高中数学参数方程大题(带答案)(二)

1、参数方程极坐标系解答题1已知曲线C：+=1，直线 l：（ t 为参数）（ ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程（ ）过曲线 C 上任意一点P 作与 l 夹角为 30的直线，交l 于点 A ，求 |PA|的最大值与最小值考点 ：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系专题 ：坐标系和参数方程分析：（ ）联想三角函数的平方关系可取x=2cos 、y=3sin 得曲线 C 的参数方程，直接消掉参数t 得直线 l 的普通方程；（ ）设曲线C 上任意一点P（ 2cos， 3sin）由点到直线的距离公式得到P 到直线 l 的距离，除以sin30进一步得到 |PA|，化积后由三角函数的范围求得|P

2、A|的最大值与最小值解答：解：（ ）对于曲线C：+=1 ，可令 x=2cos 、 y=3sin ，故曲线 C 的参数方程为，（ 为参数）对于直线l：，由 得： t=x 2，代入 并整理得： 2x+y 6=0；（ ）设曲线C 上任意一点P（ 2cos， 3sin）P 到直线 l 的距离为则，其中 为锐角当 sin（ +）= 1 时， |PA|取得最大值，最大值为当 sin（ +）=1 时， |PA|取得最小值，最小值为点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题2已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐

3、标方程为：，曲线 C 的参数方程为：（ 为参数）（ I）写出直线 l 的直角坐标方程；（ ）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值考点 ：参数方程化成普通方程专题 ：坐标系和参数方程分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线 C 的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解解答：解：（ 1） 直线 l 的极坐标方程为：，（sincos） =， x y+1=0 （2）根据曲线C 的参数方程为：（ 为参数）得（ x 2） 2+y2=4 ，它表示一个以（2， 0）为圆心，以2 为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，曲线 C 上的点到直线l

4、 的距离的最大值=点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题3已知曲线C1：（ t 为参数），C2：（ 为参数）（ 1）化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（ 2）若 C1 上的点 P 对应的参数为t=， Q 为 C2 上的动点，求PQ 中点 M 到直线 C3：（ t 为参数）距离的最小值考点 ：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程专题 ：计算题；压轴题；转化思想分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1 表示一个圆；曲线C2 表示一个椭圆；（2）把 t 的值代入曲线 C1的

5、参数方程得点 P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2 的参数方程设出 Q 的坐标， 利用中点坐标公式表示出M 的坐标， 利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值解答：（t 为参数）化为普通方程得： （x+4 ） 2+（ y 3） 2=1，解：（ 1）把曲线 C1：所以此曲线表示的曲线为圆心（4， 3），半径 1 的圆；把 C2：（ 为参数） 化为普通方程得：+ =1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴为 8，短半轴为 3 的椭圆；（2）把 t=代入到曲线 C1 的

6、参数方程得： P（ 4， 4），把直线 C3：（t 为参数）化为普通方程得：x 2y 7=0，设 Q 的坐标为 Q（ 8cos， 3sin），故 M （ 2+4cos， 2+ sin）所以 M 到直线的距离d=，（其中 sin=， cos=）从而当 cos=， sin =时， d 取得最小值点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题4在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为，直线 l 的参数方程为（t 为参数），直线 l 和圆 C 交于 A ，B 两点， P

7、是圆 C上不同于 A ， B 的任意一点（ ）求圆心的极坐标；（ ）求 PAB 面积的最大值考点 ： 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程专题 ： 坐标系和参数方程分析：（ ）由圆 C 的极坐标方程为2，把，化为 =代入即可得出（II ）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得 |AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出解答：C 的极坐标方程为2，解：（ ）由圆，化为 =把代入可得：圆C 的普通方程为x2+y 2 2x+2y=0 ，即（ x 1）2+（ y+1 ）2=2圆心坐标为（ 1， 1），圆心极坐标为；（ ）由直线l 的参数

8、方程（ t 为参数），把 t=x 代入 y= 1+2t 可得直线l 的普通方程：，圆心到直线l 的距离，|AB|=2=，点 P 直线 AB 距离的最大值为，点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5在平面直角坐标系xoy 中，椭圆的参数方程为为参数）以 o 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值考点 ：椭圆的参数方程；椭圆的应用专题 ：计算题；压轴题分析：由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为将椭圆和直线先化

9、为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值解答：解：将化为普通方程为（ 4 分）点到直线的距离（ 6 分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为（ 10 分）点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题6在直角坐标系xoy 中，直线 I 的参数方程为（ t 为参数），若以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=cos（+）（ 1）求直线 I 被曲线 C 所截得的弦长；（ 2）若 M （ x， y）是曲线 C 上的动点，求 x+y 的最大值考点 ：

