现代控制理论

1、 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 2 第5章 控制系统的李雅普诺夫 稳定性分析 5.1 5.1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 5.2 5.2 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论 5.3 5.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 5.5 5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 3 一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证 系统是稳定的。因此，控制系统的稳定性分析是系系统是稳定的。因此，控制系统的

2、稳定性分析是系 统分析的首要任务。统分析的首要任务。 1892年，俄国学者李雅普诺夫（年，俄国学者李雅普诺夫（lyapunov）在）在 “运动稳定性一般问题运动稳定性一般问题”一文中，提出了著名的李一文中，提出了著名的李 雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通 用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性 理论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法，理论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法， 分别被称为李雅普诺夫第一法和第二法。分别被称为李雅普诺夫第一法和第二法。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易

3、矣;不为,则易者亦难 4 李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后 根据解的性质来判断系统的稳定性。其基本思路与根据解的性质来判断系统的稳定性。其基本思路与 分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为间接分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为间接 法。法。 而李氏第二法的特点是不必求解系统的微分方而李氏第二法的特点是不必求解系统的微分方 程（或状态方程），而是首先构造一个类似于能量程（或状态方程），而是首先构造一个类似于能量 函数的李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函函数的李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函 数的性质直接判断系统的稳定性。因此，该方

4、法又数的性质直接判断系统的稳定性。因此，该方法又 称为直接法。称为直接法。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 5 5.1 李雅普诺夫稳定性定义 稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系 统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系 统的平衡状态而言的。对于统的平衡状态而言的。对于线性定常系统线性定常系统，由于通常，由于通常 只存在唯一的一个平衡状态，所以，只有线性定常系只存在唯一的一个平衡状态，所以，只有线性定常系 统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定统才能笼统地将平衡点

5、的稳定性视为整个系统的稳定 性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中不同性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中不同 的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡 状态的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义，状态的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义， 然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义。然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 6 初始状态为初始状态为x(t0) = x0。对于上述系统，若对所有的。对于上述系统，若对所有的t， 状态状态x满足满足 ，则称该状态，则称该状态x为平

6、衡状态，记为为平衡状态，记为xe。 故有故有 0 x 5.1.1 平衡状态平衡状态 n rtxxfx),( f（xe，t）= 0 由平衡状态由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点。在状态空间中所确定的点，称为平衡点。 由于稳定性考察的是系统的自由运动，故令由于稳定性考察的是系统的自由运动，故令u = 0。 此时设系统的状态方程为此时设系统的状态方程为 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 7 系统的平衡状态应满足系统的平衡状态应满足axe = 0。 当当a是非奇异的，则系统存在唯一的一个平衡状态是非奇异的，则系统存在唯一的一个平衡状态 xe = 0。 当当a是奇异的

7、，则系统有无穷多个平衡状态。是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。 显然对线性定常系统来说，当显然对线性定常系统来说，当a是非奇异的，只有是非奇异的，只有 坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。 axx 对于线性定常系统，其状态方程为对于线性定常系统，其状态方程为 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 8 对于非线性系统，方程对于非线性系统，方程f( xe，t) = 0的解可能的解可能 有多个，即可能有多个平衡状态。如有多个，即可能有多个平衡状态。如 3 2212 11 xxxx xx 0 0 3 221 1 xxx x 解得解得 1, 1 , 0

8、 0 2 1 x x 因此该系统有三个平衡状态因此该系统有三个平衡状态 0 0 1 e x 1 0 2 e x 1 0 3 e x 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 9 5.1.2 范数的概念范数的概念 李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。 范数的定义范数的定义：在：在n维状态空间中，向量维状态空间中，向量x的长度称的长度称 为向量为向量x的范数，用的范数，用x表示，则表示，则 22 2 2 1n xxxx 2 1 t )(xx 向量（向量（x xe）范数可写成）范数可写成 22 1 )()( 1n enee xxxxxx 通常

9、又将通常又将x xe称为称为x与与 xe的距离。当向量（的距离。当向量（x xe） 的范数限定在某一范围之内时，则记为的范数限定在某一范围之内时，则记为 x xe 0 几何意义为几何意义为，在状态空间中以，在状态空间中以xe为球心，以为球心，以 为半为半 径的一个球域，记为径的一个球域，记为s( )。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 10 5.1.3 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 定义定义: 对于系统对于系统 ，若对任意给定的实数，若对任意给定的实数 0，都对应存在另一个实数，都对应存在另一个实数 ( , t0)0，使得一切满，使得一切满 足足x0 xe (

