2019-2020学年山西省阳泉市高三(上)期末数学试卷(理科)

1、2019-2020 学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷 （理科）一、选择题（本大题共13 小题，共 65.0 分）1.设集合2?- 6 0 ，?= ?|?- 1 0) 的图象向右平移3 个单位长度后与原图象重合，则的最小值是 ()?2343A. 3B. 2C. 3D. 46. 宋元时期数学名著 算学启蒙 中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的ab分别为5 2，则输出的 ?= ( )，A. 5B. 4C. 3D. 2第1页，共 16页3? ?7.? -? 在 -2,的图象大致为 ( )函数 ?(?)= |?|

2、+?2A.B.C.D.8. 在 ?中， ?=7， ?= 2， ?= 4 ， D 是线段 BC 上一点，且 ?= 4?，3则 ? 是 ( )?A. -8B. 842D.42C.- 559. 在 ?中， ?= 120 ， ?= 2 ，?= 4 ， D 是边 BC 上一点， ?= 2?，则 ?是( )A.8B. -8C.32D. -323310. 记 ?12114，则 ()A.为等差数列 ? 的前 n 项和已知 ? + ? = 0，? = 98?B.?= -?+11? = -2? + 222D. ?= -122 ? + 14?C. ? = ? - 7?2 211. 设 P 是双曲线 ? - ? =

3、1(? 0, ? 0) 上的点， ?、?是焦点，双曲线的离心率是2 212? ?4，且 ?的面积是7，则 ?+ ?是()31?=290 ， ?12A. 3+7B. 9+7C. 10D. 1612. 如图，在直角梯形 SABC 中， ?= ?= 90，过点 A 作 ?交 SC 于点D，以 AD 为折痕把 ?折起，当几何体 ?- ?的的体积最大时，则下列命题中正确的个数是 ( ) ? ? ?/平面 SCD ?与平面 SBD 所成的角等于 SC与平面 SBD 所成的角 ?与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角第2页，共 16页A. 4B. 3C. 2D. 113.?-?2) 在 ?3,4

4、上有解，则实已知 ?(?)= ?(?-? ) ，若不等式 ?(?-1) ?(?-数 a 的取值范围是 ()A.C.2(- ,0) ( 3 ,+)13(- ,- 4) ( 4 ,+)B.D.12(- ,- 4) ( 3 , +)3(- ,0) ( 4 , +)二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）14.15.16.已知曲线 ?= ?在点(?0 ,?0) 处的切线与直线 ?+ 2?+ 1= 0 垂直，则?0 = _若 (?+?6230，则 ?= _2 )(1 + ?) 展开式中 ? 的系数为?2= 12?的焦点，M 是 C 上一点， FM的延长线交 y 轴于点 ?若.已知 F 是抛物线 C

5、：? ? ，则 |?|= _?= 2?17.?12?2?已知数列 ? 满足 ? + 3? + ? + (2?-1)?= 2?，数列 ? 的前 n 项和 ? = ? +?2?，则数列 ?的前 n 项和 ? = _ ?三、解答题（本大题共7 小题，共 82.0 分）18. 在 ?中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ?= (2?-?)?(1) 求 B；(2) 若?= 5，且 AC 边上的中线长为3，求 ?的面积19. 如图，在四棱锥 ?- ?中，底面 ABCD 为矩形， 2?= ?，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ， E 是 PD 的中点(1) 在棱 BC 上取一点 F

6、 使直线 ?/平面 PAB 并证明；(2) 在(1) 的条件下，当 PF 上存在一点 M，使得直线 CM与底面 ABCD 所成角为 45?的时，求二面角 ?- ?-余弦值第3页，共 16页22?，?，离心率，P 为20. 已知椭圆 ?：?+?= 1(? ? 0)的两个焦点分别是?=322122?椭圆上任意一点，且?的面积最大值为312(1) 求椭圆 C 的方程22(2) 过焦点 ?的直线 l 与圆 O： ? + ? = 1相切于点Q，交椭圆 G 于 A，B 两点，证1明： |?|= |?.121. 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”

7、、 “不合格”两个等级， 同时对相应等级进行量化： “合格”记 5 分，“不合格”记 0 分现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：等级不合格合格得分20,40)40,60)60,80)80,100频数6a24b( ) 求 a， b， c 的值；( ) 用分层抽样的方法， 从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈现再从这10 人这任选4 人，记所选4 人的量化总分为 ?，求 ?的分布列及数学期望 ?(?)；( ) 某评估机构以指标?(?)?(?)?)来评估该校安全教育活?(? =，其中表示 的方差?(?)动的成效若 ? 0.7，则认定教育活动是有

