一元二次方程降次法与含参数方程的解法

1、降次法与含参数方程的解法 知识点 基本要求 略高要求 较高要求 一元二次方程 了解一元二次方程的 槪念，会将一元二次方 程化为一般形式，并指 出各项系数；了解一元 二次方程的根的意5C 能由一元二次方程的概 念确定二次项系数中所 含字母的取值范国；会 由方程的根求方程中待 定系数的值 一元二次方程的 解法 理解配方法，会用直接 开平方法、配方法.公 式法、因式分解法解简 单的数字系数的一元 二次方程，理解各种解 法的依据 能选择恰当的方法解一 元二次方程：会用方程 的根的判别式判别方程 根的悄况 能利用根的判别式说明含有字母系 数的一元二次方程根的情况及由方 程根的情况确定方程中待定系数的 取

2、值范團；会用配方法对代数式做 简单的变形；会应用一元二次方程 解决简单的实际问題 板块一 一元二次方程的解法 因式分解法的根据：如果两个因式的乘积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,反过来，如果两个因 式中有一个因式为0，那么它们之枳为0，即贝Ij“ = o或b = 0或= b = 0 例如：(2x一lX3 人.)= 0,贝iJ2a一1=0或3-x = 0 凶武沁湃5S元宣廖2逝磁数 解一元二次方程的思想方法：降次 因式分解法的一般步骤： 将方程化为一元二次方程的一般形式 把方程的左边分解为两个一次因式的枳 令每个因式为0,得到两个一元一次方程 解这两个一元一次方程得原方程的解 【例1】例如

3、：对于方程3(x-2)2=27,张明的解法如下： 解：方程整理得3(x-2)2=-(x-2) 方程两边同时除以(X-2)得：3(x-2) = -1 去括号得：3a6=-1 移项并合并同类项得，3x = 5. Ax = - 3 你认为张明解方程的过程有错误么？如果有，请指出错在哪一步？并说明错误的原因，并选择合 适的方法解方程 【解析】略 【答案】有错误；第步出错，当x-2 = 0时，方程两边不能同时除以X-2 解：方租整理得3(x-2F+(x-2) = 0 提取公因式得(x-2)3(x-2) + l = 0 , 整理得(x-2)Fro /. x = 2或X = - 3 【例2】用因式分解法解下

4、列方程 (32-6才一7 = 0： (1) (2a-1)+3(1-2x) = 0：(2)(1-3x)2 =16(2x + 3)2： 【解析】略 【答案】原方程变形为：(2-1)-3(2a-1) = 0,即(2x-l)(2x-l)-31 = 0 整理得(2x-l)(2x-4) = 0 ZvI = 0 或 2x4 = 0,斗=,壬=2 原方租变形为(l-3x)2 -4(2x + 3)F=0 (l-3x) + 4(2x + 3)(l-3x)-4(2 牙+ 3) = 0 整理得(5卄13)(-1吹 -11) = 0 , .5.v+13 = 0-l I.v-ll = 0,A- = -A=-l 5 (3)

5、原方程 T化为(x - 7)(x+1) = 0 X7 = 0 或x +1 = 0 X| = 7 , Xq =1 【例3】解关于X的方程：(4x-W-3(l-4x)-4 = 0 【解析】换元法 【答案】设4一1=则原方租町变形为“2+%-4 = 0 整理得(cf + 4Xcf-l) = 0 .+4 = 0或“ 1=0 . = 一4 或=1 当 d = 1 时，4x 1 = 1 , A = 【巩固】采用因式分解法解下列方程 (2)(2.v-1)-+(1-2a)-6 = O (4)x/I(x-|)2 n (3-切+宀9 (3)(3a一l)2=4(l-x)2 【解析】略 【答案】整理得x-3x = 0

