2019年上海市闵行区高考数学一模试卷

1、2019 年上海市闵行区高考数学一模试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0 分）1. 若a，b为实数，则“a-1”是“ -1”的（）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分必要条件2. 已知 a，b 为两条不同的直线， ，为两个不同的平面， =a，ab，则下面结论不可能成立的是（）A. b? ，且 bB.b? a， 都相交C.，且D.b与b b 3. 已知函数 y=，（ xa， a0， b0）与其反函数有交点，则下列结论正确的是（）A. a=bB.C. a bD.a ba 与 b 的大小关系不确定4.在平面直角坐标系中，已知向量=（ 1，

2、 2）， O 是坐标原点， M 是曲线 |x|+2|y|=2上的动点，则?的取值范围（）A. -2 ， 2C.-B.D.-二、填空题（本大题共12 小题，共 36.0 分）5. 已知全集 U=R，集合 A= x|x2-3x 0，则 ?U A=_ 6.=_ 7. 若复数 z 满足（ 1+2i ）z=4+3i（ i 是虚数单位），则 z=_8. 方程=0的解为_9. 等比数列 an 中， a1+a2=1， a5+a6=16 ，则 a9+a10=_10. （ 1-2x）5 的展开式中 x3 的项的系数是 _ （用数字表示）11.已知两条直线l 1： 4x+2y-3=0 ， l2 ：2x+y+1=0

3、，则 ll 与 l 2 的距离为 _12. 已知函数 （f x）=|x-1|（ x+1），xa，b 的值域为 0，8，则 a+b 的取值范围是 _13. 如图，在过正方体 ABCD -A1B1C1D1 的任意两个顶点的所有直线中，与直线 AC1 异面的直线的条数为 _第1页，共 16页14. 在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b，c，面积为 S，且 4S=（ a+b）2 -c2，则 cosC=_15. 已知向量=cos sin =cos sin -=|=1，（，），（，），且，若向量 满足则 | |的最大值为 _16. 若无穷数列 an 满足： a10，当 nN*， n2

4、时|an-an-1 |=max a1，a2， ， an-1 （其中 max a1，a2 ， ， a，n-1 表示 a1，a2， ， a， n-1 中的最大项），有以下结论：若数列 an 是常数列，则 an=0（ nN*）若数列 an 是公差 d0的等差数列，则 d 0；若数列 an 是公比为q 的等比数列，则q 1若存在正整数T，对任意nN* ，都有 an+T=an，则 a1 是数列 an 的最大项则其中正确的结论是_（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共5 小题，共60.0 分）17. 如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 2，D 为棱 BC 的中点（ 1）求该三棱柱的

5、表面积；（ 2）求异面直线 AB 与 C1D 所成角的大小218. 已知抛物线 C： y =2 px（p0）（ 1）若 C 上一点 M（ 1，t ）到其焦点的距离为3，求 C 的方程；（2）若 P=2，斜率为 2 的直线 l 交 C 于两点，交 x 轴的正半轴于点M ，O 为坐标原点=0，求点 M 的坐标19. 在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间 x（天）的关系在ABC 段可近似地用函数y=asin（ x+）+20（ a 0，0，0 ）的图象从最高点A 到最低点C 的一段来描述（

6、如图），并且从C 点到今天的 D 点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号第2页，共 16页老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF 段所示， 且 DEF 段与ABC 段关于直线l： x=34 对称，点B， D 的坐标分别是（12， 20）（ 44， 12）（ 1）请你帮老张确定 a， ， 的值，并写出 ABC 段的函数解析式；（ 2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？20.对于函数y=f（ x），若函数F（ x） =f（ x+1） -f（x）是增函数，则称函数y=f（ x）具有性质A（ 1）若 f（ x） =x2+2，求 F

7、（ x）的解析式，并判断 f （ x）是否具有性质 A；（ 2）判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；（ 3）若函数 f（ x）=kx2+x3（ x0）具有性质 A，求实数 k 的取值范围，并讨论此时函数 g（ x） =f（ sinx） -sinx 在区间 0， 上零点的个数21. 对于数列 an ，若存在正数n+1pan对任意 nN* 都成立，则称数列np，使得 a a 为“拟等比数列”（ 1）已知 a 0，b0 且 a b，若数列 an 和 bn 满足：a1 =bn+1=（ nN* ）若 a1=1，求 b1 的取值范围；求证：数列 an-bn）（ nN* ）是“拟等比数列”

