如何理解统计与概率的重要性

1、如何理解统计与概率的重要性？如何缓解教学中的矛盾？如何看待统计与概率的思想？怎样落实统计与概率教学的方法？一、小学数学课程标准（实验稿）把统计与概率作为一个重要的领域，说明 统计与概率在当今社会有着非常重要的作用， 在现实生活有着重大的意义？我们 应该怎么来看待这种重要的作用和意义的？统计和概率在生活中的应用是广泛而有意义的。 大至一个国家， 小至一个 企业或者个人， 国家需要依赖统计的数据作出长远的规划， 对现实的发展作出客 观的分析；投资理财，个人消费，天气预报，在诸多方面都需要应用统计和概率 的知识。 在社会的方方面面也都离不开统计， 就拿航空航天技术来说吧， 许多的 参数都依据统计方法

2、中的计算机模拟试验来分析研究， 这也是随机数学被人们越 来越重视的一个有力例证。 而从统计本身的发展看来， 形成的许多边缘学科： 统 计质量管理、生物统计、医学统计、心理统计，包括教育统计等，也从一个侧面 说明统计方法在许多科学领域的应用。二、统计和概率教学实施启蒙低龄化， 怎么具体实施？老师在教学中有困惑， 比如讲可能性，这个事件可能性大，这个事件可能性小，那么到底是多大？多小？ 我们可以用分数表示， 可是对于第一学段的学生， 却不具备这样的知识基础， 无 法用数学来刻画？教学意义何在？怎样开展？不同的阶段不同的要求，并不能因为低年级的学生没有学过某一个知识点， 就不学统计和概率。低段，甚至

3、是基础教育阶段，统计和概率的教学重在观念， 重在激发孩子们对数据的兴趣，加强统计与概率的思想意识。比如：可能性，一 二年级知道不确定现象的存在， 认识可能性的现象， 等学了相关知识以后， 再进 一步学习可能性大小，提高定量化研究的要求。三、在小学的课堂里学习统计和概率时，经常会看到一个游戏：抛硬币，按 古典型的概率定义来说出现正面或反面的概率是 1/2 ，但是从统计型的概率定义 看来，又不完全是这样的，这种矛盾，学生应该怎样理解？这个不仅是学生，而 且也是很多没有进行过高等数学学习的老师的困惑，我们应该如何应对？从统计型和古典型， 不同的角度来看， 结果是不完全相同， 但是统计型的概 率是趋向

4、古典型概率的结论的， 这就与课堂教学中的样本因素有关， 这的确是一 个值得关注的方面。 统计的规律应该在大量的操作的基础上， 为了课堂教学的组 织，教师在组织教学时，往往选取的样本比较小。也不仅是教师，包括教材的引 导也存在同样的问题。 这里又关系到学生学习统计的一种观念， 样本越小， 所发 现的规律变异越大， 样本越大， 规律的变异越小。 那么怎么办呢？这就需要我们 想办法，需要创造课内大量测试的实验操作， 或者是课外的大量的试验， 有条件 的学校可以借助计算机模拟测验。四、对于教师应该增强哪些方面的学习和培训？教师的培训应该怎样进行？ 对于教师来说，也需要在认识上转变观念， 以前统计是算术

5、知识的应用， 而并非是随机数学的启蒙。 在决定性数学盛行的时候， 随机性数学受忽视， 作为 教育者不能受自身传统的思想影响到新一代的儿童的成长。 统计和概率知识的掌握应该作为学生一种必备的数学素养。五、对于新课程标准中统计和概率方面的描述，怎么做才是最适拿来呢？统计和概率的教学重在思想观念和方法的教学， 那么到底有哪些思想和 方法，分别在哪一个学段借助怎样的载体来体现， 还需要具体的指出， 以便于广 大的教师把课程改革的精神落实。实践与综合应用”领域教学中如何培养学生数学应用意识为此，我们在课堂教学中进行了以学生不知道如何把学到的数学知识应用到生活实际中去。 下尝试：应该贯穿于一、创设适合学生

6、的问题情境 在实践和综合应用活动中， 问题是关键， 对于创设什么样的问题环境， 我们觉的问题情境应 引起学生的兴趣和解决问题的强烈动机， 同时问题是学生通过努力能够解决的， 学生要以体 验到解决问题后的喜悦，建立运用数学的自信心， 赛车的轮子首先创设了“模拟开心辞 典”的情境，学生比较喜欢，也比较感兴趣。这不是一种形式，答题中重要的是学生又了解 有关赛车的一些知识，最后提出了“哪一边的轮子磨损的大” 这样一个问题，看似非数学问 题，实质上是“哪一边的轮子跑的路程远”的数学问题， 而这个问题通过学生努力又综合运 用圆的知识解决，具有一定综合性的和挑战性。 创设良好的适合学生的问题情境是培养学生数

