2018年重庆市高考数学三诊试卷(理科)

1、2018 年重庆市高考数学三诊试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.设集合 A= x|xa ， B=（-， 2），若 A? B，则实数 a 的取值范围是（）A. a2B. a 2C. a2D. a 22.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 iz=2 z+1，则 z=（）A.B.C. 2+iD. 2-i3.设命题 p： ?xQ， 2x-lnx 2，则 p 为（）A. ?xQ， 2x-lnx2B. ? xQ，2x-lnx 2x Q2x-ln x2x Q2x-lnx=2C.?，2D.?，4.）已知随机变量 X N（ 2，），若 P（X1-a）+P（

2、X1+2a）=1，则实数 a=（A. 0B. 1C. 2D. 45.山城农业科学研究所将5 种不同型号的种子分别试种在5 块并成一排的试验田里，其中两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为（）A.12B. 24C.36D.486.已知抛物线的焦点为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形为矩形，则矩形的面积是（）A.B.C.D.37.已知实数满足不等式组，且的最大值是最小值的 2倍，则（）A.B.C.D.8. 九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽

3、马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐， 复还迎驽马， 二马相逢 根据该问题设计程序框图如图，若输入 a=103，b=97，则输出n 的值是（）第1页，共 17页A.8B.9C.12D.169. 一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为32，则侧视图中的x 的值为（）A. 6B. 4C. 3D. 210.22P（ a， b）作圆 O 的两条切线 PA，已知圆 O 的方程为 x +y =1，过第一象限内的点PB，切点分别为A， B，若，则 a+b 的最大值为（）A. 3B.C.D. 611.已知双曲线的左右焦点分别为 F1，F 2，以 OF2 为直径的圆 M 与双曲线 C 相交

4、于 A， B 两点，其中 O 为坐标原点，若AF 1 与圆 M 相切，则双曲线 C 的离心率为（）A.B.C.D.12.已知函数，等差数列 an 满足： f（ a1）+f（ a2）+ +f（ a99）=11，则下列可以作为 an 的通项公式的是（）A.B.C.D. 49-n二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.函数 f （ x） =2cos2x+sin xcosx-1的最大值是 _ 第2页，共 17页14.已知 a 0，且的展开式中常数项为5，则 a=_15. 在如图所示的矩形 ABCD 中，点 E、P 分别在边 AB、BC 上，以 PE 为折痕将 PEB 翻折为 PEB，点 B

5、恰好落在边 AD 上，若，则折痕PE=_16.已知 l 是 ABC 的内心， AC=2， BC=3， AB =4，若 =x+y ，则 x+y=_三、解答题（本大题共7 小题，共 82.0 分）17.在 ABC 中， A 为锐角，且（ 1）求 A；（ 2）若 AC=1 ， ABC 的面积为，求 BC 边上的高18. 从某校高三年级中随机抽取100 名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在0.30.5 的概率为 （ 1）求 a， b 的值；（ 2）若某大学 A 专业的报考要求之一是视力在0.9 以上，则对这100人中能报

6、考 A专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8 人，调查他们对 A 专业的了解程度，现从这 8 人中随机抽取 3 人进行是否有意向报考该大学A 专业的调查， 记抽到的学生中视力在 1.1 1.3 的人数为 ，求 的分布列及数学期望第3页，共 17页19. 如图，三棱柱 ABC A1B1C1 中， A1CB1 A1 ，AB=AA1， BAA1=60 （ 1）求证： ABC 为等腰三角形；（ 2）若平面 BAC平面 ABB1A1，且 AB=CB，求二面角 A1-CC1-B 的正弦值20.已知椭圆的离心率为，且右焦点与抛物线的焦点重合（ 1）求椭圆的C 的方程；（ 2）设点 P 为圆 ： x2+y2