8、；（ 2）已知等差数列 cn 的首项为 c1 ，公差为 d，前 n 项和为S40360，且 cn 是“拟等比数列”，求 p 的取值范围（请用，b1=且 an+1=，Sn，若 c1 0，S4035 0，c1， d 表示）第3页，共 16页第4页，共 16页答案和解析1.【答案】 B【解析】解：-1? a-1 或 a0，a-1? a-1 或 a0，a-1 或 a0 推不出 a-1，“a-1”是 “ -1”的充分非必要条件故选：B首先找出 -1 的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定 义分别进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本 题的关键2.【答案

9、】 D【解析】解：由a，b 为两条不同的直 线，为两个不同的平面， ，=ab，知：在 A 中，在正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中，平面 ABCD 平面 ABB 1A 1=AB ，C1D1? 平面 ABCD ，且C1D1AB ，b? ，且 b有可能成立，故 A 错误；在 B 中，在正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中，平面 ABCD 平面 ABB 1A 1=AB ，C1D1平面 ABCD ，且C1D1平面 ABB 1A1，b? a 有可能成立，故 B 错误；在 C 中，在正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中，平面 ABCD 平面 ABB 1A 1=AB ，C1D1平面 ABCD

10、，且C1D1平面 ABB 1A1，b，且 b有可能成立，故 C 错误；在 D 中，b 与 ，都相交不可能成立，故 D 成立故选：D第5页，共 16页以正方体 ABCD-A 1B1C1D1 为载体，能求出结果本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与 计算能力，是中档题3.【答案】 B【解析】解：依题意得：函数 y=（xa，a0，b 0）与函数y=x 有交点，即22=2=x，xa，b2 a2，ba，故选：B问题转化为函数 y=（xa，a 0，b0）与函数y=x 有交点本题考查了反函数属基础题4.【答案】 A【解析】解：去绝对值 整理后知，曲线为菱形

11、BCDE ，易知 CDAN ，BEAN ，故当点 M 在曲线上运动时，在上的射影必在 FN 上，且当 M 在 CD 上时得到最大 值，在BE 上时得到最小 值，最大值为=2，最小值为 -2，故选：A首先去绝对值，得到曲线发现垂直关系，从而找到向量的射影，得解，并此题考查了曲线方程，数量积，射影等，难度适中5.【答案】 （ 0，3）【解析】解：A=x|x 0，或x3；?A=（0，3）U第6页，共 16页故答案为：（0，3）可求出集合 A ，然后进行补集的运算即可考查描述法的定 义，以及补集的运算6.【答案】【解析】解：= ，故答案为： 由，可得=本题考查了极限及其运算，属 简单题7.【答案】 2

12、-i【解析】解：（1+2i）z=4+3i （i是虚数单位），（1-2i）（1+2i）z=（1-2i）（4+3i），5z=10-5i，可得 z=2-i故答案为：2-i 利用复数的运算性 质即可得出本题考查了复数的运算法 则及其性质，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题8.【答案】 log25【解析】解：方程=0，2x-2-3=0，解得 x=log25第7页，共 16页故答案为：log25利用行列式展开法 则列出方程，从而能求出 结果本题考查二阶行列式的求法，考查行列式展开法 则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9.【答案】 256【解析】解：根据题意，设等比数列 a n 的公比为 q，若

13、a1+a2=1，则 a5+a6=q4a1+q4a2=q4（a1+a2）=16，解可得：q4=16，则 a9+a10=q8a1+q8a2=q8（a1+a2）=256，故答案为：256根据题意，设等比数列 a n 的公比为 q，由等比数列的通项公式可得a5+a6=q4a1+q4a2=q4（a1+a2）=16，解可得 q4 的值，又由888计a9+a10=qa1+qa2=q （a1+a2）， 算可得答案本题考查等比数列的性 质，关键是求出等比数列的公比，属于基 础题10.【答案】 -80【解析】5r-2xr3的项的系数是 C3（-2）（1-2x）的展开式的通 项为 Tr+1），令r=3，得x5=C5

