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1、1 by xxx xxxx 第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数 2 一、协方差一、协方差 1 1、引入背景、引入背景 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的相互关系如何描述？的相互关系如何描述？n维变量间的关系维变量间的关系 举例：举例： （1）不同地区气温间的关系；）不同地区气温间的关系； （2）人的身高、体重间的关系；）人的身高、体重间的关系； （3）不同股票收益率间的关系；）不同股票收益率间的关系； （4）公司经营业绩与资本结构间的关系。）公司经营业绩与资本结构间的关系。 3 (X, Y)为二维随机变量，则称下式为为二维随机变量，则称下式为X、Y的协方差。的协方差。 Cov(X

2、,Y) =E X-E(X)Y-E(Y) 协方差为协方差为X,Y偏差偏差 X-E(X) 与与Y-E(Y) 乘积的数学期望乘积的数学期望 (3) 当当X，Y相同时，相同时，Cov(X, X) = D(X)=Var(X). 2 2、协方差的定义、协方差的定义 说明：说明： (2) Cov(X,Y)0，正相关，正相关；Cov(X,Y)0, 正相关；正相关； 0, 负相关；负相关； =0,不相关不相关 7 2 2、相关系数的性质、相关系数的性质 (1) 1. XY (2) 1 , ( 0), 1 XY a bP YabX 存存在在实实数数使使 1) 1, XY YX 与与存存在在严严格格线线性性关关系系

3、. . 2) 0, XY YX 与与 不不存存在在线线性性关关系系. . 3) XY YX 越越接接近近1, 1, 与与线线性性相相关关程程度度越越高高; ; XY YX 越越接接近近0, 0, 与与 线线性性相相关关程程度度越越低低. . 结论：结论： 8 0D(Y-tX)= t2D(X )-2t Cov(X,Y)+D(Y) (,) () Cov X Y t D X 令令，则上式为，则上式为 D(Y- tX)= )( ),( )( 2 XD YXCov YD 2 ( )1 ,) () ( ) (CovX Y D X D D Y Y 2 ( )1D Y 2 10 1 证证1: (1) 根据方差的性质，对于任意实数根据方差的性质，对于任意实数t 1, (2) ()0D YbX 时时 5, ()0 1D XP Xa根根据据方方差差性性质质 1 P YbXaP YabX 9 例例 设设(X, Y)的分布律为：的分布律为： XY-1 0 1PX=i -1 0 1 0 0 0 0 0 PY=j 1 从而从而COV(X,Y)=0, 不相关不相关 PX=-1PY=0= 1/8 PX=-1, Y=0X,Y不独立。不独立。 111 424 ()1*0*1*0E X 111 424 ( )1*0*1*0E Y 1 4 ()( 1)*(

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