7、学应用意识不可缺少的一个策略， 整个教学的始终，让学生在问题情境中去思考用什么知识去解决问题。我们采取的比如： 赛车的时速、 耗油量、 学习的兴趣就浓了， 对知识的二、搜集信息，拓宽视野 实践中感到， 教材中提供的情境对有些孩子比较陌生， 就会降低用数学的能力。 策略就是课前让学生去收集有关信息， 使学生由陌生变得熟悉。 轮子等构造信息的让学生做收集， 收集也是了解熟悉的过程， 理解就容易了。拓宽了学生知识面的同时也激发不仅实现了知识与能力提高了学生的整体素质，我们学得收集信息的过程对学生来说就是一种能力的锻炼， 了学生学好数学的勇气和信心， 帮助学生领悟数学知识的应用过程， 的融会，又使数学

8、教学以单一的课程教学走向多学科多功能的整合， 增强了学生的应用意识。三、为学生提供充分操作、思考、交流的空间 体验操作也是深化学生数学应用意识的最好方式， 对知识的理解内化起着重要作用。 本节课 中，学生对于联赛规则， 赛车的磨损及弯道知识陌生， 就我们这个地区而言， 没有这种比赛， 所以课堂上加强操作， 加深体验。 首先教师让学生自己操作体验出： 内外跑的路程多少和什 么有关，什么无关，然后鼓励学生合作体验：什么情况下的弯道可以抵消的。最后，学生自 然就可以用体验到的规律去解决较为复杂的问题，自然而然增加了学生数学应用意识。 在学生操作、合作、 交流中教师还要给予指导，根据教学内容，在充分了

9、解学生的生活经验 有目的进行指导，在指导过程中学生独自体验，去感悟， 去应用， 逐步培养学生的数学应用 意识。“实践与综合应用”教学中要关注学生的表现，通过恰当的评价，激励学生的数学学习情 感，提高学生解决问题能力和增强应用数学的意识。在评价中，应看他们在学习过程中的行为表现，一看情感、态度，二看学习方式，考察学生是否积极主动地参与教学学习活动，是否乐意与同伴进行交流和合作等。 同时注重对学生解决问题能力的评价。 一看解决问题的策略水平， 二看解决问题的策略形成 的独立性， 特别关注学生创造性表现， 如独特的发现， 独特的理解与新颖的解决问题策略或 方案等。在小学数学教学中如何培养学生的空间观

10、念大小、位置关系及其变化的直觉， 数学课程标准 指出：“空间观念主 进行几何体与其 能从较复杂的图形中分“空间与图形”是数学课程标准安排的四个学习领域之一，其核心目的是要发展学 生的空间观念。 所谓空间观念是指对物体几何图形的形状、 它是人们认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。 要表现在” 能由实物的形状想象几何图形， 由几何图形想象出实物的形状，能描述实物或几何图形的运动和变化； 能运用图形形象地描述问题， 利用直观来进行思 培养学生的空间观念，能使孩子更好地生存、 活动要不断加强学生对空间观念的形成和发展， 让学生逐步明确空间观念的意义， 对于培养学生的创新精神和实践能力，积极引 认识

11、空间观念 更好地认识和 在“空间三视图、 展开图之间的转化； 能根据条件做出立体图形或画出图形； 解出基本的图形， 并能分析其中的基本元素及其关系； 能采用适当的方式描述物体间的位置关系； 考。空间与人类的生存和居住紧密相关， 和成长。这就要求我们在平时的数学教学中， 导学生用数学思考的方法去观察客观世界， 的特点， 培养和发展学生的空间观念， 了解世界是十分重要的。 同时又为今后进一步系统学习几何知识打下良好的基础。 与图形”的教学中，我认为注重以下几点：一、联系生活实际，激发学生兴趣，培养学生空间观念。数学来源于生活， 生活中处处有数学。 低年级学生在日常生活中最先接触的是各种各样 的物体