14、 （3=-80故答案为：-805在（1-2x）的展开式中，令通项 x 的指数等于 3，求出 r，再求系数本题考查二项式定理的 简单直接应用，属于基础题11.【答案】【解析】线l1：4x+2y-3=0，l2：2x+y+1=0，即两条直线l1：4x+2y-3=0，l2：解：两条直4x+2y+2=0 ，它们之间的距离为 d=，第8页，共 16页故答案为：先把直线方程中 x、y 的系数化 为相同的，再利用两条平行直 线间的距离公式d=们间的距离，求出他 之本题主要考查两条平行直 线间的距离公式 d=应用，注意未知数的系数必需相同，属于基 础题12.【答案】 2， 4【解析】解：数f（x）=|x-1|（

15、x+1）=作出函数的 图象如图：由图可知，b=3，a-1，1，则 a+b2，4故答案为：2，4写出分段函数解析式，作出 图形，数形结合得答案本题考查函数的值域，考查数形结合的解题思想方法，是中档题13.【答案】 12【解析】解：在过正方体 ABCD-A 1B1C1D1 的任意两个 顶点的所有直线中，与直线 AC1 异面的直 线有：A1D1，DD1，CD，A1B1，BC，BB1，B1D1，B1C，D1C，BD，A1D，A1B，第9页，共 16页共 12条故答案为：12结合正方体的 结构特征，利用列举法能求出在 过正方体 ABCD-A 1B1C1D1 的任意两个 顶点的所有直 线中，与直线 AC

16、1 异面的直 线的条数本题考查异面直线的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与 计算能力，是基础题14.【答案】 0【解析】22解：4S=（a+b）-c ，4 absinC=a2+b2-c2+2ab，由余弦定理得：2absinC=2abcosC+2ab，sinC-cosC=1，又sin2C+cos2C=1，sinCcosC=0，又在 ABC 中，sinC 0，cosC=0故答案为：0由余弦定理和三角形面 积公式得 sinC-cosC=1，结合平方关系得答案本题考查余弦定理、三角形面 积公式、平方关系，考查计算能力15.【答案】【解析】解：，=2+2cos（-）=

17、3，令，则|=，D 点轨迹为以原点为原心，半径为的圆，令，则 |=|=1，C 点轨迹是以原点 为原心，第10 页，共 16页半径为的两个圆及其之间的部分，最大值为，即 |最大值为故答案为：首先解决结对应点的轨迹， 合两角差的余弦可以得到的模，即进而得到对应点的轨问题得解迹，此题考查了向量的模与点的轨难迹，三角公式等， 度不大16.【答案】 【解析】解： ，若数列an 是常数列，由|an-an-1|=maxa1，a2， ，an-1 ，可得 maxa1，a2， ，an-1=0 ，则 an=0（nN* ），故 正确； ，若数列an 是公差 d0的等差数列，由 maxa1，a2，an-1=|d|，若

18、d0，即有数列递增，可得 d=an，即数列为常数列，不成立；若 d0，可得数列递减，可得-d=a1 成立，则 d0，故 正确； ，若数列an 是公比为 q 的等比数列，若 q=1 可得数列 为非零常数列，不成立；由 |a2-a1|=a1，可得a2=0（舍去）或a2=2a1，即有 q=21，a10，则数列递增，由 maxa1，a2， ，an-1=a n-1，可得 an-an-1=an-1，可得 an=2an-1 ，则 q1，故正确； ，假设 a1 不是数列 a n 的最大项，设 i 是使得 aia1 的最小正整数，则 |ai+1-ai|=maxa1，a2， ai=a i，因此 ai+1 是 ai

19、 的倍数，假设 ai+1，ai+2， ，ai+k-1 都是 ai 的倍数，则 |ai+k -ai+k-1 |=maxa1，a2， ，ai+k-1 =maxa i，ai+1 ，ai+k-1 ，故ai+k 是 ai 的倍数，假设 ai+1，ai+2， ，ai+k-1 都是 ai 的倍数，则 |ai+k -ai+k-1 |=maxa1，a2，ai+k-1 =maxa 1，ai+1，ai+k-1 ，因此，ai+k 也第11 页，共 16页是 ai 的倍数，由第二数学 归纳法可知，对任意 ni，an 都是 ai 的倍数，又存在正整数T，对任意正整数 n，都有 aT+n =an，故存在正整数 mi，am=

