a 因为系统是因果系统，n ：. 0, y(n)=0，最后得到 n：；|1. n： ；1 a b y(n)u(n) a b 28.若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: HR占尹一:：1 1 + a 2acosw 求序列h(n)及其傅里

31、叶变换H (ejw) o 解: 1-0.5a(ejw e jw) jw . jw 1 a -a(e e ) ./ jw、1 - acosw HR(e)=1 a2-2acosw 1 -0.5a(z z ) HR(z： a2a(z z) 1 -0.5a(ejw ew) (1-az)(1-az) 求上式IZT，得到序列h( n)的共轭对称序列he( n)。 1 he(n)二 2 jcHR厂 dz a 打 z :a_1。 n -1 时， c内有极点a, he(n)二 ResF (z),a 2 -0.5azz 0.5a -a)心呵 n=0 时, C内有极点a,0， 2 n_i -0.5azz-0.5a

32、nJ F(z)二 Hr(z)zr z a(z_a)(z_a ) 因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，收敛域取: 2 nv-0.5azz-0.5a -4 F(z)=Hr(z)zr z _a(z_a)(z_a ) 所以 he(n) =ResF(z),a ResF(z),O =1 又因为 he(n) =he(- n) 所以 1,n=0 he( n)=20.5an, n 0 0.5a,n c 0 he( n), n=01,n=0、 nn h(n)二 2he(n), n 0 = a ,n 0 二 au(n) 0,n c00, n c0 oO jwn . jwn H (e ) = - a e

33、 n=0 1 jw 1 -ae 3.2教材第三章习题解答 1.计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间0 “讣-1内，序列定义为 (2)x(n) (n)； (4) x(n)二 Rn),。 ： m : N ； 2 二 (6) x(n) =cos(nm),0 : m ： N ； N (8) x(n) =sin(wn)Rn (n); (10) x(n) = nR (n)。 解： N 4NJ (2) X(k)(nW(n(n) = 1,k = 0,1, , N -1 n nW (4) N J X(k)八 wN n) 1_WNkm-k(mJ)S in(亓减 Nr 二e NN ,k =0,1, ,N -1 i

34、 -wNk/、 Nsin( m) N JI m _k)n1 N 丄 _j3(m，：x)n +-Z e N 2n/ j 也(m_k)N竺(m*)N 1-e N1-e N + j 寫!(m_k)常Rm*) (6) (8) 解法1直接计算 X8(n) =sin(wn)Rz (n)=右 bjW0n -e一吋 R (n) N -1 X8(k)八 x(n)wNkn n=0 2j n e-jwone 丄J 2j n| (wo 3 ) n-j N -e djWoNjwN i ei e j(wo_k) e N 1-e j (Wo 亠2N k) 1 N J e 2 n卫 / 习- 丄,k 二 m且k = N -m

35、 =N, OzkNl 0, k = m或k = N -m N2 -N1j mn _j2 mn _j2 kn x(k)1严尺mn 曲二許N e N )e N 解法2 由DFT的共轭对称性求解 因为 x7(n)二 ejw0nRN(n) - Cos(w0n) j sin(w0n)RN(n) x8(n)二 sin(w0n) RN (n)二 Im (1) X(k) = N j ej , k = m 2 Ne,k 二 N -m； 2 0,其它k (2) X(k)二 N . j- ie ,k =m 2 N je,k = N - m 2 0,其它k 解： (1) sz41 1 N A x(n)二 IDFT X

36、(k) = wf N n _1Ne吗評+企吨轻J N 1 22 1 j(2 mn ：.)_j(3 mn ：.) |2_ -|e N +e N =cos(mn +0), n= 0,1，N 1 r一 N (2) 1 - x(n)： N 2 N jejWNn曲N)n 2 丄ej（納J紳t 刀一 2 二 5初 0 f N-1 3.长度为N=10的两个有限长序列 xM)0兰n兰4 0,5 乞 n z9 x2(n)0e4 一1,5 乞 n 9 作图表示 x,n)、X2(n)和 y(n) =x,n) ： x?(n)。 解: x（n ）、X2（ n）和 y（n ）=冷（n）X2（ n）分别如题 3 解图（a）