12、，在他们玩的积木中有许多长方体、 正方体、圆柱体； 他们见到的楼房、 纸盒、箱子、 书、烟囱等，他们初步建立了长方体、正方体、圆柱体的形象；他们玩的皮球、乒乓球给了 他们球的直观形象。 因此，学生对于图形的认识是从立体图形开始的。 这样在教学中， 教师 充分利用学生的生活经验，设计生动有趣、直观形象的教学活动，以激发学生的学习兴趣。 又如教 “东南西北” 时，可以让学生在早晨观察太阳从东边升起的情境， 观察学生熟悉的校 园的坐落朝向， 自己家居住房屋的朝向等。 以学生熟悉的环境， 为学生认识方向与位置提供 了认知的背景。二、通过观察实物，动手操作，建立学生的空间观念 低年级学生思维水平较低，动

13、手操作是低年级学生直接获取经验知识的最好的途径， 它可以启发学生积极参与思考， 激发学生对数学产生兴趣与探索欲望。 学生的动手操作过程 其实是学生手、 眼、脑等多种器官协同合作的过程。 它可以调动学生的多种感官参与学习过 程。通过操作活动， 可以帮助学生准确地想象出几何图形形成现实空间、图形的形象， 能准 确地描述实物或几何图形的运动和变化。 使学生能进一步在大脑中留下空间图形的形象， 从 而建立空间观念， 发展空间观念。 特别是在学习空间与图形这部分知识时， 动手操作对于知 识的理解和掌握尤为重要。动手操作，应贯穿于教学活动始终。因此， 在认识立体图形的时 候，必须让学生自备实物长方体、正方

14、体、圆柱体和球，通过看、摸、说、画、比等方法了 解各种立体图形的形状及性质。在认识平面图形时，必须让学生自备实物长方体、正方体、 圆柱体、锥体、沙、印泥或橡皮泥等实物，让学生先把实物的某个面画在纸上、印在沙上或 纸上， 然后指导他们认识这就是平面图形，再认识各自的形状及性质， 在此基础上，可引导 学生用手折一折、 剪一剪等方法得到平面图形。 有了亲身感受， 对以后的观察物体和动手操 作奠定基础。三、让学生在观察联想中，提升学生的空间观念爱因斯坦曾经说过： “想象比知识更重要， 因为知识是有限的， 而想象要概括世界的一 切。”想象是思维的翅膀，往往和观察、实验、思考等活动结合起来。只有认真观察才

15、会有 正确的联想。观察联想是小学生获得空间观念的主要途径。在教学中我们要引导学生全面、 有序、细致的进行观察，同时注意多给学生创设联想的情景。例如：在学习了基本图形后， 让学生利用这些图形拼摆出喜欢的物品或图形；画一幅美丽的图画；动手折一折，剪一剪。由一种图形变成另一种图形，可以把长方形变成正方形、梯形、平行四边形把长方形剪去一个角可以变成怎样的图形？充分发挥学生的想像力，培养创造力。 学习了长、 正方形的面积计算后，让学生为学校设计一个花坛，并计算出各种花草的面积。学习了圆的周长后， 让学生设计一个水桶盖等。此外，渗透、迁移、表达、猜测等许多的教学方法，在空间与图形的教学中应用得很 广泛。

16、总之，不管用什么教学方法， 其目的都是要提升学生的空间观念，促进学生的全面发 展。四、解决生活中的实际问题，发展学生的空间观念。 空间与图形的教学要使学生“运用图形与空间的知识解决现实生活中的问题并进行交 流”。学生空间观念的形成、发展只有紧密的联系生活实际，强化在实际生活中的应用，才 能进一步的得到巩固和提高。因此在教学 “空间与图形” 的内容时，要结合教学内容将学生 的视野拓展到生活中去， 引导学生运用所学的知识去解决生活中的实际问题， 从而促进学生 空间观念的发展。例如： 在学习了长方体表面积的计算方法后，可以让学生讨论， 在实际生 活中会遇到哪些问题需要运用长方体表面积的计算方法来解决

17、， 这些问题是不是都要求六个 面的面积， 让学生说出实际例子， 说一说每一种情况各应用什么方法计算。 如计算做一个油 箱用多少铁皮要求六个面的面积； 计算涂游泳池四周和底部的面积应求五个面的面积； 计算 粉刷教室四周和顶部的面积则要用五个面的面积再扣除门窗的面积； 计算粉刷烟囱的面积应 求四个面的面积等。 通过表面积计算方法的实际应用， 使学生明确了表面积的计算要根据具 体情况而定。 在学习了长方体的体积后， 让学生明确不管长方体的位置如何， 它所占空间的 大小都是长、宽、高的积，因此，求油箱里油的体积，游泳池里水的体积都是长、宽、高的 积。通过这一系列联系实际的活动， 大大提高了学生应用几何