10、 , t0)的任意初始状态的任意初始状态x0所对应的解所对应的解x，在，在 所有时间内都满足所有时间内都满足 ),(tf xx x xe （t t0） 则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态xe稳定的。若稳定的。若 与与t0无关，则称平无关，则称平 衡状态衡状态xe是一致稳定的。是一致稳定的。 1. 稳定和一致稳定稳定和一致稳定 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 11 x1 x2 xe s( ) s( ) x0 x 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 12 定义定义: 对于系统对于系统 ，若对任意给定的实数，若对任意给定的实数 0，总存在，总存在 ( ,

11、 t0)0，使得，使得x0 xe ( , t0)的任意初的任意初 始状态始状态x0所对应的解所对应的解x，在所有时间内都满足，在所有时间内都满足 ),(tf xx 2. 渐近稳定渐近稳定 e t xxlim 则称平衡状态则称平衡状态xe是渐近稳定的。是渐近稳定的。 x xe （t t0） 且对于任意小量且对于任意小量 0，总有，总有 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 13 x1 x2 xe s( ) s( ) x0 x 经典理论中的稳定，就是这里所说的渐近稳定。经典理论中的稳定，就是这里所说的渐近稳定。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 14 定义定

12、义: 如果系统如果系统 对整个状态空间中的任对整个状态空间中的任 意初始状态意初始状态x0的每一个解，当的每一个解，当t 时，都收敛于时，都收敛于xe， 则系统的平衡状态则系统的平衡状态xe叫做大范围渐近稳定的。叫做大范围渐近稳定的。 ),(tf xx 3.大范围渐近稳定大范围渐近稳定 显然，由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都显然，由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都 要收敛于要收敛于xe，因此这类系统只能有一个平衡状态，这，因此这类系统只能有一个平衡状态，这 也是大范围渐近稳定的也是大范围渐近稳定的必要条件必要条件。对于线性定常系统，。对于线性定常系统， 当当a为非奇异的，系统只有一个唯一

13、的平衡状态为非奇异的，系统只有一个唯一的平衡状态xe = 0。 所以若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围所以若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围 渐近稳定的。而对于非线性系统，由于系统通常有多渐近稳定的。而对于非线性系统，由于系统通常有多 个平衡点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近个平衡点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近 稳定。在实际工程问题中，人们总是希望系统是大范稳定。在实际工程问题中，人们总是希望系统是大范 围渐近稳定的。围渐近稳定的。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 15 定义定义: 如果对于某个实数如果对于某个实数 0和任一实数和任一实数

14、 0， 不管这两个实数有多么小，在球域不管这两个实数有多么小，在球域s()内总存在一个内总存在一个 初始状态初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终将，使得从这一初始状态出发的轨迹最终将 超出球域超出球域s()，则称该平衡状态是不稳定的。，则称该平衡状态是不稳定的。 4. 不稳定不稳定 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 16 5.2 李雅普诺夫稳定性理论 5.2.5.2.1 1 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第一法的基本思想李雅普诺夫第一法的基本思想是利用系统的特征是利用系统的特征 值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳值或微分方程及状态方程的

15、解的性质来判断系统的稳 定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、 线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。 1. 线性定常系统线性定常系统 定理定理5-1 线性定常系统，渐近稳定的充要条件是线性定常系统，渐近稳定的充要条件是a 的特征值均具有负实部，即的特征值均具有负实部，即 re( i) 0，c 0，对任意，对任意t0和和t t0，有，有 则系统是一致渐近稳定的。则系统是一致渐近稳定的。 )( 0 0 ),( ttc nett 3. 非线性系统非线性系统 设非线性系统的状态方程为设非线性系统的状态

16、方程为 ),(txfx f(x, t)对状态向量对状态向量x有连续的偏导数。设系统的平衡状有连续的偏导数。设系统的平衡状 态为态为xe = 0，则在平衡状态，则在平衡状态xe = 0处可将处可将f(x, t)展成泰勒展成泰勒 级数，则得级数，则得 )(xraxx 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 20 n nnn n n x f x f x f x f x f x f x f x f x f tf 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 t ),( x x a r(x) ： 包含对包含对x的二次及二次以上的高阶导数项。的二次及二次以上的高阶导数项。 取一次近似，可得

17、线性化方程为取一次近似，可得线性化方程为 axx 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 21 定理定理5-3 （1）若线性化方程中的系数矩阵）若线性化方程中的系数矩阵a的特征的特征 值均具有负实部，则系统的平衡状态值均具有负实部，则系统的平衡状态xe是渐近稳定的，是渐近稳定的， 系统的稳定性与被忽略的高阶项系统的稳定性与被忽略的高阶项r(x)无关。无关。 （2）若线性化方程中的系数矩阵）若线性化方程中的系数矩阵a的特征值中，至的特征值中，至 少有一个具有正的实部，则不论高阶导数项少有一个具有正的实部，则不论高阶导数项r(x)情况情况 如何，系统的平衡状态如何，系统的平衡状态x

