九级数学下册 第二章 二次函数 2 二次函数的图象与性质教学课件 （新版）北师大版

1、教学课件,数学 九年级下册 北师大版,第二章 二次函数,2 二次函数的图象与性质 （第 1 课时）,在二次函数 y=x2 中，y 随 x 的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗?,（1）观察 y=x2 的表达式，选择适当的 x 值，并计算相应的 y 值，完成下表：,画二次函数 y=x2 的图象.,想一想,（2）在下面的直角坐标系中描点.,y=x2,（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数 y=x2 的图象.,议一议,对于二次函数 y=x2 的图象. （1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流. （2）图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ （3）当 x 0 呢？ （4）当

2、x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？ （5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流.,这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.,对称轴与抛物 线的交点叫做抛 物线的顶点.,二次函数 y=x2 的 图象形如物体抛射 时所经过的路线，我 们把它叫做抛物线.,当 x0 （在对称轴的右侧）时, y 随着 x 的增大而增大.,抛物线 y=x2 在 x 轴的上方（除顶点外），顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展.当 x=0 时，函数 y 的值最小，最小值是0.,二次函数 y=-x2 的图象是什么形状？先想一想，再画出它的图象它

3、与二次函数 y=x2 的图象有什么关系？与同伴交流.,你能根据表格中的数据作出猜想吗？,做一做,x,y,O,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-10,-8,-6,-4,-2,2,描点，连线,y=-x2,（1）完成下表：,画二次函数 y=2x2 的图象.,（2）在图中画二次函数 y=2x2 的图象.,下面接着讨论形如 y=ax2 ，y=ax2 +c 的图象和性质.,y=2x2,想一想,（3）二次函数 y=2x2 的图象是什么形状？它与二次函数 y=x2 的图象有什么不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？,画出二次函数 y= x2 的图象，它与 y=x2，y=2x2 的图象有什么相

4、同和不同？,想一想,画出二次函数 y=2x2 +1 的图象，你是怎样画的？与同伴交流.,做一做,二次函数 y=2x2 +1 的图象与二次函数 y=2x2 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 二次函数 y=2x2 - 1 的图象呢？,议一议,二次函数 y=2x2 ，y=2x2 +1 ， y=2x2 - 1 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同.将函数 y=2x2 的图象向上平移 1 个单位长度，就得到函数y=2x2 +1 的图象；将函数 y=2x2 的图象向下平移 1个单位长度，就得到函数 y=2x2 - 1 的图象.,1.抛物线 y=ax2

5、的顶点是原点，对称轴是 y 轴. 2.当 a0 时，抛物线 y=ax2 在 x 轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展； 当 a0 时，抛物线 y=ax2 在 x 轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展.,二次函数 y=ax2 的性质,3. 当 a0 时，在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而减小；在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增大. 当 x=0 时，函数 y 的值最小. 当 a0 时，在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着 x 的增大而减小. 当 x=0 时，函数 y 的值最大.,1.已知抛物线 y=ax2经过点A（-2，-8）

6、. （1）求此抛物线的函数解析式. （2）判断点 B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.,例题解析,解：（1）把（-2，-8）代入 y=ax2， 得 -8=a（-2）2，解得 a=-2. 所求函数的解析式为 y=-2x2. （2）因为 -2（-1）2 =-2-4， 所以点 B（-1 ，-4）不在此抛物线上. （3）由 -6=-2x2 ，得 x2=3， 所以纵坐标为 -6 的点有两个，它们分别是 （- ，-6）和（ ，-6）.,2.填空： （1）抛物线 y=2x2 的顶点坐标是 ， 对称轴是 ，在 侧，y 随着 x 的增大而增大；在 侧，y 随着 x

7、的增大而减小，当 x= 时，函数 y 的值最小，最小值是 ，抛物线 y=2x2 在 x 轴的 方（除顶点外）.,（0，0）,y 轴,对称轴的右,0,0,上,对称轴的左,（2）抛物线 y=- x2 在 x 轴的 方（除顶点外），在对称轴的左侧，y 随着 x 的 ，在对称轴的右侧，y 随着 x 的 ，当 x=0 时，函数 y 的值最大，最大值是 ，当 x 0时，y0.,下,增大而增大,增大而减小,0,由二次函数 y=x2 和 y=-x2 的图象，知,1.抛物线 y=ax2 的顶点是原点，对称轴是 y 轴. 2.当 a0 时，抛物线 y=ax2 在 x 轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无

8、限伸展； 当 a0 时，抛物线 y=ax2 在 x 轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展.,3. 当 a0 时，在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而减小；在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增大. 当 x=0 时，函数 y 的值最小. 当 a0 时，在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着 x 的增大而减小. 当 x=0 时，函数 y 的值最大.,第二章 二次函数 2 二次函数的图象与性质 （第 2 课时）,我们已经认识了二次函数 y=2x2 的图象， 那么二次函数 y=2（x-1）2 的图象与 y=2x2 的图象有什么关系？,议一议,（1）完成下

