相交线与平行线-全章知识点归纳及典型题目练习

1、15相交线与平行线知识点梳理汇总nr、知识结构图余角/余角补角I补角两线相交 对顶角同位角相交线与平行线三线八角 内错角-同旁内角平行线的判定平行线-平行线的性质尺规作图二、基本知识提炼整理（一）余角与补角1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另 一个角的余角。2、 如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一 个角是另 一个角的补角。3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：（1）12

2、90（180）, 13 90（180）,则 23（同角的余角或补角相等）。（2） 12 90（180）, 34 90（180）,且 14,则 23（等角的余角（或补角）相等）。6、余角和补角的性质是证明 两角相等的一个重要方法。（二）对顶角1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。3、对顶角的性质：对顶角相等。4、 对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要 桥梁。5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。（三）同位角、内错角、同旁内角1、两条直线被第三

3、条直线所 截，形成了 8个角。2、 同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一 对角叫做同位角。3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一 对角叫同旁内角。5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。（四）六类角1、 补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。4、对顶角既

4、有 数量关系，又有位置关系。（五）平行线的判定与性质平行线的判定平行线的性质1同位角相等，两直线平行1、两直线平行，同位角相等2、内错角相等，两直线平行2、两直线平行，内错角相等3、同旁内角互补，两直线平行3、两直线平行，冋旁内角互补4、平行于冋一条直线的两直线平行4、经过直线外一点，有且只有一条直线与5、垂直于冋一条直线的两直线平行已知直线平行（六）尺规作线段和角（了解）1在几何里，只用没有刻度的直 尺和圆规作图称为尺规作图。2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。3、尺规作图中直尺的功能是：（1）在两点间连接一条线段；（2）将线段向两方延长。4、尺规作图中圆规的功能是：（1

5、）以任意一点为圆心，任 意长为半 径作一个圆；（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；5、熟练掌握以下作图语言：（1）作射线XX；（2）在射线上截取XX =XX；（3）在射线XX上依次截取XX =XX =XX；（4）以点X为圆 心，XX为半径画弧，交XX于点X;（5）分别以 点X、点X为圆心，以XX、XX为半径作弧，两弧相交于点X;（6） 过点X和点X画直线XX（或画射线XX）；（7）在/XXX的外部（或内部 ）画/XXX =/XXX;6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。（1）画线段XX =xx；（2 ）画 /XXX =Zxxx；

6、第五章 相交线与平行线（分节知识点）占八、：延长BD5.1.1相交线（详见课本第 2页）1、相交线的概念：在同一平面内，如果两条直线只有一个 那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点如图所示，直线 AB与直线CD相交于点0。2、对顶角的概念：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的 线，那么这两个角叫做 对顶角。如图所示，/ 1与/3、/2与/4都是对顶角。3、对顶角的性质： 对顶角 。4、 邻补角的概念：如果把一个角的一边延长，这条反向延长线与这个角的另-边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图所示，/ 1与/2互为邻补角，由平角定义可知/ 1 +/2 = 180 。5.1.

7、2垂线（详见课本第3页）1、垂线的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 角时，就说这两条直线互相 ，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做。2、垂线的性质（1）（垂线公理）性质1:在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有 条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有条直线与已知直线（2）（垂线推理）性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最。3、 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 线段的长度，叫做点到直线的4、垂线的画法（工具：三角板或量角器） 画法指点：一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上,二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,

8、三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。5.1.3 同位角、内错角、同旁内角（详见课本第6页）1、三线八角两条直线被第 条直线所截形成 个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。如图6，直线a,b被直线I所截 / 1与/ 5在截线|的同侧，同在被截直线 a,b的上方，叫做 角（位置相同）同 位角是“ F”型 / 5与/ 3在截线I的两旁（交错），在被截直线a,b之间（内），叫做角（位置在内且交错）内错角是“ Z”型 / 5与/ 4在截线I的同侧，在被截直线 a,b之间（内），叫做角。同旁内角是“I”型2、如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三

9、线” 有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。 如图温馨提示：在确定同位角、内错角、同旁内角时，先要弄清哪E两条直线被哪一条直线所截，然后依据它们的定义，也可由它们的名字的提示，准确 找到所需要的角。同学们要注意：并不是同位角、内错角就相等，同旁内角就互补，而只 有当这两条直线平行时，才会有这个性质。5.2.1平行线（详见课本第11 页）1、 平行线的概念：在同一平面内，不 的两条直线叫做 平行线。2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种： ；2）（通常把的两直线看成一条直线）垂直是特殊的相交关系。判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据

