指数函数的概念（经典实用）

1、4.2.1 指数函数的概念 指数函数的概念 目标与素养目标与素养： 指数函数的概念 问题探究问题探究 问题问题1 1： 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅 游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断 增加，A A,B B两地景区自20012001年起采取了不同的应对措施，A A 地地提高了景区门票价格提高了景区门票价格，而B B地则地则取消了景区门票取消了景区门票.下表给 出了A A,B B两地景区20012001年至20152015年的游客人次统计情况： 指数函数的概念 时间/年 A地景区B地景区 人次/万次年增加量/万次 人次/万次年增加量/万次 2001600278

2、2002609309 2003620344 2004631383 2005641427 2006650475 2007661528 2008671588 2009681655 2010691729 2011702811 2012711903 20137211005 20147321118 20157431244 这是15年间，两地景区游客游客人次人次 统计统计情况。情况。 请同学们观察表格中的数据，你 发现了怎样的变化规律？ 指数函数的概念 时间/年 A地景区B地景区 人次/万次年增加量/万次 人次/万次年增加量/万次 2001600278 2002609930931 200362011344

3、35 20046311138339 20056411042744 2006650947548 20076611152853 20086711058860 20096811065567 20106911072974 20117021181182 2012711990392 2013721101005102 2014732111118113 2015743111244126 这是15年间，两地景区游客人次游客人次 的变化情况 请同学们观察表格中的数据，你 发现了怎样的变化规律？ 指数函数的概念 时间/年 A地景区B地景区 人次/万次年增加量/万次人次/万次年增加量/万次 2001600278 20

4、026099309 200362011344 200463111383 200564110427 20066509475 200766111528 200867110588 200968110655 201069110729 201170211811 20127119903 2013721101005 2014732111118 2015743111244 指数函数的概念 通过观察发现，A地区的游客人次: 定性描述：定性描述： 近似于直线上升（线性增长线性增长）。 定量表达：定量表达： A数据-做差运算做差运算-年增加年增加量量（常数）-线性增长线性增长-一次函数一次函数 y=600+10 x

5、,x0,+) 指数函数的概念 定性描述：定性描述： B 景区的游客人次则是-非线性增长非线性增长，那么，你能不能类比对 数据A的研究方法，找到一个揭示它们之间不变关系的量，进而对其进 行定量刻画呢？大家有什么想法？ 定量表达：？定量表达：？ 指数函数的概念 指数函数的概念 从2002年起,将B景点每年的游客人次除以上一年的游客人次,可得： . 1.11 1.11 1.11 指数函数的概念 探究结论探究结论: : (1) (1) B B景区的游客人次的年增长率年增长率都约为0.110.11. (2)(2) 增长率为常数的变化方式，我们称为指数指数增长。 B B景区的游客人次近似于指数指数增长 B

6、 B景区：从2001年开始，B景区游客人次的变化规律可以近似的描述为 1年后，游客人次是2001年的1.11倍； 2年后，游客人次是2001年的1.11倍； 3年后，游客人次是2001年的1.11倍； 设经过x年后的游客人次是2001年的y倍，则 y=1.11x,x0,+).这是一个函数,其中指数x是自变量. y=(1+0.11)x，x0，+） 指数函数的概念 定性描述：定性描述： B B 景区的游客人次-非线性增长非线性增长，年增长量年增长量越来越大， 定量表达：定量表达： B B 数据-做商运算做商运算-年增长率年增长率（常数）-指数增长指数增长-新函数 y=1.11x，x0,+） 指数函

7、数的概念 A数据-做差做差运算-年增加量年增加量（常数）-线性增长线性增长-一次函数 y=600+10 x，x0,+) B数据-做商做商运算-年增长率年增长率（常数）-指数增长指数增长-新函数新函数 y=1.11x，x0,+) 指数函数的概念 良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚镇，1936年首次发现这里的巨型城址，面 积近300万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑考古学家测定，古城存在时期 为公元前3300年前2500年你知道考古学家是怎么测出这个时间的吗？ 碳碳14检测法检测法 指数函数的概念 问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳1414会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约大约 每经