20、a1，故 ai 是 a1 的倍数，但 aia1，故a1 不是 ai 的倍数，矛盾，故 ai 是数列 an 的最大值 故 正确故答案为： 由常数列，结合新定义可得 an=0，可判断 ；由等差数列的定义和单调性，可判断 ；由等比数列的定 义和单调性可判断 ；假设 a1 不是数列 a n 的最大项，设 i 是使得 ai a1 的最小正整数，根据第二数学归纳法可判断 本题考查数列新定 义问题，考查等差数列和等比数列的定义的运用，考查举例法和数学 归纳法的运用，属于综合题17.【答案】 解：（ 1） 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为2，该三棱柱的表面积：S=2SABC+3=2+322=12+

21、2（ 2）取 AC 中点 E，连结 DE ， C1E，D 为棱 BC 的中点， DEAB， DE =1 ，C1DE 是异面直线 AB 与 C1D 所成角（或所成角的补角），DC =EC= ，11cosC1DE =，C1， DE=arccos异面直线AB 与 C1D 所成角的大小为arccos【解析】1）该三棱柱的表面 积 S=2S，由此能求出结果（ABC +3第12 页，共 16页（2）取AC 中点 E，连结 DE，C1E，则 DEAB ，从而C1DE 是异面直 线 AB 与C1D 所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线 AB 与 C1D 所成角的大小本题考查三棱柱的表面 积的求法，考查

22、异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查推理能力与 计算能力，是中档题18.【答案】 解：（ 1）由抛物线的定义得：1-（- =3，解得： p=4，所以抛物线C 的方程为： y2=8x；（ 2） p=2 时，抛物线 C： y2=4x，222设直线 l： y=2x+b，并代入抛物线C： y =4x 得： 4x +（ 4b-4） x+b =0，设 A（x1 ， y1）， B（ x2， y2），则 x1+x2=1- b， x1x2= ， ? =x1x2+y1y2=x1x2+（ 2x1+b）（ 2x2+b） =5x1x2+2b（ x1+x2） +b2= +2 b（

23、 1-b） +b2=0，解得 b=0 或 b=-8当 b=0 时， M（ 0， 0）不在 x 轴正半轴上，舍去；当 b=-8 时， M（ 4， 0）故点 M 的坐标为（ 4， 0）【解析】（1）根据抛物线的定义可得；（2）设出直线 l：y=2x+b，并代入抛物线，根据韦达定理以及 x1x2+y1y2=0解得 b，然后求得 M （4，0）本题考查了直线与抛物线的综合属中档题19.【答案】 解：（ 1） a=12-4=8 ， =24-12=12 ，T=48， = =，由24+=可得 =，f（x） =8sin （x+ ） +20=8cosx+20， x0， 24 （ 2）由题意得 DEF 的解析式为

24、： y=8cos（ 68-x） +20 ，第13 页，共 16页由 8cos（68-x） +20=24 ，得 x=60 ，故买入 60-44=16 天后股价至少是买入价的两倍【解析】（1）对照图象可求出 a，以及 ABC 的解析式；（2）先根据对称性求出 DEF 段的解析式，再令函数 值等于 24，解出x=60，可得本题考查了由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，属中档 题20.【答案】 解：（ 1） f（ x） =x2+2， F（ x）=（ x+1）2+2- x2-2=2x+1， F （ x）在 R 上递增，可知 f（ x）具有性质 A；（ 2）命题“减函数不具有性质A”，为假命题

25、，比如：f（ x） =0.5 x，F （ x） =f（ x+1） -f（ x） =-0.5 x+1 在 R 上递增， f（ x）具有性质 A；（ 3）若函数f（ x） =kx2+x3（ x0）具有性质A，可得 F（ x） =f（ x+1） -f（ x） =k（x+1） 2+（ x+1） 3 -kx2-x3=3x2+（ 3+2k）x+1+ k在 x0递增，可得 -0，解得 k- ；由 t=sin x（0t1），可得 g（x） =0，即 f（ t） =t，23可得 kt +t =t， t=0 时显然成立；0 t1时， k=，由在（ 0， 1递减，且值域为 ， +），k=0 时， t=0 或 1， sinx 有三解， 3 个零点；当 k= 时， t=1，即 sinx=1，可得 x= ， 1 个零点；当 k 时， f（ t） =t， t 有一解， x 两解，即两个零点；当 - k ，且 k0时， f（ t） =t 无解，即 x 无解，无零点【解析】（