10、它们的公共点的个数来确定:3、平行线的表示方法平行用“ ”表示，如图8所示，直线 AB与直线CD平行，记作 AB /CD ,读作AB平行于CD。4、平行线的画法: 5、平行线的基本性质(1) 平行公理：经过直线 一点，有且只有 条直线与已知直线(2) 平行推理：如果两条直线都和第 条直线平行，那么这两条直线也 如左图8所示5.2.2平行线的判定(详见课本第12页)1、平行线的判定方法：(1) 判定1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称：同位角 ，两直线 (2) 判定2 :两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称：内错角 ，两直线 (3

11、) 判定3:两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称：同旁内角 ，两直线(4) 平行线的概念：如果两条直线没有交点(不 ),那么两直线平行。(5) 两条直线都和第三条直线平行么这两条直线 。(平行于同一条直线的两条直线也)(6) 在同一平面内，如果两条直线同时垂直于迥一条直线，那么这两条直线。(垂直于同一条直线的两条直线 )5.3.1平行线的性质(详见课本第18 页)1、平行线的性质：(1) 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线，同位角 。(2) 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线，内错角 。(3) 两条平行线被第三条直线所截， 同

12、旁内角互补。简记：两直线，同旁内角。2、两条平行线的距离直线AB / CD , EF丄AB于E, EF丄CD于F,则称线段EF的长度为两平行线 AB与CD 间的距离。3、平行线的性质与判定是互逆的关系：CD两直线平行一 同位角相等；两直线平行内错角相等；O两直线平行同旁内角互补。5.3.2命题、定理(详见课本第20页)1、命题的概念： 一件事情的语句，叫做 命题。2、 命题的组成：每个命题都是 、两部分组成。(1)题设是事项；(2)结论是由已知事项的事项。3、 命题的表述句式：命题常写成“ , ”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是 ，用“那么”开始的部分是 。4. 命题的真假

13、：正确的命题称为真命题错误的命题称为假命题。5. 定理：经过推理得到的真命题称为定理。5.4平移(详见课本第 28 页)1、 平移变换的概念：把一个图形 沿某一方向移动，会得到一个新图形的平移变换。2、 平移的特征：大小： ;形状： ; 位置： ; 对应点的连线：且。(1 )经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。(2)经过平移后，对应点所 连的线段平行(或在同一直线上) 且相等。/E5E7DCF 1A中/I与/3为内错角，/ 1=73可得| 13. 平移作图：平移作图的依据是平移的特征，其关键是确定平移后对应点的位置，

14、并且在 作图时要注意平移的方向和距离.【考点例析】、概念型考题主要考察相交线和平行线的定义、性质、定理，常以选择题为主要题型例1 如图1,下列条件中，不能判断直线l 1 /| 2的是()(A)/ 仁/ 3 ( B)Z 2=Z 3 ( C)Z 4=/5(D)Z 2+Z 4=1800分析：本例可用平行线的判定方法采用排除法 使问题得以解决.C中7 4与7 5是两个相等的同位角，可得 l 1 / l 2D中/2与/4是两个互补的同旁内角，可得| j / | 2只有B不能确定.答案：应选（B）.点评：本题主要考察相交线和平行线的定义、性质、定理的理解与运用情况.、计算型考题主要考察平行线的性质；互余、

15、互补角的性质，常以填空题为主要题型;例2.如图2, a / b ,M , N分别在a, b上，P为两平行线间一点，那么123()A. 180B. 270C. 360D. 540分析：此题考查平行线的性质点P为两平行线间折线的拐点， 可过此点作a或b的平行线，并证明与 b或a平行，从而可利用平 行线的性质求解此题也可延长MP与直线b相交，从而可利用三角 形的外角的性质及平行线的性质求解.此类题的解题思路是添加辅助线，构造两平行线间的截线，或构造三角形，再利用有关图形的 性质证明求解.MN解：过点P作PA / a，贝U13180 + 180 =360所以选择Co点评：本题虽然是选择题型，它重点考查

16、学生运用平行线的性质、互余、互补角的性 质等知识通过简单的推理计算来解决问题的.三、说理型考题3，所示的例3小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图 零件，工人师傅告诉他：AB/CD / A=40，/ 1=70。，小明马上运用已学的数学知识得出了/C的度数，聪明的你一定知道/ C= .D分析：本题源于生活实际问题，但考生可借助平行线的性质定理和 三角形内角和定理，由此可获得两种解题思路.解：方法 1：连结 AC,由 AB/ CD 得/ BACf ACD=180，从而/ ECD=180 -40 - （180 -70 ） =30方法2:过E作EF/ AB由平行线的性质定理，得/