18、初步知识解决实际问题的能力， 促进学生空间观念的有效发展。五、运用多媒体辅助教学，深化学生的空间观念在小学数学中， 概念、法则等即是重点又是难点，这些知识具有一定抽象性。 如果教学 中用静止的观点组织教学， 容易使学生对概念的理解产生片面性， 给以后的继续学习造成一 定的障碍， 运动变化的东西，新鲜有趣的事物容易引起小学生的注意。 根据这一特点， 教学 中可以充分利用多媒体“动”的特长，有效地吸引学生注意力，提高学习效果。例如：学习 “角的认识” 显示屏上先出一个会闪烁的亮点， 然后用不一样的颜色让边延长， 延长的过程 用非常慢的速度放给学生看， 让学生明确看到边无论是延长还是缩短， 角张开的

19、大小都没有 发生变化这一现象。 通过动态演示， 学生很轻松地理解了这一知识难点。又如： “圆的认识” 中利用荡秋千的轨迹引出“曲线、圆心、半径、直径”在用动画展示了画圆的过程，使学生 很容易地掌握了圆的各部分名称。 这样， 利用多媒体演示功能把复杂的概念分解为直观形象 的简单信息，利于学生自行探索，展示思维，归纳概念，理解概念。又如在平行四边形特点 教学中， 以动态演示画面使学生生动形象准确地理解 “对边相等” 这一特点。 而“对角相等” 这一特点， 可启发学生自学中创造。 学生利用已有的知识、 能力和方法独立探索获取新知识， 即解决了教学中的重、 难点， 又培养了学生的自主探索能力和创造力。

20、 由于多媒体教学具有 色彩丰富，能化静为动，化虚为实，化繁为简，化抽象为直观，不受时间、客观和微观的限 制等特点，多媒体教学手段包罗了传统教学手段的所有优点,同时又具有传统教学手段所无10法比拟的优越性，能大大增强教学效果，深化学生的空间观念。如何在小学数学教学活动中培养学生数学思维那就是 就小学数学学科教学来说， 就是 为培养具有创造能力的人才作出 培养学生创造能力是解决这一问当今世界科学技术高速发展， 作为一名基础教育工作者面对着这样一个严峻的问题， 怎样才能把我们的学生培养成适应当代的有用的建设人才。 如何革新教学观念， 创新教学模式， 提高学科教学的质量， 自己的努力。 我认为在数学课

21、堂教学中训练学生数学思维， 题的关键所在。下面就此问题谈一些自己的看法。一、训练学生数学思维的现实意义 1训练学生数学思维是实施素质教育的需要。中共中央关于加强教育改革，进一步实施素质教育的决定中明确指出： “实施素质教 育，就是全面贯彻党的教育方针， 以提高国民素质为根本宗旨， 以培养学生的创新精神和实 践能力为重点，造就有理想、有道德、有文化、有纪律的德智体美等全面发展的社会主 义事业的建设者和接班人。 ”这里明确指出， 培养人才的重点是学生的创造精神和实践能力。 而学生创造精神的培养， 其基础是有良好的思维品质。因此， 在小学课堂教学中， 的自身优势，培养学生的数学思维有着十分重要的意义

22、。2训练学生数学思维是小学数学教学本身的需要。 从学科本身的特点来看，小学数学不仅只是传授给学生数学知识，更主要的是培养学生 的能力， 尤其是数学思维能力。 数学教学的目的之一就是在于训练学生的数学思维， 生良好的学习数学的品质， 以及科学的世界观和方法论， 使学生能面对客观现实， 方法分析矛盾， 解决问题。人们所以经常用“数学是思维的体操” 展的巨大作用。3训练学生数学思维是教学现状的需要。 目前小学课堂教学的现状还不尽如人意。部分教师重知识，轻能力的现象清晰可见。如 教师在备课时只注重大纲的知识要求，而对学生的能力目标要求不到位，甚至没有；课 堂上教师一讲到底，学生“认真”听讲的现象“涛声