18、e总是不稳定的。总是不稳定的。 （3）若线性化方程中的系数矩阵）若线性化方程中的系数矩阵a的特征值中，至的特征值中，至 少有一个实部为零，则原非线性系统的稳定性，不能少有一个实部为零，则原非线性系统的稳定性，不能 用线性化方程来判断。系统的稳定性与被忽略的高次用线性化方程来判断。系统的稳定性与被忽略的高次 项有关。若要研究原系统的稳定性，必须分析原非线项有关。若要研究原系统的稳定性，必须分析原非线 性方程。性方程。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 22 5.2.2 二次型函数二次型函数 定义定义:设设x是是n维列向量，称标量函数维列向量，称标量函数 nnnnn n n

19、n x x x ppp ppp ppp xxxv 2 1 21 22221 11211 21 t )(pxxx ji n ji ij xxp 1, 2 2112 2 111 1, )( nnn n ji jiij xpxxpxpxxpv x 为二次型函数，并将为二次型函数，并将p称为二次型的矩阵。该式又可称为二次型的矩阵。该式又可 展开为展开为 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 23 0, 0)( 0, 0)( xx xx v v 称称v(x)为正定的。例如，为正定的。例如，v(x)= x12 + 2 x22 0 。 （2）若）若 称称v(x)为正半定的。例如，为正半定的

20、。例如，v(x)=(x1+ x2)2 0 。 （3）如果）如果 v(x)是正定的，则是正定的，则v(x)称为负定的，即称为负定的，即 0, 0)( 0, 0)( xx xx v v 0, 0)( 0, 0)( xxv xxv 例如，例如，v(x) = (x12 +2 x22) 0； 当当v(x)是负定的，称是负定的，称p是负定的，记为是负定的，记为p 0。这样就可以根据。这样就可以根据 的定号性来的定号性来 判断系统的稳定性。显然，若判断系统的稳定性。显然，若v(x) 0，并且，并且 0。若随系统的运动，。若随系统的运动， 能量在连续地减小，则能量在连续地减小，则 。当能量最终耗尽，。当能量最

21、终耗尽， 此时系统又回到平衡状态。符合渐近稳定的定义，所以此时系统又回到平衡状态。符合渐近稳定的定义，所以 是渐近稳定的。是渐近稳定的。 0),(tv x x1 x2 0 c1 c2 x0 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 34 该定理给出地是渐近稳定的该定理给出地是渐近稳定的充分条件充分条件，即如果，即如果 能找到满足定理条件的能找到满足定理条件的v(x)，则系统一定是渐近稳定，则系统一定是渐近稳定 的。但如果找不到这样的的。但如果找不到这样的v(x)，并不意味着系统是不，并不意味着系统是不 稳定的。稳定的。 该定理本身并没有指明该定理本身并没有指明v(x)的建立方法。

22、一般情的建立方法。一般情 况下，况下，v(x)不是唯一的不是唯一的。许多情况下，李雅普诺夫函。许多情况下，李雅普诺夫函 数可以取为二次型函数，即数可以取为二次型函数，即v(x) = xtpx的形式，其中的形式，其中 p阵的元素可以是时变的，也可以是定常的。但在一阵的元素可以是时变的，也可以是定常的。但在一 般情况下，般情况下，v(x)不一定都是这种简单的二次型的形式不一定都是这种简单的二次型的形式 。 该定理对于线性系统、非线性系统、时变系统该定理对于线性系统、非线性系统、时变系统 及定常系统都是适用的，是一个最基本的稳定性判及定常系统都是适用的，是一个最基本的稳定性判 别定理。别定理。 天下

23、事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 35 解得唯一的平衡点为解得唯一的平衡点为x1 = 0，x2 = 0，即，即xe = 0，为坐，为坐 标原点。标原点。 选取李氏函数为二次型函数，即选取李氏函数为二次型函数，即 v(x) = x12 + x22 显然显然v(x)是正定的。是正定的。v(x)的一阶全导数为的一阶全导数为 解：解： 由平衡点方程得由平衡点方程得 例例5-3 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 试确定其平衡状态的稳定性。试确定其平衡状态的稳定性。 )( )( 2 2 2 1212 2 2 2 1121 xxxxx xxxxx 0)( 0)( 2 2 2 121 2

24、 2 2 112 xxxx xxxx 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 36 22 2 2 122112 2 1 1 )(222)(xxxxxxx x v x x v v x 因此因此 是负定的。又当是负定的。又当x时，有时，有v(x) ， 故由定理故由定理5-4，平衡点，平衡点xe = 0是大范围渐近稳定的。是大范围渐近稳定的。 )(x v 例例5-4 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 试确定其平衡状态的稳定性。试确定其平衡状态的稳定性。 212 21 xxx xx 可知可知xe = 0是唯一的一个平衡状态。选取是唯一的一个平衡状态。选取 解：解： 由平衡点方程得由