37、、（b）、（C）所示。 14.两个有限长序列x（n）和y（n）的零值区间为： x(n) =0, n : 0,8 乞 n y(n)=0, n ： 0,20 _ n 对每个序列作20点DFT,即 X(k)二DFTx(n), k =0,1,l|,19 Y(k)二 DFTy(n), k =0,1,山,19 如果 F(k) =X(k) Y(k),k =0,1,111,19 f(n) =IDFT F(k), k =0,1 ,|H,19 试问在哪些点上f(n) =x(n)* y(n)，为什么？ 解： 如前所示，记 f(n)=x(n)* y(n),而 f(n) = IDFT F(k) = x(n) ： y(n

38、)。 fi(n) 长度为27, f(n)长度为20。已推出二者的关系为 0 f(n)二 f|(n 20m) * R20(n) m =: 只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f(n) = f|( n)所以 f (n)二 fl (n) = x(n) y(n),7 込 n 辽 19 15. 用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F乞50Hz，信号最 高频率为1kHZ，试确定以下各参数: (1) 最小记录时间Tpm ； (2) 最大取样间隔Tmax ； (3) 最少采样点数Nmin ； (4) 在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的 N值 解： (1) 已知 F =50HZ 1 1

39、 T pmin0.02S p F 50 1 1 1 (2) Tmax厂 0.5ms fmin2fmax20 (3) Nmin Tp _0.02s T 0.5 10, (4) 频带宽度不变就意味着采样间隔 T不变，应该使记录时间扩大 一倍为004s实现频率分辨率提高一倍(F变为原来的1/2) “0.04s“ N min80 0.5ms 18.我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据 序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重 叠保留法，就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为M=100个 采样点)，但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与h(n)的L点

40、(本题取L=128 )循环卷积，得到输出序列ym(n)，m表示第m段计 算输出。最后，从ym(n)中取出E个，使每段取出的E个采样点连接 得到滤波输出y(n)。 (1) 求 V ； (2) 求 B; (3) 确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些采样点。 解： 为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为0, 1, 2,127。 先以h(n)与各段输入的线性卷积ym(n)考虑，丫向(n)中，第0点到 48点(共49个点)不正确，不能作为滤波输出，第 49点到第99点 (共51个点)为正确的滤波输出序列y(n)的一段，即B=51。所以， 为了去除前面49个不正确点，取出51个正确

41、的点连续得到不间断又 无多余点的y(n),必须重叠100-51=49个点，即V=49。 下面说明，对128点的循环卷积ym(n)，上述结果也是正确的。 我们知道 0 ym(n)二 yim(n 128r)尺28(n) r =Q 因为yim( n)长度为 N+M-仁50+100-1=149 所以从n=20到127区域，ym(n)二ym(n)，当然，第49点到第99点 二者亦相等，所以，所取出的第 51点为从第49到99点的ym(n) 综上所述，总结所得结论 V=49,B=51 选取ym(n)中第4999点作为滤波输出。 5.2 教材第五章习题解答 1.设系统用下面的差分方程描述: 3 11 y(n

42、)y(n1)y(2) =x(n) x(n1)， 4 83 试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。 解: 3 11 y(n)-加(n-1) ：y(n-2)=x(n) ：x(n-1) 4 83 将上式进行Z变换 3 _1 1911 丫 丫z，:丫(z)z，= X(z) -X(z)zj 4 83 1 -z H(Z) 3.1. 1寸-Z (1)按照系统函数h(z),根据Masson公式，画出直接型结构如 题 1解图(一)所示。 (2)将H(z)的分母进行因式分解 1亠 1 -zJ 3 (V2z 按照上式可以有两种级联型结构: H(z) = 画出级联型结构如题1解图（二） (a) 所示 1 （b）心丐

43、）（*） 画出级联型结构如题1解图（二） (b) 所示 （3）将H（z）进行部分分式展开 H(z) 13z H(z) A- (1一討)(1 一卡) z 1 3 1 1 (“严) z 1 1 3 1 (z (z?)(z才 z 1 3 1 1 rr z-丄 (T 10 H(z) 1 z 4 10 10 z H二七 7 z 3 1 7 3 1 z - 4 10 3 z- z- 1-爲* 242 7 3 1亠 4 根据上式画出并联型结构如 题1解图(三)所示 2.设数字滤波器的差分方程为 y(n) = (a b)y(n -1) -aby( n - 2) x(n - 2) (a b)x(n -1) ab

44、x(n)， 试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。 解: 将差分方程进行Z变换，得到 Y(z) =(a b)Y(z)zJ -abY(z)z-2 X(z)z (a b)X(z)z-1 abX(z) 1 2 Y(z) ab (a b)z z X(z)1 _(a 才+abz (1)按照Massion公式直接画出直接型结构如 题2解图(一) 所示。 (2)将H (z)的分子和分母进行因式分解: H(z)二 (a z)(b z) 1 1 (1 -az )(1 -bz ) 二 H1(z)H2(z) 按照上式可以有两种级联型结构: H1(z) 1-azJ H2(z) b 1 -bz SZ45 画出级联