17、BAEK AEF，/ DCEK FEC 从而/ DCEK1 - / A=70 -40 =30.点评：本题主要运用了平行线的性质定理和三角形内角和定理，借 助于添加辅助线的方法，将问题转化为可解问题，今后同学们经常会遇 到这种带有“折线”、“拐角”类的题目，解决这类问题，必须要掌握“平移”与“分割” 的思想，解决问题的办法有二： 一要连结线段，构成三角形，然后运用三角形内角和定理; 二是过“拐点”作平行线将一个角分成两个角，然后再运用平行线的性质定理，问题便自 然得到解决，但解本题时，还要注意找准“内错角”，否则容易出错！四、操作画图型例4.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后（如图4），行驶

18、的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）A.第一次向左拐300，第二次向右拐300 B.第一次向右拐500，第二次向左拐1300C.第一次向右拐500，第二次向右拐1300 D. 第一次向左拐50,第二次向左拐1300分析：解决本题的关键是准确地画出示意图，如图10: 30点评：本题单纯从文字方面去分析，很难判断出结果，若画出上述图形来分析，结果 是显然的，本题属于操作画图型中考题.五、开放创新型主要考察学生的探究能力，常以解答题为主要题型.例5.如图5, E在直线 DF上, B在直线 AC上，若/ AGBM EHF / C=Z D,试判断/A与/F的关系，并说明理由.DF/ AC所

19、以需要根据已知条件说分析：从图中可以猜测/ A=/ F,但题目没有告诉 明 DF/ AC解：/ A=/ F.理由：因为/ AGB/ DGF / AGB/ EHF所以/ DGF/ EHF 所以 BD/ CE所以/ C=/ ABD 又/ C=/ D,所以/ D=/ ABD所以 DF/ AC所以/ A=/ F.的点评：例5主要对学生的分析、探究、综合、发散等创新思维能力的考查，学生必须 具有一定的归纳、探索及思考能力才能顺利解决问题.相交线与平行线练习题1. 两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 .2. 两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶

20、点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 .对顶角的性质： 3. 两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互 垂线的性质：过一点一条直线与已知直线垂直 连接直线外一点与直线上各点的所在线段中， .4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 .5. 两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做 ；如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做 ；如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一

21、旁，具有这种关系的一对角叫做.6. 在同一平面内，不相交的两条直线互相 .同一平面内的两条直线的位置关系只有 与 两种 .7. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 .推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么 .8. 平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简单说成:两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成:9. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线 .10. 平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等简单说

22、成： 两 条 平 行 直 线 被 第 三 条 直 线 所 截 ， 内 错 角 相 等 . 简 单 说 成 两 条 平 行 直 线 被 第 三 条 直 线 所 截 ， 同 旁 内 角 互 补 . 简 单 说 成11. 判断一件事情的语句，叫做 命题由和两部分组成题设是已知事项，结论是.命题常可以写成 “如果那么” 的形式，这时“如果”后接的部分是,“那么”后接的部分是 .如果题设成立，那么结论一定成立 像这样的命题叫做 .如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做 .定理都是真命题12. 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称.图形平移的方

23、向不一定是水平的平移的性质:把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点连接各组对应点的线段 .13、下列语句中，是对顶角的语句为（）A. 有公共顶点并且相等的两个角B.两条直线相交，有公共顶点的两个角C.顶点相对的两个角D.两条直线相交，有公共顶点没有公共边的两个角14、下列说法正确的是（）A. 两点之间，直线最短；B. 过一点有一条直线平行于已知直线；C. 和已知直线垂直的直线有且只有一条；D. 在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线15、一束光线垂直照射在水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经

24、过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（A. 45o, B.60o,C. 75o, D. 80o16如图5,能表示点到直线（或线段）距离的线段有（B 3条 C 4条D 5条17如图，BCAC,CB 8cm, AC 6cm, AB 10cm,那么点A到BC的距离是 ，点B到AC的距离是点A、B两点的距离是 ，点C到AB的距离是 -11 -B18如图，已知 AB、CD、EF相交于点 0，AB丄CD，断OD与OE的位置关系，并说明理由.20、如图，下列说法错误的是（）rpB. / 1和/ 5是同位角D.Z 5和/ 6是内错角21、下列图中/ 1和/ 2是同位角的是（）OG 平分/

25、AOE,/ FOD = 28, 求/ COE、/ AOE、/ AOG 的度数.19.如图，AOC与 BOC是邻补角，OD、OE分别是 AOC与 BOC的平分线，试判A. / 1和/ 3是同位角C. / 1和/ 2是同旁内角21、如图，已知 AB / CD / EF , BC / AD , AC 平分/ BAD ,那么图中与/ AGE相等的角有（A.5个 B.4个 C.3个22、如图，已知/ 1 = / B，/ 2=Z C,则下列结论不成立的是（）A.AD / BCB. / B=Z CC. / 2+Z B=180 D.AB / CD23、下列命题正确的是（）A.内错角相等B. 相等的角是对顶角C

