2018年辽宁省丹东市高考数学二模试卷(理科)

1、2018 年辽宁省丹东市高考数学二模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.若集合 A= xN|x| 3 ， B= x|x2+x-2 0，则 AB=（）A. 1B. 1，2C. 0 ，1D. 0 ，1， 22.已知复数 z=-2i（其中 i 为虚数单位），则|z|=（）A. 3B. 3C.2D. 23.22）圆心为（ 2， 0）的圆 C 与圆 x +y +4 x-6y+4=0 相外切，则 C 的方程为（A. x2+y2+4x+2=0B. x2+y2-4x+2=0C. x2 +y2+4 x=0D. x2+y2 -4x=04.某几何体的三视图如图所示

2、，则该几何体的表面积为（）A. 5 +2B. 4 +2C. 4 +4D. 5 +45. 已知 ABC 的面积为 S，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 4S=a2-（ b-c）2， bc=4 ，则 S=（）A.2B.4C.D.6. 我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一， 次关五而税一， 次关六而税一， ，”源于问题所蕴含的数学思想，设计如图所示程序框图，运行此程序，输出的i 值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7第1页，共 19页7.为了考查考生对于“数学知识形成过程”的掌握情况，某高校自主招生考试面试中的一个问题是

3、：写出对数的换底公式，并加以证明甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案 公布他们的答案后， 三考生之间有如下对话，甲说：“我答错了”；乙说：“我答对了”；丙说：“乙答错了”评委看了他们的答案，听了他们之间的对话后说： 你们三人的答案中只有一人是正确的，你们三人的对话中只有一人说对了根据以上信息，面试问题答案正确、对话说对了的考生依次为（）A. 乙、乙B. 乙、甲C. 甲、乙D.甲、丙8.若函数存在最小值，则a 的取值范围为（）A. （ 1， +）B.C.D.9.设0x1 x2 ，若，则 cos（x1-x2） =（）A.B.C.D.10.若点 M（ x， kx-2）满足不等式组，则 k 的取值范

4、围为（）A.（- -1 2+B.-1，2， ，）C. （ -， -72， +）D. -7 ， 211.设，则函数 f （x）（）A. 仅有一个极小值B. 仅有一个极大值C. 有无数个极值D. 没有极值12.设 P 是 ABC 所在平面上的一点，若 |2- -|=2，则+的最小值为（）A.B. 1C. -D. -1二、填空题（本大题共4 小题，共 20.0 分）13. 已知某种商品的广告费支出 x（单位：万元）与销售额 y（单位：万元）之间有如下对应数据：x 24568y 3040506070根据上表可得回归方程= x+ ，其中=7，据此估计， 当投入 10 万元广告费时，销售额为 _万元；14

5、. 若，则 a2 的值为 _ 第2页，共 19页15.已知A，B，C是半径为2的球O表面上三点，若AB =1B=60，则三棱锥 O-ABC 的体积为 _16.双曲线 C：的右焦点为 F，左顶点为A，以 F 为圆心， |FA|为半径的圆与C 的右支相交于M，N 两点，若 AMN 的一个内角为60，则 C 的渐近线方程为 _三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17.Sn 为数列 an 的前 n 项和，已知3Sn+2=4an，（ 1）求 an 的通项公式；（ 2）若数列 bn 的前 n 项和 Tn 满足 Tn+k 0，求实数 k 的取值范围18. 近年来，双十一购物狂欢节（简称“双11”）

6、活动已成为中国电子商务行业年度盛事，某网络商家为制定2018 年“双11”活动营销策略， 调查了 2017 年“双 11”活动期间每位网购客户用于网购时间T（单位：小时），发现 T 近似服从正态分布N（ 2， 0.49）（ 1）求 P（T 1.3）的估计值；（ 2）该商家随机抽取参与2017 年“双 11”活动的 10000 名网购客户，这10000名客户在 2017 年“双 11”活动期间，用于网购时间T 属于区间（ 2， 3，4）的客户数为 X该商家计划在2018 年“双11”活动前对这X 名客户发送广告，所发广告的费用为每位客户 0.05 元（ i）求该商家所发广告总费用的平均估计值；（