7、=2 上任意一点，过 P 作圆 的切线与椭圆 C 交于 A， B 两点，证明：以 AB 为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标21.已知函数（ 1）若直线y=x+1 与曲线 y=f（ x）相切，求a 的值；（ 2）若关于x 的不等式恒成立，求a 的取值范围第4页，共 17页22. 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2cos+sin ，曲=1线 C 的极坐标方程为 sin =8cos（ 1）求直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）设点 M（0，1），直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 P，Q，求 |MP |+|

8、MQ|的值23. 已知函数 f（ x） =|x-a|+2x（ 1）当 a=3 时，求不等式 f （x） 3的解集；（ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） 0的解集为 x|x-2 ，求实数 a 的值第5页，共 17页答案和解析1.【答案】 D【解析】解：集合 A=x|x a，B=（-，2），A? B，a2，实数 a 的取值范围是 a2故选：D由 A ? B，能求出实数 a的取值范围是 a2本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查函数与方程思想，考 查函数与方程思想，是基 础题2.【答案】 A【解析】解：i 为虚数单位，复数 z 满足 iz=2z+1，则 z=-i故选：

9、A根据复数的定 义与运算性 质，求出 z 的值本题考查了复数的定 义与运算问题，是基础题3.【答案】 C【解析】解：命题 p：?x Q，2x-lnx 2，则p 为：? x Q，2x-lnx 2，故选：C利用命题的否定定 义即可得出本题考查了命题的否定、简易逻辑的判定方法，考 查了推理能力与 计算能力，属于基础题4.【答案】 C【解析】2解：X N（2，），P（X1-a）=P（X3+a），P（X 3+a）+P（X 1+2a）=1，3+a=1+2a，即a=2故选：C第6页，共 17页根据对称性可知 P（X1-a）=P（X3+a），故而3+a=1+2a本题考查了正态分布的性 质，属于基础题5.【答案

10、】 B【解析】解：先从不含（A ，B）型号的3 中不同型号中 选 2 中试种在两端，再把 AB 捆绑在一起和剩下一种全排列 试种在不含两端的三 块实验田，故有 A 32A22A22=24 种，故选：B先从不含（A ，B）型号的3 中不同型号中 选 2 中试种在两端，再把 AB 捆绑在一起和剩下一种全排列试种在不含两端的三 块实验 田，根据分步计数原理可得本题考查计数原理的 应用，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题6.【答案】 A【解析】解：根据题意画出示意 图：依题意，抛物线抛物线 y2=4x 的焦点为 F（1，0），圆的圆心坐标为 F（1，0）四边形 MNP

11、Q 是矩形，且 PM 为直径，QN 为直径，F（1，0）为圆的圆心，点 F 为该矩形的两条 对角线的交点，点 F 到直线 PQ 的距离与点 F 到 MN 的距离相等点 F 到直线 MN 的距离 d=2，直线 MN 的方程为：x=3，M（3，2），则矩形 MNPQ 的面积是：4 =16故选：A第7页，共 17页仔细阅读题 目，首先根据题目信息作出 图形，如图所示，可得圆的圆心坐标为 F（1，0），且点F 为该矩形 MNPQ 的两条对角线的交点；再利用点 F 到直线PQ 的距离与点 F 到 MN 的距离相等可求得直 线 MN 的方程，从而可求出 M点的坐标；然后求解矩形的面积本题考查抛物线的简单性

12、质与抛物线与圆的位置关系的 综合应用，考查转化思想以及 计算能力7.【答案】 B【解析】解：实数 x，y 满足不等式 组作图可知，若可行区域存在，则必有 a1，故排除 CD；由 z=2x-y，得y=2x-z，平移直线 y=2x-z，由图象可知当直 线y=2x-z，经过点 B（1，1）时，直线 y=-3x+z 的截距最大，此时 z 最大最小为 zmax=1，平移直线 y=2x-z，由图象可知当直 线 y=2x-z经过点 A （a，2-a）时，直线 y=2x-z 的截距最小，此时 z 最小为 zmin =3a-2z=2x-y 的最大值是最小值的 2 倍，由 6a-4=1，解得 a= ，故选：B先根