23、依旧” ；只考核学生的知识掌握情况， 而很少顾及学生数学思维能力的现象在学生的学业评价中更是司空见惯。 这些问题的存在已 阻碍了小学数学教学质量的进一步提高和素质教育在小学数学学科中的落实。二、训练怎样的数学思维 所谓数学思维，它是一种认识数学本身或应用数学知识解决实际问题过程中的辩证思 维。数学思维的结构成分，归纳起来大致包括具体思维、 抽象思维、直觉思维和函数思维等 几个方面。1具体思维。 具体思维是一种与事物的具体模型或形象密切联系和相互作用的一中思维。它包括非操作性的形式（观察、感知等）和操作性形式（对事物或其模型直接进行 操作等）。一般教师在数学概念的教学中往往只对学生进行非操作性的

24、具体思维，所以，学 生理解事物仅仅停留在被称作“表象”的水平上，并不真正掌握概念。心理学家皮亚杰认为 如果学生缺少特殊的、 操作性的思维能力， 思维对于培养学生掌握概念更为有效。根据学科培养学 用数学的 来形容数学对人的思维发那么是不可能掌握概念的。 他认为操作性的具体 孤立的思维活动正是当实际活动发展到一定程度时才 所以布鲁纳等心理学家都认为数学概 用学生自己的身体和可能出现的， 而这种实践活动是学生心理发展的基础。 念的形成必须通过学生自己的活动。 在开始阶段必须对客体进行操作， 感官作用与客体。 在实际的操作中将外部活动所得到的信息内化， 在头脑中固定下来， 并通过语言的 “中介” 作用

25、转化为思维模式。 意即在此。2抽象思维。 抽象思维是与抽象化活动密切联系的思维活动。使实践活动中的逻辑关系 所谓“思维之花开在手上”这里的抽象化有双重性，即肯定性(抽取对象的本质属性)和否定性(舍去对象的非本质属性)。形成一个正确的数学概念都必须同时考虑这两个方面， 丝毫不能含糊。 抽象思维一般包括分析思维、 逻辑思维 和空间思维。( 1)分析思维。其特点在于认识过程中各阶段的明确性，不论对内容，还是采用的分 析步骤都是完全有意识的。 美国教育家布鲁纳认为 “分析思维是以一次前进一步为其特征的， 步骤是明显的， 而且常常是由思维着向别人作适当的知道。 在这类思维进行的过程中， 人们 能比较充分

26、地意识到所含的知识和运算” ，它可以有意地直接控制。例如分析四则混合运算 顺序、简单的应用题、一般复合应用题的结构等，通常是用分析思维进行的。( 2)逻辑思维。它是人类思维发展的高级阶段，是人脑借助概念、判断、推理及其他 逻辑方法反映现实生活的认识过程， 是一种确定的、前后一贯的、 有条理的、 有根有据的思 维。在数学中它的特性表现为善于从已知前提中推导出结果。 还表现在各种数学结论的推导， 一些法则、性质的得出及运用法则、公式、性质解题等方面。( 3)空间思维。这是以空间概念和空间想象为基础，善于在头脑中建构研究对象的空 间形状和简略的结构为特点，并能够对实物、 模型、 图表等进行一系列的操

27、作，在头脑中作 出相应的思考，使感性认识升华为经加工、整理、编码后的理性知识，储存在头脑里，应用 时可以自由检索。但由于学生缺少这方面的观察、 操作、 想象训练，进行空间思维就比较困 难。3直觉思维。直觉思维是认识的特殊方法，其特点是直接解决问题或得出真理。即没 有经过周密的思考或判断； 或用逻辑思维长久困惑， 百思不得其解时突然茅塞顿开， 疑团消 除，问题解决。 这实际上是一种潜思维。 是大脑神经细胞从无序走向有序， 突然接通携带有 关信息的细胞的结果。这个过程人自己也控制不了，无法反省，不知道自己的思维过程。可 见直觉思维与分析思维不同，它缺少清晰的、明确的步骤，不是经过按部就班作出的结论

28、， 而是倾向于首先就一下子可以把整个问题的理解为基础进行思维。 人们获得答案却意识不到 为何求出答案的过程。如数学解题中的猜测答案、 估算、 应急性回答， 提出新奇性解法及把 复杂问题简单化等。 但必须明确， 直觉思维的合理性在于提出了认识中的直接性问题， 它是 感性认识和理性认识的统一， 是建立在逻辑思维和实践上的一种认识形式， 是从最初的事实 材料达到结果的特殊的形式。例如： “一个机器厂原计划每天生产 40 台机器， 20 天可以完 成任务。如果要提前4天完成，每天要完成日产量的百分之几？”一般列式为40X 20+( 204)+ 40。可是有的学生一下子就列出20+( 20 4)的算式。

