(整理)圆锥曲线定义几何性质(20210411214649)

1、专题：圆锥曲线、圆锥曲线的定义的考查且椭圆的另外一个焦点在 BCX21、已知 ABC的顶点B、C在椭圆3 + y = 1上，顶点A是椭圆的一个焦点,边上，则 ABC的周长是（）（A）2书（B）6（ C）4屮（D）122 2P到右准线的距离之比等于2、 已知双曲线3x -y-9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点 （ ）2、3A. .2B.C. 2D.433、已知定点 A、B且|AB|=4，动点P满足|PA| |PB|=3，则|PA|的最小值是1 37A .B .C.D . 52 224、已知A -丄,0 j, B是圆F :0)上变化，贝U x 2y的最大值为(A )2 27、若动点(x,y

2、)在曲线笃4 b(A)b24(0 :：: b ：. 4)；4；2b (b _4)b2(B),42b(0 ： b ：. 2)；(b-2)(C)匚4 ；4(D) 2b。8 设 a, b22R ,a 2b =6,则a b的最小值是A - 2 2C. 3三、直线与圆锥曲线的位置关系:21、已知椭圆Ci的方程为 y2 =i，双曲线C2的左、右焦点分别为Ci的左、右顶点，而4C2的左、右顶点分别是Ci的左、右焦点。(1) 求双曲线C2的方程；(2) 若直线I: y二kx.2与椭圆Ci及双曲线C2恒有两个不同的交点，且I与C2的两个交点A和B满足OA OB :：: 6 (其中O为原点)，求k的取值范围。2、

3、已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在X轴上，斜率为i且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于 A、B两点，OA OB与a=(3,-i)共线。(I)求椭圆的离心率；T (H)设 M为椭圆上任意一点，且 OMQAQiOB (YR)，证明3)的直线I过点(0,-23 )和椭圆C :务笃=1(a b 0)的焦点，且a bC于点M、N,4满足OM ON二6站/ MON工0( o为原点).若存在，求直线 m的方程；若不存在，请说明理由过原点垂直I的直线方程为y 3 x ,3解得x = 3.2椭圆中心(0, 0)关于直线l的对称点在椭圆 C的右准线上,2 3.3.c 2直线l过椭圆焦点，该焦点坐标为(2, 0).222

4、X.c二2,a=6,b = 2. 故椭圆C的方程为一2-1.6 2(II )设 M ( Xi,yi), N ( X2, y2).设直线m: x二ty -2，代入，整理得(t2 3)y2 -4ty - 2 =0.4t-2力y2,y1y2 4t 28I y y2 戶迸3y2)rym =(严.3) 严.324t224(t23)2 .=0M ON = J6cot/MON ,即 | OM | cosZMON334 一 cos/MON33si nMON42.|OM|ON|sin. MON .6,. S OMN =6.33124t2+24SOMN 卞曲SOEN S|OE|y1y2|. (t2，3)22422

5、24 = 2 6，整理得 t4 =3t2.(t2 - 3)23解得t二 3,或t =0.故直线m的方程为y x -,或y33经检验上述直线均满足OM ON -0.所以所求直线方程为 y = 色x ,或33yx-注，或 x2.334、如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点Fi, F2在x轴上，长轴A1A2的长为4左准线I与x轴的交点为 M，IMA* : |AiFi|= 2 : 1 .(I )求椭圆的方程；(n )若直线li: x= m(|m| 1), P为li上的动点，使/ F1PF2最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表 示).2解：(I)设椭圆方程为笃a2y2 =1 ( a b b2半焦距为c

6、,则2a| MA1 |a ,| AR | = a c,c由题意，得a2a = 2 a(cc2a =4a2 =b 牟ca = 2,b =3, c = i2故椭圆方程为-y4(11)当y21 3设 P(m, y),| m| 1=0 时，F1PF2 =0当y=0 时，0 MFiPF2/PFiMji 1);(I)试证：bn2n ：；3(n)取bn=，并用Sn表不匚PnF nGn的面积,试证：S V S2 且 Sn Sn+3 (n3). 图(2 2 )图证：(1)由题设及椭圆的几何性质有设tn=卫1 -b：,则右准线方程为lnX因此，由题意dn应满足2dn HPnFn| |PnGn2,故 dn =1.丄

7、1胡1即ex，解之得：丄兰編 0).过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(I)证明FM AB为定值；(n)设 ABM的面积为S,写出S= f(为的表达式，并求 S的最小值.解：(I )由已知条件，得F(0, 1), A0.设 A(X1, y1), B(x2, y2).由 AF = AFB ,即得(一x1, 1 y)= Xx2, y2 1),厂X1 =瓜21一 y1 = Xy2 1)将式两边平方并把 y1 = $12, y2=?x22代入得y1=和2解、式得 y1=人y2 =1，且有x1x2= ?x22= 4为2= 4,入1 o 1抛物线方程为y= x ,求导得y= 1x.所以过抛物线