10、参数方程化成普通方程专题 ：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程分析：（1）将曲线 C 化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长（2）运用圆的参数方程，设出M ，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值解答：解：（ 1）直线 I 的参数方程为（t 为参数），消去 t，可得， 3x+4y+1=0 ；由于 =cos（ +） =（），222x+y=0，其圆心为（，），半径为 r=，即有 =cos sin，则有 x +y圆心到直线的距离d=，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（ 为参数），则设M （，），则 x+y=由于 R，

11、则x+y的最大值为=sin （1），点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题7选修 4 4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy ，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线 C 的极坐标方程为（ ）写出点 P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；（ ）若 Q 为 C 上的动点，求PQ 中点 M 到直线 l：（ t 为参数）距离的最小值考参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程点：专坐标系和参数方程题：分（ 1）利用 x= cos， y= sin即可得出；析： （ 2）利用中点坐标公

12、式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，解解 （ 1） P 点的极坐标为，答：=3，= 点 P 的直角坐标222， y= sin代入可得，即把 =x +y 曲线 C 的直角坐标方程为（ 2）曲线 C 的参数方程为（ 为参数），直线 l 的普通方程为 x 2y 7=0设，则线段 PQ 的中点那么点 M 到直线 l 的距离.， 点 M 到直线 l 的最小距离为点 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的评： 单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题8在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程（ 为参数）以 O 为

13、极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（ ）求圆 C 的极坐标方程；（ ）直线 l 的极坐标方程是（sin +）=3，射线 OM ： =与圆 C 的交点为O， P，与直线l 的交点为Q，求线段 PQ 的长考点 ： 简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系专题 ： 直线与圆分析：（I）圆 C的参数方程（ 为参数）消去参数可得： （ x 1）2+y 2=1把 x= cos， y= sin代入化简即可得到此圆的极坐标方程（II ）由直线 l 的极坐标方程是（ sin+）=3，射线 OM ：= 可得普通方程： 直线 l，射线 OM分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出解答：解：

14、（ I）圆 C 的参数方程（ 为参数）消去参数可得： （ x1） 2+y2 =1把 x= cos，y= sin代入化简得： =2cos，即为此圆的极坐标方程（II ）如图所示，由直线l 的极坐标方程是（ sin+） =3，射线OM ： =可得普通方程：直线l，射线OM联立，解得，即 Q联立，解得或P|PQ|=2点评：本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题9在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为（ 为参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为sin（ +）

15、 =4（ 1）求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程；（ 2）设 P 为曲线 C1 上的动点，求点 P 到 C2 上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标考点 ：简单曲线的极坐标方程专题 ：坐标系和参数方程分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=cos、 y=sin，把极坐标方程化为直角坐标方程（2）求得椭圆上的点到直线 x+y 8=0 的距离为，可得 d 的最小值，以及此时的的值，从而求得点P的坐标解答：解：（ 1）由曲线 C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线 C1的普通方程为：由曲线 C2：得：，即 sin

16、+cos=8，所以 x+y 8=0，即曲线 C2的直角坐标方程为：x+y 8=0 （2）由（ 1）知椭圆 C1 与直线 C2 无公共点，椭圆上的点到直线 x+y 8=0 的距离为，当时， d 的最小值为，此时点P 的坐标为点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题10已知直线l 的参数方程是（ t 为参数），圆 C 的极坐标方程为=2cos（ +）（ ）求圆心 C 的直角坐标；（ ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值考点 ：简单曲线的极坐标方程专题 ：计算题分析：（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C 的极

17、坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用222C 的直角坐标cos=x ， sin=y ， =x +y ，进行代换即得圆 C 的直角坐标方程，从而得到圆心（II ）欲求切线长的最小值，转化为求直线l 上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可解答：解：（ I） ，圆 C 的直角坐标方程为，即， 圆心直角坐标为（ 5 分）（II ） 直线 l 的普通方程为，圆心 C 到直线 l 距离是，直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是（ 10 分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极

18、坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化11在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为，（ t 为参数），曲线 C1 的方程为 （ 4sin） =12 ，定点 A （ 6， 0），点 P 是曲线 C1 上的动点， Q 为 AP 的中点（ 1）求点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程；（ 2）直线 l 与直线 C2 交于 A ，B 两点，若 |AB| 2，求实数 a 的取值范围考点 ： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程专题 ： 坐标系和参数方程分析：（1）首先，将曲线