25、平衡点方程得 0 0 21 2 xx x 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 37 0222)( 2 222 2 11 xxxxxv x v(x) = x12 + x22 0 （正定）（正定） （负半定（负半定 ） ),(tv x 是负半定的。是负半定的。 ),(txfx 其平衡状态为其平衡状态为xe = 0，如果存在一个具有连续一阶偏导，如果存在一个具有连续一阶偏导 数的标量函数数的标量函数v(x，t)，并且满足条件，并且满足条件 v(x，t)是正定的。是正定的。 定理定理5-5 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 在在x0时不恒等于零，则在平衡点时不恒等于零，则在平衡

26、点xe = 0 处是渐近稳定的。处是渐近稳定的。 ),(tv x 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 38 1) 恒等于零，即恒等于零，即v(x) = x12 + x22 c，表示系，表示系 统的能量是个常数，不会再减小。另外又表示系统的统的能量是个常数，不会再减小。另外又表示系统的 状态状态x距原点的距离也是一个常数，不会再减小而趋距原点的距离也是一个常数，不会再减小而趋 向原点。显然，此时系统一定不是渐近稳定的。非线向原点。显然，此时系统一定不是渐近稳定的。非线 性系统中的极限环便属于这种情况。性系统中的极限环便属于这种情况。 )(x v 以二维状态空间，并且以以二维状

27、态空间，并且以v(x) = x12 + x22为例为例 加以说明。加以说明。 2) 不不恒等于零，恒等于零，即只在某个时刻暂时为零，即只在某个时刻暂时为零， 而其他时刻均为负值。这表示能量的衰减不会终止。而其他时刻均为负值。这表示能量的衰减不会终止。 另一方面也表示状态另一方面也表示状态x到原点的距离的平方也不会停到原点的距离的平方也不会停 留在某一定值留在某一定值v(x) = x12 + x22 = c上，其他时刻这个距上，其他时刻这个距 离的变化率均为负值。因此状态离的变化率均为负值。因此状态x必然要趋向原点，必然要趋向原点， 所以系统一定是渐近稳定的。所以系统一定是渐近稳定的。 )(x

28、v 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 39 例例5-4 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 试确定其平衡状态的稳定性。试确定其平衡状态的稳定性。 212 21 xxx xx v(x) = x12 + x22 0 0222)( 2 222 2 11 xxxxxv x 当当x1=任意值，任意值，x2 = 0时，时， =0，但不会恒等于零。，但不会恒等于零。 按照定理按照定理5-5，系统在，系统在xe=0处是渐近稳定的。又当处是渐近稳定的。又当x 时，时，v(x)，故，故xe=0也是大范围渐近稳定的。也是大范围渐近稳定的。 )(x v )(x v 当当 0时时，x2 = 0，

29、 x1 = 0。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 40 0)(2)()( 2 2 2 122112121 xxxxxxxxxxv x 022)( 2 1 )( 2 2 2 1 2 21 xxxxv x 为验证定理为验证定理5-5的正确性，仍以例的正确性，仍以例5-4加以说明。对加以说明。对 例例5-4，另选李雅普诺夫函数为，另选李雅普诺夫函数为 即是负定的，满足定理即是负定的，满足定理5-4的条件，所以系统在的条件，所以系统在xe = 0 处是渐近稳定的。由此可见，定理处是渐近稳定的。由此可见，定理5-5是正确的。同是正确的。同 时，对于一个给定的系统，判定渐近稳定的李

30、氏函数时，对于一个给定的系统，判定渐近稳定的李氏函数 不是唯一的。不是唯一的。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 41 ),(txfx 其平衡状态为其平衡状态为xe = 0，如果存在一个具有连续一阶偏导，如果存在一个具有连续一阶偏导 数的标量函数数的标量函数v(x，t)，并且满足条件，并且满足条件 v(x，t)是正定的。是正定的。 ),(tv x 是负半定的。是负半定的。 定理定理5-6 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 在在x0时不存在某一时不存在某一x值使值使 恒为零，恒为零， 则系统在平衡点则系统在平衡点xe = 0处是稳定的。处是稳定的。 ),(tv x),(

31、tv x 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 42 解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函 数为下面的二次型函数，即数为下面的二次型函数，即 v(x) = x12 + 4x22 0 例例5-5 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。 12 21 4 xx xx 08882)( 12212211 xxxxxxxxv x 可见，可见， 在任意的在任意的x值上均保持为零。因此，系值上均保持为零。因此，系 统在统在xe = 0处是稳定的，但不是渐近稳定的。处是稳定的，但不是渐近稳定