45、型结构如题2解图(二)(a)所示 (b) z a 1-bz H2(z) z b 1 - az* 画出级联型结构如题2解图(二)(b)所示 3.设系统的系统函数为 4(1 2)(11.4皿二七之) H(z)ii2， (1-0.5z-*)(1 +0.9z+0.18z) 试画出各种可能的级联型结构。 解： 由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构 （1） H(z) =H1(z)H2 (z) 4(1) 已1， 1-0.5z /、1 -1.414z+z， 出j2 1 -0.9z0.81z 画出级联型结构如题3解图（a）所示 （2） 、1 1.414z +z Hi(z)1, 1 -0.5

46、Z-1 4(1+z) 出y2 1 -0.9z0.81z， 画出级联型结构如 题3解图（b）所示。 4图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总 系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图d 解： (d) h(n) = hi(n) 0(n) ha(n) h4(n) h5(n) = hi(n) h2(n) hjn)馆(n) hu(n) h5(n) H(z)二 Hj(z)H2(z) Hj(z)H3(z)H4(z)出 5.写出图中流图的系统函数及差分方程。图d 解： (d) rsin日 *z 1 - rcosr z -rcosr z r2 sinz2 r2cosh z， _ r sin

47、1 -2r cosv *z J r2z2 2 y(n)二 2r cos 叮(n -1)r y(n -2) r si nr x(n1) 6.写出图中流图的系统函数。图f 解: (f) H二 2 1zJ *2 2 -z 1z 1- -zJ 3z _2 8.已知FIR滤波器的单位脉冲响应为h(n) -(n)(n-1)，(n-4)，试 用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5,要求画出频率采样 网络结构，写出滤波器参数的计算公式。 解： 已知频率采样结构的公式为 H(z)=(1-z 1,2 H(k) N 心1 -Wf 式中，N=5 N-14 H (k)二 DFTh(n)h(nWT、(n) -、(n

48、 -1)(n - n n =0 2 8 -j k-j k =1 -e 5 e 5 ,k =0,1,2,3,4 它的频率采样结构如 题8解图所示。 6.2教材第六章习题解答 1.设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率fp =6kHz，通带 最大衰减ap =3dB，阻带截止频率fs = 12kHz，阻带最小衰减a3dB。 求出滤波器归一化传输函数Ha（p）以及实际的Ha（s）。 解： （1）求阶数N igksp lg sp sp -1 -1 10Q-1 1Q2.5 -1 :0.0562 1Q01as -s 2 二 12 1Q3 2 二 6 1Q3 sz59 将ksp和sp值代入N的计算公式得

49、 N匹Q5J.15 ig2 所以取N=5 （实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4,指标稍 微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。） Ha(p)二 （2）求归一化系统函数Ha（p），由阶数N=5直接查表得到5阶巴特 沃斯归一化低通滤波器系统函数 Ha（P）为 5432 p 3.2361 p 5.2361 p 5.2361 p 3.2361 p 1 Ha(p) 1 2 2 (p 0.618p1)(p1.618p - 1)(p1) 当然，也可以按（6.12）式计算出极点： ）二匕名） Pk 二e 2 2N ,k 71,2,3,4 按（611）式写出Ha（P）表达式 Ha(P)4 (P

50、- Pk ) k=0 代入Pk值并进行分母展开得到与查表相同的结果。 (3) 去归一化(即LP-LP频率变换)，由归一化系统函数Ha(p)得到 实际滤波器系统函数Ha(s)。 由于本题中ap=3dB，即门二6 103rad/s，因此 Ha(S)十9) P 二 Oc5 s5 3.2361cS4 5.2361icS3 5.236T3cs2 3.2361 Qs5c 对分母因式形式，则有 Ha(9=Ha(P) s P = Qc =2c5 一 (S2 0.6180cs-i2c)(s2 1.6180cs2c)(sc) 如上结果中，-c的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一 化后，3dB截止频率对归一