19、C1 化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围解答：解：（ 1）根据题意，得22 4y=12，曲线 C1 的直角坐标方程为： x +y设点 P（ x， y）， Q（ x， y），根据中点坐标公式，得，代入 x2+y 2 4y=12 ，得点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程为： （ x3） 2+（ y 1） 2=4，（ 2）直线 l 的普通方程为： y=ax ，根据题意，得，解得实数a 的取值范围为：0， 点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、 直线的参数方程， 直线与圆的位

20、置关系等知识， 考查比较综合， 属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解12在直角坐标系xoy中以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系圆 C1，直线C2 的极坐标方程分别为=4sin ，cos（） =2（ ）求C1 与 C2 交点的极坐标；（ ）设 P 为 C1 的圆心， Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为（ tR 为参数），求 a，b 的值考点 ：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程专题 ：压轴题；直线与圆分析：（I）先将圆 C1，直线 C2 化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可

21、；（II ）由（ I）得， P 与 Q 点的坐标分别为（0， 2），（1， 3），从而直线 PQ 的直角坐标方程为xy+2=0 ，由参数方程可得 y=x+1，从而构造关于a， b 的方程组，解得 a， b 的值解答：解：（ I）圆 C1，直线 C2 的直角坐标方程分别为x2+（ y2） 2=4， x+y 4=0 ，解得或，C与 C 交点的极坐标为（4，）（ 2，）12（II ）由（ I）得， P 与 Q 点的坐标分别为（0， 2），（1， 3），故直线 PQ 的直角坐标方程为x y+2=0 ，由参数方程可得y=x +1，解得 a= 1，b=2 点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把

22、参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题13在直角坐标系xOy 中， l 是过定点 P（ 4， 2）且倾斜角为 的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为 =4cos（ ）写出直线 l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；（ ）若曲线 C 与直线相交于不同的两点M 、 N，求 |PM|+|PN|的取值范围解答：解：（ I）直线 l 的参数方程为（ t 为参数）2曲线 C 的极坐标方程 =4cos可化为 =4 cos把 x= cos，y= sin代入曲线 C 的极坐标方程可得 x2+y2=4x，即（ x

23、 2） 2+y 2=4（II ）把直线 l 的参数方程为（ t 为参数）代入圆的方程可得：t2+4（ sin+cos） t+4=0 曲线 C 与直线相交于不同的两点M、 N， =16 （ sin+cos）2 16 0，sincos0，又 0，），又 t1+t2= 4（ sin+cos）， t1t2=4|PM|+|PN|=|t 1|+|t2|=|t1+t 2|=4|sin+cos|=， ，|PM|+|PN| 的取值范围是点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题14在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（ t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴

24、建立极坐标系， C 的极坐标方程为=2sin（ ）写出 C 的直角坐标方程；（ ）P 为直线 l 上一动点，当P 到圆心 C 的距离最小时，求P 的直角坐标考点 ： 点的极坐标和直角坐标的互化专题 ： 坐标系和参数方程分析：2，把代入即可得出； （I）由 C 的极坐标方程为 =2 sin化为 =2（II ）设 P，又 C利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出解答：解：（ I）由 C 的极坐标方程为=2sin 222，=2，化为 x +y =配方为=3（II ）设 P，又 C|PC|=2 ，因此当 t=0 时， |PC|取得最小值 2此时 P（ 3，0）点评：本题考查

25、了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15已知曲线C1 的极坐标方程为=6cos，曲线 C2 的极坐标方程为=（ pR），曲线 C1，C2 相交于 A， B 两点（ ）把曲线 C1， C2 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（ ）求弦 AB 的长度考点 ：简单曲线的极坐标方程专题 ：计算题分析：（ ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用C1 的直角坐标方程（ ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（长度解答：解：（ ）曲线 C2：（ pR）表示直线 y=x，2cos曲线 C1： =6cos，即 =62222所以 x +y

26、=6x 即（ x3） +y =9222C2 及曲线cos=x ，sin=y ，=x+y ，进行代换即得曲线3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB 的（ ） 圆心（ 3， 0）到直线的距离，r=3 所以弦长 AB=弦 AB 的长度点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题16在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的极坐标方程为sin（ +） =，圆 C 的参数方程为，（ 为参数， r 0）（ ）求圆心 C 的极坐标；（ ）当 r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3考点 ：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系专题 ：计算题分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去 可得曲线 C 的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可（2）