8、过每经过57305730年衰减为原来的一半年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体 内碳碳1414含量含量与死亡年数死亡年数之间有怎样的关系？ 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率年衰减率为p，我们把刚死亡生物体内碳14含量看成1个单 位，那么 死亡1年后， 生物体内碳14的含量为1-1p=1-p； 死亡2年后， 生物体内碳14的含量为(1-p)-(1-p)p=(1-p)； 死亡3年后， 生物体内碳14的含量为(1-p)-(1-p)p=(1-p)； 死亡5730年后， 生物体内碳14的含量为(1- -p)5730 ； 死亡x年后， 生物体内碳14的含量为(1- -p)

9、x y=(1- -p)x ，x0,+） 指数函数的概念 根据已知, 所以 （常数） 设生物死亡年数为x,死亡生物体内碳14含量为y，则 57301 11 2 p 11 57305730 11 1110 22 x x x ypx ， 即 这也是一个函数,指数x是自变量.碳14每年以 的衰减率衰减. 像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减。 指数函数的概念 细胞分裂y=2x，xN* 指数函数的概念 庄子庄子天下篇天下篇中写道中写道：“一尺之棰，日取之半，万世不竭一尺之棰，日取之半，万世不竭” 指数函数的概念 把一张纸对折把一张纸对折 一张一张纸很普通？科学家纸很普通？科学家：如果将：如果

10、将它对折它对折103次次 超出宇宙的可观测直径超出宇宙的可观测直径930亿光年亿光年 指数函数的概念 总结：总结： （1）y=1.11x，x0,+) （2） （3）y=2x，N* y=ax 指数x是自变量 指数函数的概念 指指 数数 函函 数数 的的 概概 念：念： 一般地，函数y=ax (a0且a1)叫做指数函数指数函数，其中指数指数x是自变量， 定义域是R. 指数函数的概念 典例探究： 典例1： 判断下列函数那些是指数函数？ y=-2x； y=(-2)x ； y=(2)-x； y=2x- -1； y=2x (x0)； y=(m- -1)x (m1,m2的常数) ； y=x2； y=2x +

11、1； y=32x； 答：是指数函数，其余都不是. 指数函数的概念 典例2： 已知指数函数f(x)= ax ( (a00，且a1) 1) ，且f(3)=， 求： f (0)(0)，f (1)(1)，f (-3)(-3)值. 1 3 a 解： f(x)= ax ，且 f(3)=， 则 a3= ， 解得 3 x f x 1 013 3 1 0113，fff 方法总结：待定系数法确定指数函数解析式 指数函数的概念 典例3（1）如果平均每位游客出游一次可给当地带来10001000元门票之外的收入， A A地景区的门票价格为150150元，比较这1515年间A A，B B两地旅游收入变化情况. 解：设经过

12、x年，游客给A、B两地带来的收入分别为f(x)，g(x)，则 g(x)=10002781.11x 指数函数的概念 利用计算工具可以算出： 当x=0时，f(0)- -g(0)=412 000. 当当x10.22时，时，f(10.22)g(10.22). 结合右图可知： 当x10.22时，f(x)g(x). 当xg(x). 当x=14时，g(14)- -f (14)347 303. 指数函数的概念 答： （1）2001年，游客给A地带来的收入高于B地412000万元； （2）2001后的10年，f(x)g(x)，游客给A地带来的收入仍高于B地，但g(x)比f(x)增 长的速度快，大约2011年2月

13、某个时刻就有f(x)=g(x)了，这时游客给A地带来的收入 和B地差不多； （3）10年后，f(x)0，且a1)的函数是刻画指数增 长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型. 指数函数的概念 课堂练习: 1.函数y=(2a-3)ax是指数函数,则f(1)=（ ） 答案：D 2.已知函数f（x）=(2a-1)x是指数函数，则a的取值范围是_ 指数函数的概念 3.随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区的农民人均年 收入为3000元，预计该地区今后的农民的人均年收入将以6%的平均 增长率增加，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为（ ） 答案：B 指数函数的概念 4.调查表明：酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶 员在驾驶机动车时，血液中的酒精含量不得超过0.2mg/ml,如果某人喝了 少量酒后,血液中的酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml,在停止喝酒后,血液 中的酒精含量将以每小时50%的速度减少,则他至少经过多少小时后才可以 驾驶机动车? 解: 设经过x个小时后才可以驾驶机动车,由题意得, 指数函数的概念 反思小结：同学们，这节