8、效的；否则认定教育活动五校，应调整安全教育方案在 ( )的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？222. 已知函数 ?(?)=2? -1? - ?(?)(1) 讨论 ?(?)的单调性；第4页，共 16页?(2) 设?(?)= ? - ?，若?(?) = ?(?)(?(?)- 2?)且?= ?(?)有两个零点，求 a 的取值范围23. 在直角坐标系?= 2 + 2?xOy 中，曲线 ?1的参数方程为 (?为参数 ) ，以原点 O?= 2?为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线?的极坐标方程为 ?= 4?2的普通方程和 ?的直角坐标方程；( ) 求曲线 ?21的极坐标方程为?= ?，

9、0 ? ?，?，点 A 是曲线 ?与?的( ) 已知曲线 ?331交点，点B 是曲线 ?3与 ?2的交点，且A， B 均异于原点O，且 |?|= 4 2 ，求实数?的值24. 已知 ?(?)= |2?+ 2| + |?- 1| 的最小值为 t(1)求 t 的值；(2)若实数 a，b 满足221+42 的最小值2? + 2? = ?，求 2?第5页，共 16页答案和解析1.【答案】 B26 0 = ?|- 2 ? 3，【解析】 解： 集合 ?= ?|?- ?-?= ?|?- 1 0= ?|? 1 ，?= ?|-2 ? 1 = (-2,1)故选： B求出集合A， B，由此能求出?本题考查交集的求法

10、，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】 C【解析】 解：由 ?(1+ ?)= 2?，得 ?=2?2?(1-?)1+? =(1+?)(1-?) = 1 + ?，-?= 1 - ?故选： C把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3.【答案】 C【解析】 解：令?(?)=|?|= ?, 1，-?,0 ? 1?(?)在 (0,1) 上单调递减，在 (1, +)上单调递增，且 ?(1) =0 ，方程 |?|=?有两个不等的实根和 ?，不妨设 ?，则0 ?，?121 ?2114-2=2，? + ? = (?

11、 + ?)1212121?1故选： C利用 ?=|?|的单调性判断 ?， ?的范围，根据对数的运算性质得出?= 1 ，再利用121?2基本不等式即可得出答案本题考查了对数函数的图象与性质，对数的运算性质和基本不等式的应用，属于中档题4.【答案】 D【解析】 解：由题意可得： 51000.126 -5000 0.125 = 642.6 - 625 = 17.6 ，所以对该车在两次记录时间段内行驶100 公里的耗电量估计为17.6 ，故选： D根据累计耗电量的计算公式，即可求解本题主要考查了函数模型的应用，是基础题5.【答案】 B【解析】 解：函数 ?(?)= ?(?+?的图象向右平移4?3) +

12、 ?(? 0)个单位长度后与3原图象重合整理得 ?+?4?43 = ?(?+3 ) +3 + 2?(?)，整理得3?= -2?(?)，第6页，共 16页3当 ?= -1 时，解得 ?= 2故选： B直接利用函数的关系式的平移变换的应用和函数的关系式的应用求出结果本题考查的知识要点： 三角函数的图象的平移变换和关系式的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型6.【答案】 B【解析】 【分析】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答由已知中的程序框图可知： 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值， 模拟程序的运行过程，分

13、析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当 ?= 1 时， ?= 15 ， ?= 4 ，满足进行循环的条件，245当 ?= 2时， ?= 4 ， ?= 8 满足进行循环的条件，当 ?= 3时， ?= 135 ， ?= 16满足进行循环的条件，8405当 ?= 4时， ?= 16 ， ?= 32不满足进行循环的条件，故输出的n 值为 4，故选： B7.【答案】 C(-?)3-(-?)3= -? -?【解析】 解： ?(-?) = -?(?)，|-?|+ cos(-?)|?|+?故 ?(?)在定义域上为奇函数，其图象关于原点对称，故排除BD ；?且 ?(1)= 0，而 2 1.57，则 2

14、 - 1 0 ，3?9 coscos第7页，共 16页3解得 ?= 4 ，且 ?= 2， ?= 4，?1?+4?=(5? ?)?(? ?-)5124? 23 ?= -?+? ?-5?5546433= - 5+5 - 5244= 425故选： D可画出图形，根据?= 4?即可得出 ?= 45 ?，进而得出 ?= 15 ?+ 45 ?，而根据73?1?4? ?= 即可求出 ?=，然后根据4?= (5?+5?)?(?- ?)进行数量积3的运算即可本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，弦化切公式和 sin 2 ?+ cos2 ?= 1 的运用，考查了计算能力，属于基础题