7、 ii）求使 P（ X=k）取最大值时的整数k 的值附：若随机变量 Z 服从正态分布2P（ - Z +） =0.6826，Z N（ ， ），则P（-2 Z +2）=0.9544，P（ -3 Z +3） =0.977219. 如图，在四面体 ABCD 中， BA=BC， BAD =BCD =90（ 1）证明： BD AC；（ 2）若ABD=60，BA=2，四面体 ABCD 的体积为 2，求二面角 B-AC-D 的余弦值第3页，共 19页20.已知 P 为椭圆 C：长轴上的一个动点，过点P 的直线 l 与 C 交于 M， N两点，点M 在第一象限，且（ 1）若点 N 为 C 的下顶点，求点P 的坐

8、标；（ 2）若 O 为坐标原点，当OMN 的面积最大时，求点P 的坐标21. 设函数 f（ x） =2ex-kx-2（ 1）讨论 f（ x）的单调性；（ 2）若存在正数 a，使得当 0x a 时， |f（ x） | 2x，求实数 k 的取值范围22. 在直角坐标系 xOy 中，将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，再把所得曲线上每一点向下平移1 个单位得到曲线C1以 O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程是（ 1）写出 C1 的参数方程和 C2 的直角坐标方程；（ 2）设点 M 在 C1 上，点 N 在 C2 上，求使 |MN |取

9、最小值时点 M 的直角坐标第4页，共 19页23. 设函数 f（ x） =|x-1|-|x+2|，若 -2 f（ a） 0， -2 f（ b） 0（ 1）证明： |a+b| 1；（ 2）比较 2|a -b|与 |1-4ab|的大小第5页，共 19页答案和解析1.【答案】 D【解析】解：集合A=x N|x| 3=x N|-3 x3=0 ，1，2 ， B=x|x 2+x-2 0=x|-1 x 2，则 AB=0 ，1，2 故选：D解不等式得集合 A 、B，根据交集的定义写出 AB本题考查了不等式的解法与 应用问题，也考查了交集的定 义，是基础题2.【答案】 B【解析】解：z=-2i=-2i=3-i-

10、2i=3-3i ，则 |z|=3，故选：B根据复数的运算法 则和复数的模 计算即可本题考查了复数的运算法 则和复数的模，属于基 础题3.【答案】 D【解析】解：圆 x2+y2+4x-6y+4=0 的圆心为 M （-2，3），半径为 r=3，CM=5，圆 C 的半径为 5-3=2，圆C 的标准方程为：（x-22+y2=4，即 x2+y2-4x=0）故选：D根据两圆关系求出 圆 C 的半径，从而得出圆 C 的方程本题考查了圆与圆的位置关系，属于中档 题4.【答案】 C【解析】第6页，共 19页解：几何体是组合体，下部是半圆柱，上部是球，圆柱的底面半径与球的半径相同 为 1，圆柱的高为 2，积为22

11、几何体的表面：1 +2 2+2 =4+4+1故选：C由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可本题考查的知识点是由三 视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状5.【答案】 A【解析】22解：4S=a -（b-c），bc=4，4 bcsinA=2bc-（b2+c2-a2），可得8sinA=8：-8cosA，可得：sinA+cosA=1 ，可得：sin（A+）=，0A ，可得： A+，A+=，解得：A=，S=bc=2故选：A由已知利用三角形面 积公式，余弦定理，三角函数恒等 变换的应用可求 sin（A+）=，结合 A 的范围可得：A+，进而可求 A 的值，利用三角形面 积公式

12、即可 计算得解本题主要考查了三角形面 积公式，余弦定理，三角函数恒等 变换的应用在解三角形中的 综合应用，考查了计算能力和 转化思想，属于中档题6.【答案】 C【解析】解：模拟程序的运行 过程知，i=1，a=72，S=0，满足 S60，计算 S=36，i=2；满足 S60，计算 S=36+=48，i=3；第7页，共 19页满计=54，i=4；足 S60， 算 S=48+满计=57.6，i=5；足 S60， 算 S=54+满足 S60，计算 S=57.6+=60，i=6；不满足 S60，终止循环，输出 i=6故选：C模拟程序的运行 过程，即可得出程序运行后 输出的 i 值本题考查了程序框图的应用