13、据约束条件画出可行域，再利用几何意 义求最值，z=3x+y 表示直线在 y轴上的截距，只需求出可行域直 线在 y 轴上的截距最大最小 值，再列方程求出 a 即可第8页，共 17页本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决 线性规划题目的常用方法8.【答案】 B【解析】解：良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为：an=103+13（n-1）=13n+90，驽马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为：bn=97-（n-1）=-n+，二马相逢时所走路程之和 为：21250=2250，所以有：+=2250，即：+=2250，解得：n=9故选：B由题意，良马，驽马每日所行里数构成等差数列，根

14、据等差数列的通项公式及二马相逢时所走路程之和为2250，可得：+进=2250， 而解得 n 的值本题考查了程序框 图的应用问题，考查了等差数列的 应用，属于基础题9.【答案】 C【解析】解：一个正三棱柱的三视图 如图所示，若该三棱柱的外接球的表面 积为 32，24r=32可得球的半径r 为：2棱锥的底面三角形的高 为：x ，可得解得 x=3故选：C求出球的半径，然后通 过棱柱的高，转化求解棱柱的底面 边长即可第9页，共 17页本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，判断球的球心的位置是解 题的关键10.【答案】 B【解析】解：如图，由，得=a2 2，+b -1=8即 a2 2+b =922a

15、2 2）=18，（a+b）（+ba+b的最大值为 3，故选：B由已知结合数量积的几何意 义求得 a2+b2=9，再由基本不等式求最 值 本题主要考查向量数量 积的几何意 义，考查基本不等式的运用，是中档 题11.【答案】 C【解析】设 F2M=OM=MA=，解：OF2=c，AF1=，根据勾股定理AF1=，cosAMF 1=，AF2=，e=，故选：C第10 页，共 17页画出图形，利用直线与圆的位置关系以及双曲线的简单性质，转化求解即可此题要求学生掌握定 义：到两个定点的距离之差等于 |2a|的点所组成的图形即为双曲线考查了数形结合思想、本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数 ”，利用几何性

16、质可寻求到简化问题的捷径【答案】 A12.【解析】解：函数，导数为 f （x）=3x2+2x+，即有 f （x）=6x+2 ，由 f （x）=0，可得 x=-，代入可得 f（- ）=，再由 f （-+x）+f（-x）=（-32（）（3+x） （） （+ - +x +- +x + - -x+ -2-x）+=，-x）+ （-可得 f （x）关于点（-，）对称，f （a1）+f（a2）+f （a99）=11，可得 a1+a99=a2+a98= =-，即有 f （a1）+f（a99）=，满足题意，对 A ，由a1+a99=-17+-17=-，B，C，D 均错，故选：A求得 f （x）的二阶导数，可得对

17、称点（- ， ），再由等差数列的性质和通项公式，即可得到所求本题考查函数的 对称性和运用，考 查等差数列的性 质，以及通项公式的求法，考查运算能力，属于中档 题第11 页，共 17页13.【答案】【解析】解：函数f （x）=2cos2x+sinxcosx-1=cos2x+sin2x= （sin cos2x+cos sin2x）= sin（2x+）其中tan =2因为sin（2x+）故答案为：利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简求解函数的最 值即可本题考查二倍角公式以及两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力14.【答案】【解析】解：a0，且的展开式的通 项公式为 Tr+1=?a10-r?

