2019春广东省湛江市高二(下)期末数学试卷(理科)

1、2019 春广东省湛江市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.已知 R 为实数集，集合 A= x|x2-4x-5 0 ，则 ?RA=（）A.B.C.D.2.已知 i 是虚数单位，设2+ai=（ a、 b 为实数），则a+bi 在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在等差数列 an 中，若 a6+a8+a10=72，则2a10-a12 的值为（）A.6B. 16C.24D. 604.已知向量=（- ，），=（， ），则 ABC=（）A.B.C.D.5.已知 a=log 30.3， b=3 0.3， c=0

2、.33，则（）A.B.C.D.6.下列命题中正确的是（）A. 若直线 l上有无数个点不在平面内 ,则B. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行C. 若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行D. 垂直于同一个平面的两条直线互相平行7.曲线=1 与曲线=1（ k 9）的（）A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等8.已知曲线y=aex+xlnx在点（1aey=2x+b）， ）处的切线方程为，则（A.,B.,C.,D.,9.已知抛物线的焦点为，准线为.的若 与双曲线两条渐近线分别交于点A 和点 B，且（ 为原点），则双曲线的离心率为( )

3、A.B.C. 2D.10. 4 名同学参加 3 项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（）A.B.C.D.11. 我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么 cos2的值等于（）A.B.C.D.12. 已知正方体 ABCD -A1B1C1D 1 的棱长为 1，则与平面 A1C1B 平行的平面 截此正方体所得截面面积的最大值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.在各项均为正数的等比数列 an

4、 中，若 log 2a2+log 2a8=1 ，则 a3?a7=_ 第1页，共 12页14. （ 2x- ） 8 的展开式中的常数项为 _15. 已知 f （ x）是奇函数，且当 x 0 时， f（ x） =-eax若 f（ ln2） =8 ，则 a=_16. 所有真约数 (除本身之外的正约数 )的和等于它本身的正整数叫做完全数 (也称为完备数、完美数 )如： 6 1 23；28 1 2 4 714； 496 1 2 4 8163162 124248此外，它们都可以表示为2 的一些连续正整数次幂之和如6 21 22，28 22 23 24， ，按此规律， 8128 可表示为 _三、解答题（本大

5、题共6 小题，共70.0 分）17.设 p：“方程 x2+y2=a+4 表示圆 ”，q：“方程=1 表示焦点在x 轴上的双曲线 ”，如果 “pq”是假命题且 “pq”是真命题，求实数a 的取值范围ABC的内角ABC的对边分别为a b c，A为锐角，向量=（2sinA18. 已知 ， ， ，- ），=（cos2A2cos2-1），且，（ 1）求 A 的大小；（ 2）如果 a=2，求 ABC 面积的最大值19.从某企业生产的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（ ）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 s2（同一组中数据用该组区间

6、的中点值作代表）；（ ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2N（ ， ），其中 近似为样本平均数22， 近似为样本方差s （ i）利用该正态分布，求P（ 187.8 Z 212.2）；第2页，共 12页（ ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间（ 187.8， 212.2）的产品件数，利用（ i ）的结果，求 EX附： 12.22若 Z N（， ）则 P（ - Z +） =0.6826， P（-2 Z +2） =0.954420. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC底面 ABCD ，ABCD 是直角梯形， AD

7、 DC，AB DC， AB=2AD =2CD =2，点 E 是 PB 的中点（ ）证明：平面 EAC平面 PBC；（ ）若 PC=2，求二面角 P-AC -E 的余弦值21. 已知函数 f（ x） =xlnx （ ）求 f（ x）的最小值；（ ）若对所有 x1都有 f （x） ax-1，求实数 a 的取值范围22. 如图，已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e= ，F 是右焦点， A 是右顶点， B 是椭圆上一点， BF x 轴， |BF|= （ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设直线 l ： x=ty+是椭圆 C 的一条切线，点M（-， y1），点 N（ ， y2）第3页，共

8、12页是切线 l 上两个点，证明：当 t、变化时，以 MN 为直径的圆过 x 轴上的定点，并求出定点坐标第4页，共 12页答案和解析1.【答案】 B【解析】 解： R 为实数集，2集合 A= x|x -4x-5 0= x|x -1 或 x 5 ，故选： B由 R 为实数集，先求出集合 A，由此能求出 ?RA本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】 B【解析】 解：由 2+ai =，得 3+bi =（ 2+ai） i=-a+2i ，则 a+bi 在复平面内对应的点的坐标为（-3， 2），在第二象限故选： B把已知等式变形，利用复数代数形式的乘

9、除运算化简，再由复数相等的条件求得a， b得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题3.【答案】 C【解析】 解： 在等差数列 an 中， a6+a8 +a10=72，a6+a8 +a10=3a8=72，解得 a8=24 ，2a10-a12=2（ a1+9d）-（ a1+11d） =a1+7d=a8=24 故选： C由等差数列通项公式求出 a8=24， 2a10-a12=2（a1+9d）-（ a1+11d）=a1+7 d=a8 ，由此能求出结果本题考查等项数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4.【答案】 C【解析】 解： =（- ，）