6、 入(X 3) = 0 , x = 0 或X3 = 0, x = 0 或v = 3 (2)设2x-l = ,則原方程町变形为：a-a-6 = O 整理得 a-3)a+2)=o d = 3 或=2 2v1=3 或 2v1 = 2 x=2 或 x = 2 移项得(3x-1)2-4(1-x)2=0 (3x-l) + 2(l-x)(3x-l)-2(l-x) = O 整理得(x +l)(5x-3) = 0 x = -l 或 x = 2 Q)移项得72(x-1)2 -(l-x) = O 提取公因式得(x-iM(a-1) + 1 = 0 二 X-1 = 0或履x-l) + lO 也 2 【巩周】采用恰当的方

7、法解下列方程 工 +(i + 273)x + 3 + 5/3=0 (2) a-3|a|-4 = 0 (3) (x-3)- + U + 4)-U-5/ = 17a + 24 【解析】 【答案】 略 (Dxj ,兀: (2)召=4 p A, =-4 ： (3)x, =一3 ,=8 11 板块二 可转化为一元二次方程的分式方程 23 =4： + f+ v + 2 X -4 2-a- 4a-2 5 _ 5/105 X,= 8 【例4】解方程竺三+丄=5 2x A 【解析】把分式方程化为一元二次方程，然后解答 【答案】等式两边同时乘以2r得：-v(3.v-2)+ 2 = !0 x 整理得：7?+2x-2

8、 = O 解得：x=T士皿 7 经检验：“T士皿是原方程的解 7 .原方程的解为=土返 或*=土返 27 【巩周】解下列分式方程 X5 (I) +=4+ 2x-33-2xA + 1 x-1 【解析】注意检验根 【答案】整理得：W-13x + 5 = O,解得占=1, 经检验：X严1, X,=-是原方程的解 8 原方程的解为A-, = 1 , X,=- 8 (2) 整理得：4.v-5x-5 = 0,解得斗=5 +屈 8 经检验得：西=5 +茫,x = 5-們是原方程的解 b Z厶合丄5 + -/1055 - y/ 05 原万租的解为X=, 兀= 8 8 (3) 整理得：F-3x + 2 = O,

9、解得A；=l , A, =2 经检脸得：a = 2不是原方程的解，舍 原方程的解为x = 【例5】解分式方程: 4 +鸣7 X+1 疋+1 【解析】换元法 A-+1 设=初， X + 【答案】 則原方程町变形为2a + - = l a 整理得：亦-九+ 6 = 0,解得如=2 2 经检验得或“ =2均为方租2+- = 7的解 2a 当 a = l 吋，则二1 = 2,整理得：2a-3x-1 = O 2x+12 解w呼,呼 经检验，州=廿半7,兀=上1均为原方程的解 上 + I 当=2吋，则 一=2,整理得：x-2a-1 = 0 x+1 解得：=1+71, =1-矩 经检验，3 = 1 + 72

10、 ,兀= i-J5均为原方程的解 原方程的解为再= 3+f, =2zZ,為=1 +竝，x, = -42 【巩固】 【解析】 X3f C C -；+ 2 = 0 A- +2a + 1 A- + 1 略 【答案】 解：原方程叮整理为（）-3+ 2 = 0 x+i x+i V 令=,则原方程变形为一 + 2 = 0 JC+1 解得“ =1或4 = 2 、 当=2吋，则 =2 ,整理得?-2x-2 = 0 x+i 解得A- =1 + 7? , 经检验Xj=1 + 73 , X,=-yl3是原方程的解 y- 当d = l时，则=1,整理得jr-x- = 0 x+ 解得X严半X严呼 经检验：兀=上字，兀=

11、号色是原方程的解 原方程的解为壬=1 +苗，JC, = 1 - 7?,屯=+的,*4 = 2 2 【例6】如果关匕的方程-令=1有-个增根是5,则“的值是多少？此时它的根是多少? 【解析】略 【答案】解：整理彳寻：x=-3% + -40 = 0 .原方程有一个增根是5 x=5 是方程A-3.Y + tr-40 = 0的解 因此#a- = 3代入得/=30 I d = 5/5 .方程宀3卄/-40 = 0 为 x-3x-i0 = 0 解得*=5,召=-2 经检验：a=5不是原方程的解，舍 原方程的解为a-=-2 板块三简单的无理方程 1无理方程的定义：根号内含有未知数的方程 2有理方程和无理方程