13、问题题时应模拟程序的运行过础，解程，是基题7.【答案】 D【解析】解：假设面试问题答案正确的是甲，则甲、乙说错了，丙说对了，符合题意；假设面试问题答案正确的是乙，则甲、乙说对了，丙说错了，不符合题意；假设面试问题答案正确的是丙，则甲、乙说错了，丙说对了，不符合题意综上，面试问题答案正确、对话说对 了的考生依次 为甲、丙故选：D假设面试问题答案正确的是分 别是甲、乙、丙，分析三个人的话，能求出结果本题考查简单 的合情推理等基 础 知识，考查 运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题8.【答案】 C【解析】解：函数，当 0a1 时，由 x 3 可得 logax loga3；x3时，8-2x2，不

14、满足 f（x）存在最小值；当 a1 时，由 x 3 可得 logax loga3；x3时，8-2x2，第8页，共 19页由 f（x）存在最小值，可得 loga32，解得 1a ，故选：C由分段函数 f （x），讨论 0a1，a 1，运用对数函数的 单调性，求得 x3 的范围，由题意可得 a 的不等式，解不等式即可得到所求范 围本题考查分段函数的运用：求最值，考查对数函数的 单调性，运算能力，属于中档题9.【答案】 B【解析】设 0x x，则 -2x- 2x2-；解：121，02x1-， 2x2-， x1， x2，-x1-x20cos（2x 1-）=，cos（2x2-）=-，cos2（x1-x2

15、）=cos（2x1-）-（2x2-）=cos（2x1-）?cos（2x2-）+sin（2x1-）?sin（2x2-）=-+=-，cos2（x1-x2）=2cos2（x1-x 2）-1，cos2（x1-x2）=（1-）=，cos（x 1-x2）=，故选：B根据同角的三角形的函数的关系以及两角差得余弦公式和二倍角公式即可求出本题考查了同角的三角形的函数的关系以及两角差得余弦公式和二倍角公式，属于中档题10.【答案】 A【解析】第9页，共 19页解：点M （x，kx-2 ）满足不等式 组，可得 y=kx-2 ，可得 k=义是，几何意可行域内的点与（0，-2）连线的斜率不等式组，表示的可行域如图：由图

16、形可知：k 的范围满足小于等于 kPA ，大于等于 kPB，由图形可得 A （-1，-1），B（2，2），kPA=-1，kPB=2，所以 k 的取值范围为：（-，-12，+）故选：A利用已知条件求出k 的表达式，通过线性规划转化求解即可本题考查线性规划的应用，注意仔细审题，画出可行域判断目 标函数的几何意义是解题的关键11.【答案】 A【解析】解：f （x）=x-1+sin （1-x），令 x-1=t，则 f （t）=t+sin（-t），f （t）=1-cos（-t）0，f （t）在R 递增，t -时，f （t）-，t +时，f （t） +，故存在 t0，使得f （t0）=0，故 f（x）在（

17、-，t ）递减，在（t ，+）递增，00故 f（x）仅有 1 个极小值，故选：A求出函数的 导数，根据函数的单调性判断函数的极 值的个数即可第10 页，共 19页本题考查了函数的 单调性、极值问题，考查导数的应用以及导数的应用，是一道中档 题12.【答案】 C【解析】解：P 是ABC 所在平面上的一点， |2- |=2，|2-|=|=|=2，设 BC 边上的中线为 D，则 BC 边上的中线 AD的长为：=1，P 是ABC 所在平面上的一点，+=?（）=?2（）=2-2，设 |=x，与+当 x=时，当 cos =1时，故选：C的夹角为 ，=2x2-2xcos =2（x-2，）-+取最小值值为，最