15、9.【答案】 C【解析】 解：根据题意，在?中， ?=120，?= 2，?= 4 ，则? ?=2 4 ?120= -4 ；又由 D 是边 BC 上一点， ?= 2?，则 ? 1?2 ?，=+?33?又由 ?，?= ?-则 ?1 ? 2 ?= (3 ?+ 3 ?)?(?-?)2?2121 ?=? ?-3?-?3332=3 ；故选： C根据题意， 由平面向量基本定理可得?=? 1 ?+ 2 ?和?= ?- ?，进而由数量积33的计算公式计算可得答案本题考查向量数量积的计算，涉及平面向量基本定理，属于基础题10.【答案】 B【解析】 解： ? + ?= 0，? = 98，121142? + 20?=

16、 0所以 1，14? + 91?= 98解可得， ?=-2 ，?1 = 20，故 ?= 20-2(?-1) = 22 - 2?=1220?+ 2 ?(?-1) (-2) = 21?- ?故选： B结合等差数列的通项公式及求和公式可求公差 d 及首项， 然后结合等差数列的通项公式即可求解第8页，共 16页本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题11.【答案】 A【解析】 解：由题意，不妨设点P 是右支上的一点，|?1 = ?，|?2= ?，则12 ?= 7?- ?=2?，222? + ?= 4?4=3 ?= 3 ， ?= 4?= ?2 - ?2 = 7?+ ?= 3 +

17、 7故选： A47根据双曲线的离心率是，且 ?的面积为，结合双曲线的定义，31?=290 ，若 ?12构建方程组，即可求得几何量，从而求出?+ ?的值本题以双曲线的性质为载体，考查双曲线的标准方程，解题的关键是利用焦点三角形，利用双曲线的定义构建方程组12.【答案】 A【解析】 解：当几何体 ?- ?的的体积最大时， 平面 ?平面 ABCD 由已知 ?，?，四边形 ABCD 为正方形 可得 ? 底面 ABCD 由上述可得： ?，?，?= ?，?平面 SBD， ?，正确 ?/?， ? 平面 SCD，? 平面 SCD，?/平面SCD，正确； ?与平面 SBD 所成的角为 ?，SC 与平面 SBD

18、所成的角为 ?，? ?， ?=tantan?可得： ?= ?，正确， ?与 SC 所成的角等于DC 与 SA 所成的角，正确 ?/?综上可得：正确的有故选： A当几何体 ?- ?的的体积最大时， 平面 ?平面 ?由已.知 ?，?，四边形 ABCD 为正方形可得 ?底面 ?利用.正方形的性质、异面直线所成的角、线面平行的判定定理等基础知识即可判断出正误本题考查了正方形的性质、异面直线所成的角、线面平行的判定定理、面面垂直的判定性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13.【答案】 A-?-?【解析】 解：由 ?(-?) = -?(? -?) = ?(?-? ) = ?(

19、?)，定义域为 R，所以 ?(?)为偶函数，?-?-? 0时， ? (?)= ? -?+ ?(?+ ? ) 0， ?(?)在(0, +)递增，不等式 ?(?-1) ?(?- 2) 在 ?3,4上有解，|?- 1| |?-2| = ?- 2，在 ?3,4上有解，即 ?- 1 ?-2 或者 ?-1 1-13或者 ?32或者 ? |?- 2| = ?- 2，在 ?3,4上有解，参数分离，求出a 的范围考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，考查绝对值不等式的解法，中档题14.【答案】 e【解析】 解：由 ?= ?，得?= ?+ 1，? |?=? = ?0+ 1，0由曲线 ?= ?在点(?, ?) 处的

20、切线与直线?+ 2?+ 1 = 0垂直，00得 ?+ 1 = 2 ，即 ? = ?00故答案为： e求出原函数的导函数，得到函数在切点处的导数值，结合题意列式得答案本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题15.【答案】 1【解析】解：若 (?+?6?2 )(1+?)=(?+ 2)(1?2的系数为 15?+ 15?=30 ，展开式中 ?则 ?= 1，故答案为： 123456+ 6?+ 15? + 20? + 15? + 6? + ?)的6?62的系数，再根据(?+把 (1 + ?) 按照二项式定理展开，可得(?+ 2 )(1 +?)展开式中 ?6230，求得 a 的值2 )(1的系