10、，=（ ，），则 cosABC=cos，=，则 ABC=60故选： C由已知向量的坐标求出向量的模，再求出，代入数量积求夹角公式得答案本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求向量的夹角，是中档题第5页，共 12页5.【答案】 B【解析】 解： log 30.3 log31=0， 30.3 30=1， 0 0.33 1；a c b故选： B容易得出 ， ， ，从而得出a， b，c 的大小关系考查对数函数和指数函数的单调性，增函数的定义6.【答案】 D【解析】 解：在 A 中，直线 l 上有无数个点不在平面内，则 1 与 相交或平行，故A错误；在 B 中，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行

11、，那么另一条也与这个平面平行或另一条包含于这个平面，故B 错误；在 C 中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相交、平行或异面，故C 错误；在 D 中，由线面垂直的性质定理得垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故 D 正确故选： D在 A 中， 1 与 相交或平行；在B 中，另一条也与这个平面平行或另一条包含于这个平面；在 C 中，这两条直线相交、平行或异面；在 D 中，由线面垂直的性质定理得垂直于同一个平面的两条直线互相平行本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关第等基础知识，考查运算求解能力，是中档题7.【答案】 D【解析】 解：曲线=1 表示焦点在 x 轴上，

12、长轴长为10，短轴长为 6，离心率为 ，焦距为 8曲线=1（ k 9）表示焦点在 x 轴上，长轴长为 2，短轴长为 2，离心率为，焦距为 8对照选项，则D 正确故选： D分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题8.【答案】 Bxx【解析】 解： y=ae +xlnx ， y=ae +lnx+1，由在点（ 1， ae）处的切线方程为y=2x+b，可得 ae+1+0=2 ，解得 a=e-1 ，又切点为（ 1， 1），可得 1=2+ b，即 b=-1 故选： B求得函数 y 的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得ae+1+0=2 ，可

13、得 a，进而得到切点，代入切线方程可得b 的值本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是基础题9.【答案】 D第6页，共 12页【解析】 【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题推导出 F（1，0），准线 l 的方程为 x=-1 ，|AB|=，|OF|=1，从而 b=2a，进而 c=，由此能求出双曲线的离心率【解答】2解： 抛物线 y =4x 的焦点为 F，准线为 l F （ 1， 0），准线 l 的方程为 x=-1，l- =1（ a 0，b 0）的两条渐近线分别交于点A 和点 B，且 |AB|=4|OF|（O 与

14、双曲线为原点），,，,.,双曲线的离心率为.故选 D10.【答案】 A【解析】 解： 4 名同学参加 3 项不同的课外活动，每名同学可自由选择参加其中的一项，基本事件总数n=34=81，每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数m=36，每项活动至少有一名同学参加的概率p=故选： A先求出基本事件总数 n，再求出每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数，由此能求出每项活动至少有一名同学参加的概率本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用11.【答案】 B【解析】 解： 大正方形面积为25，小正方形面积为1，大正方形边长为5，小正方形的边长为1

15、5cos -5sin ，=1cos -sin =两边平方得：1-sin2 =，sin2 =是直角三角形中较小的锐角，0 ， 02 cos2 =故选： B第7页，共 12页由已知两正方形的面积分别求出两正方形的边长，根据小正方形的边长等于直角三角形的长直角边减去短直角边，利用三角函数的定义表示出5cos-5sin =1，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简可得sin2 的值，然后根据的范围求出2的范围即可判断出cos2的正负，利用同角三角函数间的基本关系由sin2 即可求出cos2的值本题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是中档题

16、12.【答案】 A【解析】 解：如图示，分别取边AB，AA1，A1 D1，D1 C1，C1 C，CB 的中点 MNEFGH ，显然平面 MNEFGH平面 A1C1 B，易知当截面为平面MNEFGH 时，截面面积最大，此时，平面 MNEFGH 为正六边形，边长，故正六边形面积为S=6=，故选： A根据与平面A1C1 B 平行的平面 截此正方体所得截面分析得到面积最大的是正六边形，从而可求最大面积本题考查空间想象能力，正方体截面最大问题，属于难题13.【答案】 2【解析】 解：由 log2a2+log 2a8=1，得log 2（ a2a8）=1 ，a2a8=2数列 an 是等比数列，a3a7=a2

17、 a8=2故答案为： 2由对数的运算性质结合已知得到 log2（ a2a8） =1，求出 a2a8=2，再由等比数列的性质得答案本题考查了等比数列的性质，考查了对数的运算性质，是中低档题14.【答案】 28【解析】 【分析】本题主要考查二项式的展开式，通过通项中未知数的指数为0 可算出常数项 本题属基础题本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x 的指数为0 即可得到r 的值，代入r 的值即可算出常数项【解答】解：由题意可知：此二项式的展开式的通项为：第8页，共 12页Tr+1= （2x） 8- r=?28- r?（ - ） r?x8-r ?（）r =?（ -1） r 28-4r?x8-