18、小-+取最小值为 -设 BC 边上的中线为 D，求出BC 边上的中线 AD 的长为：=1，+=（）=?2（）=2-2设|，|=x，与的夹角为 ，由此能求出+的最小值本题考查向量加减的几何意义查积公式、二次函数、三角函，考 向量的数量数的性质等基础知识查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题，考13.【答案】 85【解析】第11 页，共 19页题，解：由 意可得：线性回归方程过样本中心点，则：，线性回归方程为：，据此估计，当投入10 万元广告 费时，销售额为万元故答案为：85结合题意首先求得 线性回归方程，然后进行预测即可本题考查线性回归方程的性 质及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计

19、算能力，属于中等题14.【答案】 36【解析】解：，可得：a2=36故答案为：36转化已知条件，利用二 项式定理系数求解即可本题考查二项式定理的 应用系数的求法，考查转化思想以及 计算能力15.【答案】【解析】解：A ，B，C 是半径为 2 的球 O 表面上三点， AB=1 ，B=60，cos60 =，解得 BC=2，BAC=90，球心 O 到平面 ABC 的距离 d=OO=，SABC =，三棱 锥 O-ABC 的体积为：V=故答案为： 第12 页，共 19页由余弦定理求出BC=2，球心 O 到平面 ABC 的距离 d=OO=，S=ABC= ，由此能求出三棱锥 O-ABC 的体积本题考查三棱锥

20、的体积的求法，考查三棱锥、球、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档 题16.【答案】【解析】解：如图，设左焦点为 F1，圆于 x轴的另一个交点 为 B，AMN 的一个内角 为 60 PAF=30，MBF=60，MF=AF=a+c ，MF1=3a+c，在 MFF1 中，由余弦定理可得MF 12=MF 2+FF12-2MF?FF1cos120 ，3c2-ac-4a2=0，解得=，即c=a，b2=c2-a2=a2-a2=a2，=，C 的渐近线方程为 y= x ，即x 3y=0，故答案为：x3y=0，由题意可得 PAPB，又，APQ 的一个内角 为 60，即有PFB 为等腰

21、三角形，PF=PA=a+c，运用双曲线的定义和渐近线方程，计算即可得到所求本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以及等腰三角形的性 质，考查渐近线方程，属于中档题17.【答案】 解：（ 1）由 3Sn+2=4an，可知 3Sn+1 +2=4an+1，相减可得 3an+1=4an +1-4an，易知 an0，于是，第13 页，共 19页又 3a1+2=4 a1，得 a1=2所以 an 是首项为2，公比为4 的等比数列，通项公式为；（2）由可知，于是，不等式 Tn+k 0 可化为因为 nN* ，所以，故因此实数k 的取值范围为【解析】（1）由3Sn+2=4an，可知 3Sn

22、+1+2=4an+1，相减，结合等比数列的定 义和通项公式，可得 an；（2）运用对数的运算性 质可得 bn，由裂项相消求和可得 Tn，再由不等式的性质，可得 k 的范围本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定 义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式恒成立 问题解法，注意运用不等式的性 质，属于中档题18.【答案】 解：（1TN 20.49）， =2，） 近似服从正态分布（ ，P（ T 1.3） =P（ T -）=；（ 2）（ i ）依题意 X 服从 B（ 10000，0.4772 ）， EX=100000.4772=4772故商家广告总费用的估计值为47720.

23、05=238.6（元）（ ii ）设 P（X=k）最大，则，即，解得 4771.4772k4772.4772kN* ， 使 P（ X=k）取最大值时的整数k=4772【解析】第14 页，共 19页（1）由已知求得 、值，再由 P（T1.3）=P（T-）求解；（2）（i）求出P（2 T3.4），依题意 X 服从 B（10000，0.4772），则该商家所发广告总费用的平均估 计值可求；项求解使 P（X=k ）取（ii ）由二 分布求得 P（X=k ），再由最大值时的整数 k 的值本题考查正态分布曲线的特点及曲 线所表示的意 义，考查正态分布中两个量和 的应用，考查曲线的对称性，属于中档题 19.