32、的。 )(x v 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 43 ),(txfx 其平衡状态为其平衡状态为xe = 0，如果存在一个具有连续一阶偏导，如果存在一个具有连续一阶偏导 数的标量函数数的标量函数v(x，t)，并且满足条件，并且满足条件 v(x，t)是正定的。是正定的。 ),(tv x 是正定的。是正定的。 定理定理5-7 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 44 解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函解：显然，原点为系统的平衡状态。选取

33、李氏函 数为下面的二次型函数，即数为下面的二次型函数，即 v(x) = x12 + x22 0 系统在系统在xe = 0处是不稳定的。处是不稳定的。 例例5-6设系统的状态方程为设系统的状态方程为 试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。 212 211 xxx xxx 02222)( 2 2 2 12211 xxxxxxv x 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 45 ),(txfx 其平衡状态为其平衡状态为xe = 0，如果存在一个具有连续一阶偏导，如果存在一个具有连续一阶偏导 数的标量函数数的标量函数v(x，t)，并且满足条件，并且满足条件 v(x，t

34、)是正定的。是正定的。 ),(tv x 是正半定的。是正半定的。 定理定理5-8 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 在在x0时不恒等于零，则系统在原点处的时不恒等于零，则系统在原点处的 平衡状态是不稳定的。平衡状态是不稳定的。 ),(tv x 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 46 解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函 数为下面的二次型函数，即数为下面的二次型函数，即 v(x) = x12 + x22 0 所以系统是不稳定的。所以系统是不稳定的。 例例5-7设系统的状态方程为设系统的状态方程为 试确定系统平衡状态的稳定性

35、。试确定系统平衡状态的稳定性。 212 21 xxx xx 0222)( 2 22211 xxxxxv x )(x v 当当 0时时，x2 = 0， x1 = 0。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 47 53 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性，关利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性，关 键是如何构造一个满足条件的李氏函数，而李氏第键是如何构造一个满足条件的李氏函数，而李氏第 二法本身并没有提供构造李氏函数的一般方法。所二法本身并没有提供构造李氏函数的一般方法。所 以，尽管李雅普诺夫第二法在原理上是简单的，但以，尽管李雅普诺夫第二法在原

36、理上是简单的，但 实际应用并不是一件易事。尤其对复杂的系统更是实际应用并不是一件易事。尤其对复杂的系统更是 如此，需要有相当的经验和技巧。不过，对于线性如此，需要有相当的经验和技巧。不过，对于线性 系统和某些非线性系统，已经找到了一些可行的方系统和某些非线性系统，已经找到了一些可行的方 法来构造李氏函数。法来构造李氏函数。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 48 5.3.1 5.3.1 线性定常连续系统线性定常连续系统 式中，式中，x是是n维状态矢量，维状态矢量，a是是nn常数阵，且是非奇常数阵，且是非奇 异的。在平衡状态异的。在平衡状态xe = 0处，处，渐近稳定的充要

37、条件渐近稳定的充要条件是：是： 对任意给定的一个正定对称矩阵对任意给定的一个正定对称矩阵q，存在一个正定对，存在一个正定对 称矩阵称矩阵p，且满足矩阵方程，且满足矩阵方程 atp + pa = q 而标量函数而标量函数v(x)=xtpx是这个系统的一个二次型形式的是这个系统的一个二次型形式的 李雅普诺夫函数。李雅普诺夫函数。 axx 1. 渐近稳定的判别方法渐近稳定的判别方法 定理定理5-9 线性定常系统线性定常系统 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 49 证明证明 充分性充分性 如果满足上述要求的如果满足上述要求的p存在，则系存在，则系 统在统在xe = 0处是渐近稳定

38、的。处是渐近稳定的。 设设p是存在的，且是存在的，且p是正定的，故选是正定的，故选v(x) = xtpx。 由塞尔维斯特判据知由塞尔维斯特判据知v(x) 0，则，则 xpxpxxpxxx tt )()( t dt d v = (ax)tpx + xtp (ax) = xtatpx + xtp ax = xt (atp + pa)x = xt ( q) x 0 由定理由定理5-4知，系统在知，系统在xe = 0处是渐近稳定的。处是渐近稳定的。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 50 0 t dtee ttaa qp 00 tt tt dtqeedtee tttt aqapa

39、pa aaaa 0 )( t ttqe ed aa qq aa 0 t tt ee 必要性必要性 如果系统在如果系统在xe = 0是渐近稳定的，则是渐近稳定的，则 必存在矩阵必存在矩阵p，满足矩阵方程，满足矩阵方程atp + pa = q。 设合适的矩阵设合适的矩阵p具有下面形式具有下面形式 那么被积函数一定是具有那么被积函数一定是具有t ket形式的诸项之和，其中形式的诸项之和，其中 是矩阵是矩阵a的特征值。因为系统是渐近稳定的，必有的特征值。因为系统是渐近稳定的，必有 re() 0，正定，所以系统在原点处的平衡状态，正定，所以系统在原点处的平衡状态 是渐近稳定的。而系统的李氏函数为是渐近稳