8、上A、 B两点的切线方程分别是1 1y = J 2知S 4，且当-=1时，S取得最小值4.8、已知两定点F1（J2,0 ）,F2（J2,0 ），满足条件PF2与曲线E交于 代B两点，如果 AB =6.3，且曲线E上存在点C，使:ABC的面积S本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基 本思想、方法和综合解决问题的能力。解：由双曲线的定义可知，曲线 E是以F1 - .2,0 ,F2 .2,0为焦点的双曲线的左支，且 c = . 2, a =1，易知 b =122故曲线E的方程为x -y = 1 x ： 0+ X22 )2+ ( 2)2=PR = 2的

9、点P的轨迹是曲线E，直线y = kx 1OA = OB = mOC，求m的值和设A xi,yi ,B X2,y2 ，由题意建立方程组y = kx _ 12 2x -y =1消去 y，得 1-k2 x2 2kx-2 =0又已知直线与双曲线左支交于两点AB，有1 -k2 H022 =(2k 2 +8(1 -k2 )a02 kX1 +% = 0k1-k2又AB二 1 k2 Xi X2-2k=1k2 、x1血 $ -4x1x2c4 -k24 1-k21k2 2-k22 2(1-k2)依题意得押3整理后得 28k4 55k2 + 25 = 0(1 -k2 J k-或 k2 = 5 但-, 2 : k ：

10、 -174故直线AB的方程为上5 x y 1 =0设 C Xc,yc ,由已知 OA OBmOC，得 i亠x?, y?=诃冷,m%X1 X2 y1 y2- mxc,myc-2kl又 x X224 , 5 ,k -1C J75 8C ,一Im m ,点2k2y1 y2 = k 1 X X2 - 2-2 k -1Xt8将点C的坐标代入曲线E的方程，得8-一卑=1m m得m二4，但当m二-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 m=4 , C点的坐标为 - -5, 21C到AB的距离为_1_3 ABC 的面积 S =1 6、3 -232 29、已知椭圆 Ci： X y 1,抛物线 C2： (y-m

11、)2 = 2px( p 0),且 Ci、43C2的公共弦AB过椭圆G的右焦占八、-(I )当AB丄x轴时，求m、p的值，并判断抛物线 C2的焦点是否在直线 AB上；(n)是否存在m、p的值，使抛物线 G的焦点恰在直线 AB上？若存在，求出符合条件的 值；若不存在，请说明理由解 (I)当AB丄x轴时，点A、B关于x轴对称，所以 m = 0,直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为(1, 3 )或(1, - ) 2 2因为点A在抛物线上，所以9 =2p，即p =9 .48此时C2的焦点坐标为(,0),该焦点不在直线 AB上.16(n)解法一 当C2的焦点在AB时，由(I)知直线AB的斜率存在，设直

12、线AB的方程为y y =k(x 1) x2 y2 消去 y 得(3+4k2)x2 8k2x+4k2 12=0.|143设A、B的坐标分别为(X1, yj , (x2,y2),贝U X1, X2是方程的两根，X1 + X2=-.3+4k2因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，111所以 AB =(2 X1) (2 X2)=4(X1 X2),且2 2 2=(为 P) (X2 卫)=为 X2 P 2 2= k(x1).ABny从而所以解得因为1 x1 x2 p = 4 - 一(为 x2).224 6 p加8kx. x 2，即233 4kk2 =6,即k - ,6 .、 2C2的焦点F

13、 (-，m)在直线y=k(x-1)上，所以3/ 66m或m33m 6时，直线AB的方程为y-. 6(x_1)； 3m6时，直线AB的方程为y = ._6(x_1).34 -6p3解法二 当C2的焦点在AB时，由(I)知直线 AB 为 y =k(x_1).； 、2 _8(y m) 一3 x消去 y 得(kx _k _m)2 =- x. y=k(x1)3因为C2的焦点F (2 ,m)在直线y=k(x-1)上，3所以m =k(2-1)，即m=_lk.代入有(kx-空)2333即 k2x2 -4(k22)x 4k 0.39设A、B的坐标分别为(x1, y1) , (x2,y2),2则X1,x2是方程的

14、两根，X1 + x2= 4(k2)y 二k(x-i)由 x2 y2 消去 丫 得(3 4k2)x2 1.43由于X1,X2也是方程的两根，所以从而因为的斜率存在，设直线3k2-8k2x 4k2 12 =0Xi + X2=t3 4k22 24(k2)解得 k2 =6,即 k= .6 .3 - 4k23k2C2的焦点.21F （一，m）在直线y=k（x1）上，所以 m k .33寸6、m或m =336 m =时，直线 AB的方程为y-】6(x-1)； 3m诗时，直线AB的方程为. 解法三 设A、B的坐标分别为（xi, yi）, （X2, y2）,AB的方程因为AB既过Ci的右焦点F(1,0)，又是过C2的焦点F(,m),pp11所以 AB =(X +) +(X? +) =X +x? + p = (2 x)+(2 X?)2 222 即 Xr +x2 =2 (4 _p)二16.3 9由