51、化系统函数的改变作用。 2. 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率fP=3kHz，通 带最在衰减速ap =0.2dB，阻带截止频率fs =12kHz，阻带最小衰减 as =50dB。求出归一化传输函数Ha(p)和实际的Ha(s)。 解： (1)确定滤波器技术指标： ap=0.2dB，门 p=2：fp=6：103rad/s as = 50dB,s = 2二 fs = 24二 10 rad / s Ns.4 (2) 求阶数N和；: N 一 Arch(L) Arch(丸s) 456.65 Y10. p -1 Arch(1456,65 3.8659 Arch (4) 为了满足指标要求，取 N=

52、4。 h；：1O0.1ap -1 =0.2171 (2)求归一化系统函数 Ha(P) Ha(P)二 1 N (pf) k=1 1 4 1.7386口(卩-卩小 k=1 其中，极点Pk由(6238)式求出如下: Pk 二-ch( )sind2.) ) jch( )cos(笃k = 1,2,3,4 F： - 1Arsh(-1Arsh( 1)0.5580 N -40.2171 jiji 口二ch(0.5580)sin()jch(0.5580)cos()二0.4438 j1.0715 88 3兀3兀 p2 二-ch(0.5580)sin() jch(0.5580)cos( ) = -1.0715 j

53、0.4438 88 5兀5兀 P3 二-ch(0.5580)sin() jch(0.5580)cos() = -1.0715-j 0.4438 88 7応7兀 p4 一 -ch(0.5580)sin() jch(0.5580)cos() - -0.4438-j1.0715 88 Ha(S) (3) 将Ha(p)去归一化，求得实际滤波器系统函数 HaG) =Ha(P) p c s 4一4 1.7368 【(s 一 i pPQ 1.7368 【(s-Sk) kJk丄 其中 SkpPk=6二 103Pk，k ,2,3,4，因为 p p i,p p 2，所以 S4 二 S 1,S3 二 S，2。 将两

54、对共轭极点对应的因子相乘, 得到分母为二阶因 子的形式，其系数全为实数。 Ha(S)= (s2 16 7.2687 10 22 _2ResJs + s! )(s 2Res2s+|s22) 16 7.2687X10 248248 (s 1.6731 10 s 4.7791 10 )(s4.0394 10 s 4.7790 10 ) 4. 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为: (1) Ha(s)二 s +a 22 (s a)2 b2 Ha(s)b22。式中，a,b为常数，设Ha(s)因果稳定，试米用 (s + a) + b 脉冲响应不变法，分别将其转换成数字滤波器H(z)。 解： 该题所给Ha(

55、s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以, 求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的 Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。 (1) Ha(s) s +a (s a)2 b2 Ha(s)的极点为: s = v + jb , S2 = a jb 将Ha(S)部分分式展开(用待定系数法)： Ha(S) s + aA 丄 A2 (s a) b s-S| s-s2 As-s?) A2(s-S|) (A A2)s - An - A2si 2 2 (s a) b 2 2 (s a) b 比较分子各项系数可知: A、B应满足方程: A A =1 - As - AqS

56、= a 解之得 所以 2 H(z)二、 Ak 0.5 0.5 sJ 心 1 e z 1 -e (-a -jb)TCjb)TJ z 1 -e z Ha(s) _ s_(_a jb) s_(_a _ jb) 2 H；1z=1-尸阿 -e(f Ak 0.5 0.5 按照题目要求，上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。但在 工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极 点共轭对称，所以将H(z)的两项通分并化简整理，可得 H(z)1 ze cos(bT) H (z)aT1-2aT -2 1 -2e cos(bT)z 十 e z 用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即

57、可， (s)二 b 2 2 (s a) b 且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现 (2) Ha(S)的极点为: 将Ha(S)部分分式展开: Ha(S)= + s_(_a _ jb) s_(_a jb) H(z)。勺-。勺 (b)T (厘jb)T 1 - e z 1 - e z 通分并化简整理得 H(z)二 zeT sin(bT) aT1=2aT-2 1-2ecos(bT)z e z 5. 已知模拟滤波器的传输函数为: (1) Ha(s) _ 1 s2s 1 (2) Ha(s)2 -试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其 2s2 +3s+1 转换为数字滤波器，设T=2s。 解： (1)用脉冲响应不变法 Ha(S) _ 1 s2s 1 方法1直接按脉冲响应不变法设计公式, Ha(s)的极点为: 0.5 一 2 代入T=2s 方法2 的分母配方, 由于 所以 对比可知，a Ha(S)_ 3- s -( -0.5 j .3 一丿亍 H(z)： 33 (_0.5 j_)T 1-e 2 z H(z) .3 1-e(3)zJ s (gj) + (0.5 1