26、. 三条直线相交，必产生同位角、内错角、同旁内角-12 -D. 同位角相等，两直线平行20、两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线（）A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.无法确定6、如图， DH / EG / EF，且中和/ 1相等的角的个数是（A. 2,B.4,DC / EF，那么图 )C. 5,D./ BAE = 120o，/ DCE = 30o , 度.7、如图，AB / CD ,则/ AEC = 8、把一张长方形纸条按图中，那样折叠后，若得到/ AOB = 70o, 则/ OGC = .9、如图中/ DAB和/ B是直线 DE和BC被直线称它们为角.所截而成的,b、c为平面上

27、三条不同直线,17.设 a、a)若a/b,b/c，则a与c的位置关系是b)若a b,b c，则a与c的位置关系是若a/b , b c,贝U a与c的位置关系是7,下列不能判定 FB/ CE的条件是（）(B)(D)18. 如图(A) / F+/ B=180 ( B)/ ABF/ C ( C)/ F=/ C ( D)/ A=/D19. 如图(A)/1C8,下列各式是正确的是 与Z4是同位角与Z4是同位角）/I与/3是同位角Z2与/3是同位角(C)/2图9则/ A=度.B图1021. 如图10, AB/ CD直线EF分别交 ABCD于点E、F, EG平分/ BEF交CD于点 G / 1=50 ,求/

28、2的度数.22. 如图 11,直线 a/ b,则/ ACB =.23*如图，AB / DE,试问/ B、/ E、/ BCE有什么关系.解：/ B+Z E =Z BCE过点C作CF / AB,则 B (又 AB/ DE , AB / CF,二 (Z E =Z (Z B +Z E = Z 1 + Z 2即Z B +Z E = Z BCE .24.如图，已知Z 1 = Z 2 求证：a/ b.直线a/b，求证： 12 .25. 阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知 AB/ CD , Z 1 = Z 2,试说明 EP / FQ.AD证明： AB / CD ,/ MEB =Z MFD (又/ 1 =

29、Z 2,/ MEB -Z 1 = Z MFD -Z 2,即 Z MEP =Z EP/.()26已知 DB / FG / EC, A 是 FG 上一点，Z ABD = 60, Z ACE = 36, AP 平分Z BAC , 求：Z BAC的大小；Z PAG的大小.S27* 如图，已知 ABC , AD BC 于 D, E 为 AB 上一点，EF BC 于 F, DG/BA交CA于G.求证 12.28已知：如图Z仁Z 2, Z C= Z D，问Z A与Z F相等吗？试说明理由.B C29.如图 4,已知 AB/ CD / B=Z DCE求证：CD平分/ BCE30.如图 5,已知：/ ABC=Z

30、 CDA求证：BE/ DF.DE平分/ CDA BF 平分/ ABC 且/ AED=Z CDE 求证：DE/ FBAER图531.如图 10,已知 ABLBC / 1+/ 2=90,/ 2=Z 3.32.如图 11,已知 AB/ CD / AM=150,Z PND=60求证：MPLPN33.已知：如图12, ADLBC于D, EF丄BC于F,交AB于G,交CA延长线于E,/ 1=/2.求证：AD平分/ BAC填写分析和证明中的空白.EC,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路36. ( 1)如图，若 AB/ DE, / B=135,/(2)在AB/ DE的条件下，你能得出/D=145,你能求出/

31、 C的度数吗？B / C、/ D之间的数量关系吗？并说明理由.DEB = 180,/ 1 = / 2,求证：/ F = / G.35.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第 次拐的角B是150,第三次拐的角是/ 平行，问/ C是多少度？说明你的理由.37.如图 13, AB / CD, / NCM=90 , / NCB=35 , CM 平分/ BCE，求/ B 的大小.CDF20. (1 )题匸20. (2)f38.已知：AB/CD ,(1) 试探索(1)图中/ APC ,Z PAB，/ PCD的关系，并证明你的结论。(2) 在图(2)中，这个结论还成立吗？如果不成立，它们应该满足怎样的关系？(不用 证明)39. ( 1)作直线AB与CD相交；(2)在直线上取一点 C; ( 3)相交的角是对顶角；(4) 偶数是2.在以上各语句中，是命题的为()A . (1) ( 3)B . (3) (4)C . (1) (3) (4) D . (1) (2) ( 3)40. 命题：对顶角相等；垂直于同一条直线的两直线平行；相