40、定的。而系统的李氏函数为 v(x) = xtpx = 0.5( 3x12 + 2 x1 x2 + 2x22 ) 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 54 5.3.2 线性时变连续系统线性时变连续系统 1 渐近稳定的判别方法渐近稳定的判别方法 定理定理5-10 线性时变连续系统线性时变连续系统 0 )( e t x xa x 在平衡点在平衡点xe = 0处，渐近稳定的充要条件是：对任意处，渐近稳定的充要条件是：对任意 给定的连续对称正定矩阵给定的连续对称正定矩阵q(t)，存在一个连续的对称，存在一个连续的对称 正定矩阵正定矩阵p(t)，使得，使得 并且并且 v(x,t) =

41、xt(t)p(t)x(t)是系统的李氏函数。是系统的李氏函数。 )()()()()()( t ttttttqappap 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 55 证明证明 只证充分性，即如果满足上述要求的只证充分性，即如果满足上述要求的p 存在，则系统在存在，则系统在xe = 0处是渐近稳定的。处是渐近稳定的。 设设p(t)是存在的，且是存在的，且p(t)是正定的，即是正定的，即p(t)0。 故选故选v(x，t)= x(t)tp(t)x(t) 0，（正定的）。又，（正定的）。又 xpxxpxxpxx )()()(),( ttt ttttv )()()()()( tt xax

42、pxpxxpxattttt xapxxpxxpax)()()()()( tttt ttttt xapppax)()()()()( tt ttttt xqx)( t t )()()()()()( t ttttttapppaq 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 56 若是若是q正定对称矩阵，则正定对称矩阵，则 是负定的。由定理是负定的。由定理5-4 知，系统在知，系统在xe = 0处是渐近稳定的。处是渐近稳定的。 证毕证毕 ),(tv x 2. 判断的一般步骤判断的一般步骤 1）确定系统的平衡状态。）确定系统的平衡状态。 2）任选正定对称矩阵）任选正定对称矩阵q(t)，代入矩

43、阵方程，代入矩阵方程 )()()()()()( t ttttttqappap 解出矩阵解出矩阵p(t)。该矩阵方程属于。该矩阵方程属于riccati矩阵微分方程，矩阵微分方程， 其解为其解为 dtttttttt t t 0 ),()(),(),()(),()( t 000 t qpp 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 57 3）判断矩阵）判断矩阵p(t)是否满足连续、对称正定性。是否满足连续、对称正定性。 若满足，则线性时变系统是渐近稳定的，且若满足，则线性时变系统是渐近稳定的，且 v(x,t) = xt(t)p(t)x(t) 同样，为计算方便，可选同样，为计算方便，可选

44、q(t) = q = i，则，则 dtttttttt t t 0 ),(),(),()(),()( t 000 t pp 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 58 5.3.3 线性定常离散系统线性定常离散系统 式中，式中，g是是n n阶常系数非奇异矩阵。系统在平衡点阶常系数非奇异矩阵。系统在平衡点 xe = 0处处渐近稳定的充要条件渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定对是：对任意给定的正定对 称矩阵称矩阵q，存在一个正定对称矩阵，存在一个正定对称矩阵p，且满足如下矩阵，且满足如下矩阵 方程：方程： gtp g p = q 并且并且vx(k)= xt(k)px(k)是这个系

45、统的李雅普诺夫函数。是这个系统的李雅普诺夫函数。 1. 渐近稳定的判别方法渐近稳定的判别方法 定理定理5-11 线性定常离散系统线性定常离散系统 0 )() 1( e kk x gxx 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 59 证明证明 设所选李氏函数为设所选李氏函数为 vx(k)=xt(k)px(k) 因为因为p是正定的实对称矩阵，所以是正定的实对称矩阵，所以vx(k)是正定的。是正定的。 vx(k)= vx(k+1) vx(k) =xt(k+1)px(k+1) xt(k)px(k) = gx(k)tp gx(k) xt(k)px(k) = xt(k)gtpg p x(k

46、) = xt(k) q x(k) 由于由于vx(k)是正定的，根据渐近稳定的条件是正定的，根据渐近稳定的条件 vx(k) 0 q = gtpg p 0，系统渐近稳定的充分条件是，系统渐近稳定的充分条件是q 0。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 60 解：系统平衡点为坐标原点。解：系统平衡点为坐标原点。 取取q = i，则矩阵，则矩阵p由下式确定由下式确定 gtpg p = i p11 (1 1) = 1 p12 (1 1 2 ) = 0 p22 (1 22) = 1 例例5-9 设离散系统的状态方程为设离散系统的状态方程为 试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。试确定系统