12、统称为代数方程整式方程与分式方程又统称为有理方程，我们在初中阶段常见的 整式方程有：一元一次方程，二元一次方程，一元二次方程。 3. 无理方程的解法思路与步骤： 去根号：解有理方程：检验根：写出原方程的根 【例7】判断下列方程是否为无理方程 (1)x- + 272x-I=0;+!= 1； (3)x-Jx-l =3;如-4 + 1 =厶 + 5 75-1 A-2 【解析】 【答案】 略 无理方程有：(S). 【例8】 解下列无理方程：会用平方法去根号解无理方程并会验根 (157+3-x = 0;(2)747+2 + 5/47 = 4：(3)松+72 =尤; 【解析】略 【答案】(U整理得：= x

13、 两边平方得：2x + 3 = x- 整理得：x-2x-3 = 0 ,解得X, =-1 ,兀=3 经检验舛=_1不是原方程的解，舍 原方程的解为% = 3 整理得 y/4x + 2=4-y/4x 两边平方，整理彳寻：2/4 = 3 17 两边平方得4(4x-2) = 9,解得x = 16 17 经检脸：x =/7贏=1有一个增根x=4,求fl的值.求方程的根 【解析】类似问题需矣注意的是，不能将x=4代入方程75口-/7肓=1,因为x = 4是它的增根，所以 必须死将无理方租转化为整式方程，然后再将a- = 4代入整式方程中 【答案】整理得厉刁=1+5/7匸7 两边平方得：2%-4 = 1 +

14、 2y/x + / +x+a 整理得：x-5- = 2y/x + a 两边平方得：(X-5-初)2 =4(x + a) 将x=4代入方程，整理得/-勿一15 = 0 解得“1=5, t/, =-3 经检脸：当=-3吋，x=4是原方程的根，不符合题意，舍 6/ = 5 将“ =5代入方租，整理得：a:-24.v + 80 = 0 解得A-=20,力=4 经检验K = 20是原方程的根 原方租的根为x = 20 【例10】解无理方程（换元法） 2x+3x-572+3x + 9+3 = O 【解析】略 【答案】令血+39 =初,则 2十+3x+9 = /, /. 2x-+3x = a-9 则原方程变

15、形为“2-9-5么+ 3 = 0,整理得cf-5“一6 = 0 解得U| =-1 , 6=6 /（2.1 + 3x + 9 = d 0/. t/ = 6 才 Q 则 y/2x-+3x + 9=6 ,整理得2F+3x-27 = 0,解得禹=3, x,=- 9 经检验州=3, A =-均为原方程的解 9 原方程的解为X, = 3 ,=- 【巩固】解无理方程：2F-6x-1-57?-3x-1=4 【解析】略 【答案】设 、 2 若 W#0,则 mx -(3F + 2)x + 6rn = 0(mx-2)(x3m) = 0 ,故州=,x, = 3w m 【例12】 【解析】 【答案】 已知关于X的方程(

16、a-)x2x-a-= 0的根都是整数，那么符合条件的務数a有几个? 对二次项系数进行分类讨论 当“-1=0时，/ = 1,解得A- = I ,符合題意矣求。 当一1工0 时，則Hl,整理得(“一l)x + cf + l(x-l) = o 解得r, X,=l,因为原方程的两个根均为整数 “一1 /. %,=-= -1 也为整数，因此a-l = l 或“-1 = 2 / 1 “ 一 1 = 0或2或3或I 综上所述，整数a的值有5个，分别为-1, 0, I, 2, 3 【例13】解关于才的方程:/5 , JCj = -y/s . 的数学思想: （1）填空：由原方程得到的丘程中，利用法达到降次的目的，体现了 （2）解方程（+-才-4（疋7）一12 = 0 【解析】（1） 【答案】 换元，转化： 设F X = V ,原方程可化为 4$ -12 = 0 , /-）= 6,儿=2 当 y = 6 3寸，X - A - 6 = 0 ,解得 JT = 3 , A, = -