18、4r 当 8-4r=0 ，即 r =2 时， Tr+1 为常数项此时 T2+1? -12 8-4 2） 2=28= （故答案为2815.【答案】 -3【解析】 【分析】本题主要考查函数奇偶性的应用，对数的运算性质，属于基础题奇函数的定义结合对数的运算可得结果【解答】解： f（ x）是奇函数，f（ -ln2 ） =-8 ，ax又 当 x 0 时， f （x） =- e ，-aln2f（-ln2 ）=- e=-8，-aln2=ln8 ，a=-3 16.【答案】 26+27+212nn-1n【解析】 解：由题意，2 -1 是质数， 2（ 2 -1）是完全数，8128=26 712，+2+ +2故答案

19、为： 26712+2+ +2依据定义，结合可以表示为2 的一些连续正整数次幂之和，即可得出结论本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键22 0，即 a -4；17.【答案】 解：方程 x +y =a+4 表示圆，则 a+4方程=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，则，即 -1 a 2又 “pq”是假命题且 “pq”是真命题，则p 与 q 一真一假若 p 假 q 真，则，得 a?；若 p 真 q 假，则或，解得 -4 a-1或 a2实数 a 的取值范围是 -4 a-1 或 a2【解析】 由题意分别求得 p 与 q 为真命题的 a 的范围，再由复合命题的真假判断列式求解本题

20、考查复合命题的真假判断，考查圆与双曲线的标准方程，是基础题18.【答案】 解：（） 中，向量（，2），1ABC=2sinA -），=（ cos2A， 2cos -1且，2-1） +cos2A=0，即 2sinA?（ cosA）+cos2A=0 ，2sinA?（ 2cos即 sin2A=- cos2A，即 tan2A=- A 为锐角，故0 2A 180 ， 2A=120 ， A=60 （ 2）如果 a=22222bc-bc=bc，ABC 中，由余弦定理可得 a=4=b +c -2bc?cosA第9页，共 12页bc4，故 ABC 面积 bc?sinA 的最大值为?4?=【解析】 （ 1）由条件利

21、用两个向量共线的性质，二倍角公式求得tan2A 的值，可得A的值（ 2）由条件利用余弦定理、基本不等式求得bc 的最大值，可得ABC 面积 bc?sinA 的最大值本题主要考查两个向量共线的性质，二倍角公式，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题19.【答案】 解：（ ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差 s2 分别为：=170 0.02+180 0.09+190 0.22+200 0.33+210 0.24+2200.08+230 0.02=200，2222222s =（ -30） 0.02+（ -20） 0.09+（ -10） 0.22+0 0.33+10 0.24+20 0.0

22、8+30 0.02=150 Z 200+12.2 ）=0.6826 ；（ ii ）由（ i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知 X B（ 100，0.6826），所以 EX=1000.6826=68.26 【解析】 （ ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（ ）（ i ）由（ ）知 Z N（ 200，150），从而求出 P（ 187.8 Z 212.2），注意运用所给数据；（ ii ）由（ i）知 XB（ 100， 0.6826），运用 EX =np 即可求得本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考

23、查运算能力20.【答案】 解：（ ）证明： 在四棱锥 P-ABCD 中， PC底面 ABCD ，ABCD 是直角梯形，AD DC，AB DC ，AB=2AD=2 CD=2，点 E是PB的中点，ACPCAC=BC=， ，AC 2+BC2=AB2， ACBC，PCBC=C， AC平面 PBC，AC? 平面 PAC， 平面 EAC平面PBC （ ）以 C 为原点， CB 为 x 轴， CA为 y 轴， CP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（ 0， ，0），C（ 0，0，0），B（01）， 0，0）， P（ 0， 0，2）， E（ ， ，=（ 0， ， 0），=（ ， 0， 1），平面 PAC

24、 的法向量=（ 1，0， 0），设平面 ACE 的法向量=（ x，y， z），则，取 x=2，得=（ 2，0， -），设二面角P-AC-E 的平面角为，第10 页，共 12页则 cos= = = 二面角 P-AC-E 的余弦值为【解析】 （ ）推导出 ACPC， ACBC，从而 AC平面 PBC，由此能证明平面EAC平面 PBC（ ）以 C 为原点， CB 为 x 轴， CA 为 y 轴， CP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AC-E 的余弦值本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题fx0，+fxf x）=1+ln x21.【答案】 解：（ ）（ ）的定义域为（），（ ）的导数（令 f（ x） 0，解得 ；令 f（x） 0，解得 从而 f（ x）在，单调递减，在，单调递增所以，当时，f（ x）取得最小值（ ）依题意，