47、在平衡点处渐近稳定的条件。 )( 0 0 ) 1( 2 1 kkxx 10 01 0 0 0 0 2221 1211 2 1 2221 1211 2 1 pp pp pp pp 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 61 2 2 2 1 1 1 0 0 1 1 p 要使要使p为正定的实对称矩阵，则要求为正定的实对称矩阵，则要求 1 1 2 0正定时，正定时，q(k)必须是必须是 正定的，才能使正定的，才能使 vx(k), k 0 此时，此时， 为负定的，则系统是渐近稳定的。而为负定的，则系统是渐近稳定的。而 输入输入u= kxtpb是状态变量的线性组合，也正是前面是状态变量的

48、线性组合，也正是前面 介绍的状态反馈。介绍的状态反馈。 )(x v 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 67 uxx 11 例例5-14 设系统的结构图如图所示，对应的微设系统的结构图如图所示，对应的微 分方程为分方程为 显然系统处于临界等幅振荡状态，属于李氏意义显然系统处于临界等幅振荡状态，属于李氏意义 下的稳定系统。若用李氏第二法来决定控制规律下的稳定系统。若用李氏第二法来决定控制规律u(t) ，使系统变为渐近稳定的，如何选取校正方案。，使系统变为渐近稳定的，如何选取校正方案。 解：解： 系统的状态方程为系统的状态方程为 1 s2 u x1 uxx xx 12 21 天

49、下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 68 取标准二次型函数作为李氏函数，即取标准二次型函数作为李氏函数，即 v(x) =x12 + x22 = xtpx p = i uxxxxxv 22211 222)( x 02)( 2 2 kxv x 除平衡点除平衡点xe = 0外，外， 其值均不恒等于零，故系统是渐其值均不恒等于零，故系统是渐 近稳定的。近稳定的。 )(x v 当当u = kx2 k 0 r 1 s u x2 1 s x1 1 s u x2 1 s x1 k 控制规律取自对控制规律取自对x1的速度反馈，用速度反馈来镇的速度反馈，用速度反馈来镇 定控制系统也是工程设计中常

50、用的经典方法。定控制系统也是工程设计中常用的经典方法。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 69 5.5.3 参数最优化设计参数最优化设计 在线性系统中，常常使用各种积分指标来评价系在线性系统中，常常使用各种积分指标来评价系 统的控制品质。如误差绝对值积分（统的控制品质。如误差绝对值积分（iae）指标）指标、误误 差平方积分（差平方积分（ise）指标以及其他二次型积分指标。）指标以及其他二次型积分指标。 用李雅普诺夫方法可以评价这些积分指标。下面考察用李雅普诺夫方法可以评价这些积分指标。下面考察 在二次型积分指标最小意义下，如何利用李雅普诺夫在二次型积分指标最小意义下，如何

51、利用李雅普诺夫 第二法使系统的参数最优。第二法使系统的参数最优。 设线性系统的状态方程为设线性系统的状态方程为 其中系统矩阵其中系统矩阵a( )表示表示a的某些元素依赖于可调参数的某些元素依赖于可调参数 。 参数参数 的选择原则是使二次型积分指标的选择原则是使二次型积分指标 xax)( 0 t tdjxqx 达到最小，其中达到最小，其中q为正定或正半定常数矩阵。为正定或正半定常数矩阵。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 70 由于矩阵由于矩阵a( )所描述的系统应当是渐近稳定的，因所描述的系统应当是渐近稳定的，因 此由指标此由指标j中给定的中给定的q阵，可以通过李雅普诺夫

52、方程阵，可以通过李雅普诺夫方程 at( ) p + pa( ) = q 解出正定的含参数解出正定的含参数 的矩阵的矩阵p( )。也就可以选取李氏。也就可以选取李氏 函数为函数为 v(x) = xtp( ) x xqxx t )( v 00 t 0 )()( t t vdtvdtjxxxqx = xt(0)p( ) x(0) xt( )p( ) x( ) = xt(0)p( ) x(0) = v(x) t=0 这样问题转化为选择什么样的参数这样问题转化为选择什么样的参数 使上式的使上式的j j最小。最小。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 71 0 j 0 j 0 2 2

53、j 或充分必要条件或充分必要条件 解出解出 。 这是函数求极值问题，可由其必要条件这是函数求极值问题，可由其必要条件 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 72 0,)( 0 22 dteej 例例5-16 设控制系统的结构图如图所示，假设系设控制系统的结构图如图所示，假设系 统开始是静止的。试确定阻尼比统开始是静止的。试确定阻尼比 0，使系统在单使系统在单 位阶跃函数位阶跃函数r(t) = 1(t)的作用下，性能指标的作用下，性能指标 达到最小，其中达到最小，其中 为给定的加权系数。为给定的加权系数。 1 s (s + 2 ) r ce 解：解： 列写状态方程列写状态方程