24、【答案】 证明：（ 1）如图，作 RtABD 斜边 BD 上的高 AE，连结 CE因为 BA=BC，BAD=BCD=90 ，所以 RtABD RtBCD 可得 CEBD 所以 BD平面 AEC，故BD AC （ 6 分）解：（ 2）在 RtABD 中，因为 BA=2， ABD =60，所以BD=4，AEC 的面积因为 BD平面 AEC，四面体ABCD 的体积 2，所以，sinAEC=1 ，AEC =90，所以 AE 平面 BCD （ 8分）以，为 x， y，z 轴建立空间直角坐标系O-xyz则， B（1， 0， 0）， D （-3， 0， 0），设 =（ x1， y1， z1）是平面 BAC

25、的法向量，则，即，可取=（， 1， 1）设=（ x2， y2， z2）是平面DAC 的法向量，则，即，可取=（ -1，）第15 页，共 19页因为 cos =，二面角 B-AC -D 的平面角为钝角，所以二面角B-AC-D 的余弦值为 （ 12分）【解析】（1）作RtABD 斜边BD连结导上的高 AE ，CE，推 出 CEBD ，从而 BD平证明 BDAC面 AEC ，由此能（2）推导出 AE平面 BCD ，以，为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz利用向量法能求出二面角 B-AC-D 的余弦值本题考查线线垂直的证查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、明，考线间的位置关系等基础知识

26、查查函数与方程面、面面，考 运算求解能力，考思想，是中档题20.【答案】 解：（1）椭圆C：的a=2，b=，c=1，易知，由3+= ，可得点 M 的纵坐标为由点 M 在上 C，得 M 的横坐标为从而 l 方程为，令 y=0 得，点 P 的坐标为 （5 分）（2）由题意可设P（ n， 0）（ -2n2）， l ： x=my+n（m0），与联立，可得（ 3m2+4） y2+6mny+3n2-12=0， =48（ 3m2 -n2+4） 0设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），则由 3 + = ，得 y2=-3y1，所以，因为，所以，得OMN 的面积=，当且仅当时等号成立，此时，满足 0因

27、为，所以，第16 页，共 19页故点 P 的坐标为 （12 分）【解析】（1）求得椭圆的 a，b，c，可得 N 的坐标，由向量共线定理可得 M 的坐标，求得直线 l 的方程，可令 y=0，即有 P 的坐标；（2）由题意可设 P（n，0）（-2n2），l：x=my+n （m0），与椭圆方程联立，运用韦达定理和三角形的面 积公式，结合向量共 线定理和基本不等式即可得到所求最大值时 P的坐标本题考查椭圆方程和运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和三角形的面 积公式，向量共线定理，考查化简整理的运算能力，属于中档 题21.f（ x） =2ex-kx-2，则 f（ x） =2ex-k【答案】

28、解：（ 1）根据题意，函数当 k0时， f（ x） 0，f （x）上（ -， +）单调递增当 k 0 时，若 f（ x） 0，则，若 f（ x） 0，则；所以 f（ x）在单调递增，在上单调递减；（ 2）根据题意，分2 种情况讨论：，若 k2， f（ x）在（ 0， +）内单调递增，当 x 0 时， f（ x） f（ 0）=0，所以 |f（ x）|=f（ x），|f（x）| 2x 即 2ex-（ k+2）x-2 0xx设 g（ x）=2e -（ k+2 ）x-2， g（ x）=2e -（ k+2）若 k0，x 0 时， g（ x） g（ 0） 0，g（ x）在（ 0，+）单调递增所以当x 0

29、时，g（ x） g（ 0） =0，故存在正数 a，使得当0 x a 时， |f（ x） | 2x若 0 k2，当时， g（ x） 0， g（ x）在单调递减，因为 g（ 0） =0 ，所以 g（ x） 0故不存在正数a，使得当0 x a 时， |f （ x） | 2x，若 k2， f（ x）在单调递减，因为f（ 0） =0，所以存在x0，使得当x（ 0， x0）时， f （x） 0， |f（ x） | 2x 可化为 -f（ x） 2x，即x2e -（ k-2） x-2 0设 h（ x）=2ex-（ k-2） x-2， h（ x） =2ex-（ k-2）若 2 k4，则 x0 时， h（x） 0，h（ x）在（ 0， +）单调递增，又 h（ 0）=0