21、数为+ ?) 展开式中 ?本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题16.【答案】 62【解析】 解：抛物线 C：? = 12?的焦点 ?(3,0)， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N ?，= 2?若 M 为 FN 的一个三等分点，可知 M 的横坐标为：1，则 ?= 4 ，? 1 则 ?= 3 ，则 |?|= 4 + 2 = 6，故答案为： 6求出抛物线的焦点坐标，推出 M 坐标，然后求解即可本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力2?17.【答案】 2?+1【解析】解：前 n 项和 ?2?= ?= 3 ?2? = ?-?= 2?+ 1?= ? + 2

22、?，可得，11，时?-1则 ?= 2?+ 1(?) ；? + 3? + ? + (2?-1)? = 2?，可得 ? = 2 ；? 2时，? + 3? + ? + (2?- 3)?=12?112?-1第10 页，共 16页2?-2 ，又 ?+ 3? + ? + (2?- 1)? = 2?，相减可得 (2?-1)? = 2，即有 ?=2 ，对?= 112?2?-1也成立，?=2=1-1则 ?(2?-1)(2?+1)2?-1，?2?+1?可得?= 1 -1 +1-1+ ?+1-1= 1 -1=2? 3352?-12?+12?+12?+1故答案为：2? 2?+1运用数列的递推式可得?， ?，再由数列的

23、裂项相消求和，可得所求和?本题考查数列的递推式的运用，数列的裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题18.【答案】 解： (1) ?= (2?-?)?，?+ ?= 2?，可得 (?+ ?)= ?= 2?， sin?01?= 2，?(0, ?)，?= 3 (2) 由?= 5 ，得|?= |?-?= 5， ，?| =由 AC 边上的中线长为?， ；3，得 |? ?+| = 6由 组成方程组，解得?9? ?=，49|?|?= 2，?的面积为1?19393?= 2 |?|?sin 3 = 2 2 2 =8【解析】 (1) 利用两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式，1结合 ?0.可

24、得 ?= 2，结合范围 ?(0, ?)，可求 B 的值?，由 AC? ?(2) 由题意可得 |?= |?-?|= ?= 5边上的中线长为 3，得|?+ ?|= 6，利用平面向量数量积的运算可求解得?9? ?9?=4，可求 |? ?，进而根据三角| ?|?=2形的面积公式即可求解本题考查了正弦定理， 平面向量的运算， 考查了解三角形和平面向量的数量积运算问题，考查了计算能力和转化思想，是综合性题目19.【答案】 解： (1) 取 BC 中点 F，连结EF ，则直线 ?/平面 PAB证明如下：取 AD 中点 G，连结 GF、 EG，?是 PD 的中点，?/?，?/?，?= ?， ?= ?，平面 ?

25、/平面 EGF ，? 平面 EGF ，直线 ?/平面 PAB(2) 在四棱锥 ?- ?中，底面 ABCD为矩形， 2?= ?，第11 页，共 16页侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ， E 是 PD 的中点，?、 GF 、 GD 两两垂直，以G 为原点，建立空间直角坐标系，如图，设 2?= ?= 2 ，则 ?(0,0，3) ， ?(1,0， 0) ，?(1,1，0) ， ?(0,1， 0) ，?(0,-1,0) ，设 ?(?,b， ?)，?= ?，0 ? 1 ，则 (?,b， ?- 3) = (?， 0， - 3?)，?= ?， ?= 0 ，?= 3-，3 -，3? ?(?,0,

26、3?)平面 ABCD 的法向量 ?=(0,0，1) ，?，?= (?- 1, -1, 3 - 3?)?直线 CM 与底面 ABCD 所成角为 45时，?|3- 3?|?|=?45= 22 ，|?|?|?|(?-1)+1+(3-3?)由 ?0,1，解得 ?= 1 -226，2 . ?(1 -0，2 )2 ,?0?26，?=(-2, -1,2 )，= (1,，0)设平面 CDM 的法向量 ? =(?,y， ?)，? ?= ?= 0则 2?-?+6? ?= -22，取 ?= 1，得 ? = (0,6,1) ，?= 02设二面角 ? - ?- ?的平面角为 ?，|? ?|110则 ?= |? |?|?

27、|?=10 =5 4二面角 ? - ?- ?的余弦值为 10 5【解析】 (1) 取 BC 中点 F，连结 EF ，取 AD 中点 G，连结 GF、 EG，推导出 ?/?，?/?，从而平面 ?/平面 EGF，由此能证明直线?/平面 PAB(2)?、 GF、GD 两两垂直，以 G 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 ?- ?- ?的余弦值本题考查满足线面平等的点的位置的判断与证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题【答案】 解： (1)由椭圆性质知，?3，?= ?=220.12 2?= 3，解得 ?= 2， ?=3， ?= 1，2所以椭圆 C 的方程为?24+?=1；(2) 证明：由 (1) 可得