29、问他为什么这样列式，他却答不上来。这就是直觉思维的表现。4函数思维。函数思维就是对数学概念及关系的变化性，相互联系和转化等性则的认 识。其特点在于对数学对象与其性质之间一般的和个别的相互关系的动态认识。这种认识和辩证思维完全统一。 辩证思维的特点在于注重考虑上述变化和相互关系等方面。虽然在小学数学中没有正式引入函数概念与函数关系式， 但作为一种旨在了解数学对象与其性质间一般 和个别相互关系的函数思想， 从小学低年级就开始应当十分重视。 培养学生对应关系、 映射、 变化、复合关系等函数思想。如整数应用题安排距离、速度、时间三者关系的行程问题；几 何知识中的形、 体求积公式的得出是一种函数关系的表

30、达式； 正、反比例就是两量之间的正 反比例的函数； 统计图表是利用列表法表示函数关系； 分数乘法的教学从乘数由整数发展到 分数， 使意义发生了变化， 反映了事物由量变到质变的关系； 用割补法讲圆和圆柱的求积问 题，体现了曲线一定条件下变化成直线的转化关系； 整数除法商不变性质、 分数基本性质和 比的基本性质三者之间的相互沟通， 可用函数思想统一起来。 所有这些都可以培养学生的函 数思维。三、如何训练学生的数学思维所以训练学生的数学思维必须而且由于数学教学实质上是数学活动即思维活动的教学，只能通过数学教学来实现。 同时由于数学是凭借数量关系和空间形式去划分和反映客观世界 的整体， 因此训练数学思

31、维也就必须从整体出发。 学习数学必须以思维的完整性作基础， 反 过来又促进思维的整体结构形成。 同时因为教学过程是可控制的， 所以在教学中发展学生整 体思维也是可控的。应当引导学生进行多维的数学活动。那么，如何训练学生的数学思维呢？笔者认为训练学生的数学思维时应注意以下几点。 1训练学生的数学思维要给材料。并带有某种创造性的让学生动手实践，掌 11根、 13 根以及刚好是 搭建一个立方体12 条棱组成的这一概念。 再如要让学生掌12 根小棒的小组中有意放一些 12 根小12 条棱必须相等。这样，学生根据要根据学生的思维特点、 数学本身的性质向学生提供丰富的感性材料， 以形成具体生动 的表象和概

32、念。随着年级的升高，具体形象的成分逐渐减少，抽象成分不断增加。概念、法 则、性质、 公式等理性材料日益积累，构成思维的素材， 成为构建相应的数学认识模式的知 识基础。 如学生形成数的概念， 构建四则运算系列的模式， 掌握几何形体知识的结构大都需 要丰富的材料。总的是遵循具体形象一一形象抽象一逻辑抽象的规律， 萌芽。 例如立方体概念的教学中，教师可以提供学生动手操作的素材， 握概念。为使学生认识立方体有 12 条棱这一概念，教师可分别将 12 根的小棒分别发给学生，要学生动手搭建立方体。学生通过实验发现： 刚好需要 12 根小棒， 从而让学生掌握立方体是有 握立方体的 12 条棱都相等这一概念，

33、教师可在分发 棒不相等的，让学生在“失败”的经验中认识立方体的 教师提供的教学素材，经历着从展开的、物质的、外部的活动，逐步压缩、省略思维活动的 具体环节直至内化为最简单的形式一一立方体的概念。2训练学生的数学思维要有方向。小学生学习数学的思维方向明显特点是单向直进， 即顺着一个方向前进， 对周围的其他 因素“视而不见” 。而皮亚杰认为思维水平的区分标志是“守恒”和“可逆性” 。这里在所谓 “守恒”就是当一个运算发生变化时，仍有某些因素保持不变，这不变的恒量称为守恒。而 “可逆性”是指一种运算能用逆运算作补偿。学生要能进行“运算” ，这个运算应当是具有 可逆性的内化了的动作。 因此， 教师在教学中既要注重定向集中思维， 又要注重多向发散思 维。前者是利用已有的信息积累和记忆模式， 集中向一个目标进行分析推理， 全力找到唯一 的合理的答案。 后者是重组眼前或记忆系统中的信息， 产生新的信息。 解答者可以从不同角 度，朝不同方向进行思索，探求多种答案。在对培养学生创造能力