18、，令-20=0，求得 r=8，可得展开式中常数 项为2，?a =5，则 a=故答案为： 在二项展开式的通 项公式中，令 x 的幂指数等于零，求得 r 的值，可得展开式中常数项，再根据展开式中常数 项为 5，求得 a 的值本题主要考查二项式定理的 应用，二项展开式的通 项公式，二项式系数的性质，属于基础题15.【答案】【解析】解：设 BE=x，则 BE=x，AE=2-x ，sinEPB=，PE=3x，且 cosBEP=sinEPB= ，由 PBEPBE可得 PEB=PEB，cosBEB =cos2BEP=2cos2BEP-1=-，第12 页，共 17页cosAEB= ，即=，解得 x=PE=3x

19、=故答案为：设 BE=x，根据三角恒等变换计算 cosAEB，从而列方程求出 x，即可得出PE=3x本题考查了锐角三角函数的 应用，属于中档题16.【答案】【解析】解：点O 是平面 ABC 上任意一点，点 I 是ABC 内心的充要条件是：=，其中 BC=a、AC=b、AB=c ，将点 O选则由题意知，AC=2，BC=3，AB=4 ，在A点， =+，x+y= + = ，故答案为： 根据三角形内心的充要条件，将点O 选在 A 点把三边长代入求出 x+y 的值 本题考查了三角形内心的充要条件的应用，根据题意注意选择点的位置，以及正确代入三遍的 长度，进行求值17.【答案】 解：（1A） 为锐角，且可

20、得：；（ 2） AC=1 ，ABC 的面积为，由余弦定理有：，由面积公式有：【解析】第13 页，共 17页（1）由已知利用三角函数恒等 变换的应用化简可求 sinA 的值，结合 A 为锐角，可得 A 的值（2）由三角形面积公式可求 c 的值，根据余弦定理可求 a 的值，进而可求三角形的面积本题主要考查了三角函数恒等 变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的 综合应用，考查了计算能力和 转化思想，属于中档题18.【答案】 解：（ 1） b0.2=0.1? b=0.50 ? a=1.00 ；（ 2） 的可能取值为0， 1， 2，3，概率为：，所以其分布列如下：0123p则【解析】（1）由

21、频率分布直方 图求出求解 a，b 即可（2）求出可能的取 值为 0，1，2，3，求出概率，得到分布列，由此能求出 E（）本题考查频率分布直方 图的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力19.【答案】 解：（ 1）设 AB 中点为 D，连接 CD，DA 1，又设 AB =2，则，又因为，所以AB DA1，又因为 CA1A1B1， CA1DA1，所以 A1B1面 CDA 1，所以 A1B1CD ，又因为 CD 为中线，所以 ABC 为等腰三角形；（ 2）设以 AB 中点 D 为原点， 分别以 DA，DA 1，DC 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，第14 页，共 17页设 A

22、B=2，则，故，设面 A1CC1 的法向量，则有，同理得：面 BCC1 的法向量，设所求二面角为，则，故【解析】（1）设 AB 中点为 D，连接 CD，DA 1，证明 AB DA 1，又CA 1A 1B1，推出A 1B1面 CDA 1，即可证明 A 1B1CD，推出ABC 为等腰三角形；（2）设以 AB 中点 D 为原点，分别以 DA ，DA 1，DC 为 x，y，z 轴建立空 间直角坐标系，设 AB=2 ，求出平面面 A 1CC1的法向量，平面 BCC1 的法向量，利用空间向量的数量 积求解即可本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考 查空间想象能力以及 计算能力1，

23、解得a=，b=，所以20.【答案】 （ ）解：由题意有：（ 2）证明：由对称性，猜测该定点为O（ 0， 0），设该切线方程为y=kx+b，则有，联立方程有：，所以 OAOB，即原点以在AB 为直径的圆上【解析】（1）利用已知条件求出 a，b 然后求解 椭圆方程（2）设出切线方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及向量的数量 积转化求解即可第15 页，共 17页本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查转化思想以及 计算能力21【.答案】解：（1）设切点的横坐标为x0，则有：，令，则 h（ x）在（ 0， 1）上单调递增，在（ 1， +）上单调递减，又因为 h（1） =0，所以 x0=1 ? a=-1 ；（ 2）令，则原命题等价于l（ x） 0恒成立，