54、选取二阶系统的两个状态变量为选取二阶系统的两个状态变量为 cex crex 2 1 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 73 2 1 2 1 21 10 x x x x 0 1 )0( )0( 2 1 x x dtxxdteej)()( 0 2 2 2 1 0 22 dt x x xx 2 1 0 21 0 01 二次型积分指标二次型积分指标 0 01 q （3）由李雅普诺夫方程求）由李雅普诺夫方程求p( ) 由由atp + pa = q，可解得，可解得 4 1 2 1 2 1 4 1 p 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 74 21 2 2 2 1

55、2 1 t )( 4 1 )(xxxxxv pxxx )0() 4 1 ()( 2 10 xvj t x 0 j （4）写出李雅普诺夫函数）写出李雅普诺夫函数 （5）求）求j的最小值的最小值 令令 ，即，即 因为因为x2(0) = 0，得，得 0 4 1 1 j 2 2 1 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 75 第第5 5章章 小小 结结 一、李雅普诺夫关于稳定性的四个定义一、李雅普诺夫关于稳定性的四个定义 稳定；稳定； 渐近稳定；渐近稳定； 大范围渐近稳定；大范围渐近稳定； 不稳定。不稳定。 x1 x2 xe s( ) s( ) x0 x 天下事有难易乎,为之,则难者

56、亦易 矣;不为,则易者亦难 76 这四个定义全面地概括了古典和现代理论中对这四个定义全面地概括了古典和现代理论中对 系统运动稳定性的描述，使稳定性分析有了一种系统运动稳定性的描述，使稳定性分析有了一种 严格的和统一的理论依据。严格的和统一的理论依据。 它们都是在系统的外部输入为零时它们都是在系统的外部输入为零时 ，即系统的，即系统的 自由运动以及在系统的平衡状态的基础上定义的。自由运动以及在系统的平衡状态的基础上定义的。 要深入理解这四个定义在状态空间中的几何意要深入理解这四个定义在状态空间中的几何意 义，这对于理解这四个定义本身是很有帮助的。义，这对于理解这四个定义本身是很有帮助的。 天下事

57、有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 77 二、李雅普诺夫第二法的五个基本定理二、李雅普诺夫第二法的五个基本定理 1要熟练掌握这五个基本定理的内容。这五要熟练掌握这五个基本定理的内容。这五 个基本定理是：渐近稳定的判别个基本定理是：渐近稳定的判别定理一定理一和定理二；和定理二； 稳定的判别定理；不稳定的判别定理一和定理二。稳定的判别定理；不稳定的判别定理一和定理二。 ),(tv x 2要搞清这五个定理之间的区别。其区别主要要搞清这五个定理之间的区别。其区别主要 集中在对集中在对 的定号性判别上，可以归纳为以的定号性判别上，可以归纳为以 下结论：下结论： 给定系统给定系统 构造构造v

58、函数函数 充分条件充分条件 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 78 0 ),( 1 e t x xf x 0),(txv 不稳定）（且定理五： 定理四： 稳定定理三： ）渐进稳定（且定理二： 定理一： 000 0 0 000 0 x x vv v v vv v 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 79 3 3可以把定理中的李雅普诺夫函数可以把定理中的李雅普诺夫函数v(x，t)看看 作是系统的能量函数，并结合从初始状态作是系统的能量函数，并结合从初始状态x0出发的出发的 系统自由运动的状态轨线的运动情况，则更容易理系统自由运动的状态轨线的运动情况，则更容

59、易理 解定理的内容和实质。解定理的内容和实质。 4 4构造一个满足定理要求的李雅普诺夫函数，构造一个满足定理要求的李雅普诺夫函数， 是李氏第二法的关键。李氏函数具有以下几个突出是李氏第二法的关键。李氏函数具有以下几个突出 的性质：的性质： 李雅普诺夫函数是一个标量函数。李雅普诺夫函数是一个标量函数。 李雅普诺夫函数是一个正定函数。李雅普诺夫函数是一个正定函数。 对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是 唯一的。唯一的。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 80 5 5李氏第二法的这五个基本定理对线性和非线李氏第二法的这五个基本定理对线性和

60、非线 性系统、定常和时变系统都是适用的，但都是充分性系统、定常和时变系统都是适用的，但都是充分 条件，而不是充分必要条件。因此若能找到满足要条件，而不是充分必要条件。因此若能找到满足要 求的李氏函数，则可以得到系统稳定性的确切结论。求的李氏函数，则可以得到系统稳定性的确切结论。 否则，不能做出关于稳定性的任何结论。否则，不能做出关于稳定性的任何结论。 天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难 81 1线性定常连续系统。李雅普诺夫函数可用简单的线性定常连续系统。李雅普诺夫函数可用简单的 二次型函数来构成，即二次型函数来构成，即 vx(t)= xt(t)px(t) atp pa =