9、表，并比较 2x2 和 2（x-1）2 的值，它们之间有什么关系?,做一做,画出二次函数 y=2（x-1）2 的图象.,你是怎样画出的？与同伴交流.,（2）在同一坐标系中作出二次函数 y=2x2 和 y=2（x-1）2 的图象,二次函数 y=2（x-1）2 的图象与 y=2x2 的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？,议一议,二次函数 y=2（x-1）2 与 y=2x2 的图象形状相同，可以看作是将抛物线 y=2x2 整体沿 x 轴向右平移了 1 个单位长度.,图象是轴对称图形，对称轴是平行于 y 轴的直线：x=1.,二次项系数相同，都是 a0，开口都向上.,顶点坐标是点

10、（1，0）.,类似地，你能发现二次函数 y=2（x+1）2 的图象与 y=2x2 的图象有什么关系吗?,当 x 取哪些值时，函数 y=2（x-1）2 的值随 x 值的增大而增大？当 x 取哪些值时，函数 y=2（x-1）2 的值随 x 的增大而减少？,顶点是最低点，函数有最小值. 当 x=1 时，最小值是 0.,二次函数 y=2（x-1）2 与 y=2x2 的增减性类似.,在对称轴（直线：x=1）的左侧，即 x1 时，函数 y=2（x-1）2 的值随 x 的增大而减少.,在同一直角坐标系中作出二次函数 y=2（x+1）2 的图象，它的增减性会是什么样?,想一想,二次函数 y=2x2 ， y=2

11、（x-1）2 ， y=2（x+1）2 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同. 将函数 y=2x2 的图象向右平移 1 个单位长度，就得到函数 y=2（x-1）2 的图象；将函数 y=2x2 的图象向左平移 1 个单位长度，就得到函数 y=2（x+1）2 的图象.,由二次函数 y=2x2 的图象，你能得到二次函数 y=2x2 - ，y= 2（x+3）2 ， y= 2（x+3）2 - 的图象吗？你是怎样得到的？与同伴交流.,想一想,函数 y=a（x-h）2+k 与 y=ax2 的图象有什么关系？,议一议,一般地，平移二次函数 y=ax2 的图象便可得到二次函数 y=a（x-h）2+k 的图

12、象. 因此，二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表：,二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象和性质,1. 顶点坐标与对称轴. 2. 位置与开口方向. 3. 增减性与最值.,根据图形填表：,1. 指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y= 2（x+3）2 - ； （2）y= - （x+1）2 - 5 .,2.（1）二次函数 y= 3（x+1）2 的图象与二次函数y= 3x2 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？ （2）二次函数 y= -3（x-2）2+4 的图象与二次函数 y= -3x2 的图象

13、有什么关系？ 对于二次函数 y= 3（x+1）2，当 x 取哪些值时，y的值随 x 值的增大而增大？当 x 取哪些值时，y 的值随 x 值的增大而减小？二次函数 y= 3（x+1）2+4 呢?,1. 相同点： （1）形状相同（图像都是抛物线，开口方向相同）. （2）都是轴对称图形. （3）都有最（大或小）值.,二次函数 y=a（x-h）2+k 与 y=ax2 的关系,（4）当 a0 时，开口向上，在对称轴的左侧，y 都随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 都随 x 的增大而增大. 当 a0 时，开口向下，在对称轴的左侧，y 都随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 都随 x 的增大而减小

14、 .,2. 不同点： 只是位置不同. （1）顶点不同：分别是（h，k）和（0，0）. （2）对称轴不同：分别是直线 x= h 和 y 轴. （3）最值不同：分别是 k 和 0.,3. 联系： y=a（x-h）2+k 的图象可以看成是将 y=ax2 的图象先沿 x 轴整体向左（右）平移 |h| 个单位长度（当 h0 时，向右平移；当 h0 时，向上平移；当 k0 时，向下平移）得到的.,第二章 二次函数 2 二次函数的图象与性质 （第 3 课时）,引入新知,我们已经认识了形如 y=a（x-h）2+k 的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数 y=2x2 -4x+5 的图象和性质吗？,例题解析,例

15、 1 求二次函数 y=2x2 -8x+7 图象的对称轴和顶点坐标.,提取二次项系数,配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项,化简：去掉中括号,解:,因此，二次函数 y=2x2 -8x+7 图象的对称轴是直线 x=2，顶点坐标为（2，-1）.,做一做,确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标. （1） y=3x2-6x+7； （2）y=2x2-12x+8.,例题解析,例 2 求二次函数 y=ax2+bx+c 图象的对称轴和顶点坐标.,老师提示： 这个结果通常称为求顶点坐标公式.,顶点坐标公式：,因此，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象是一条抛物线

16、.,根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （1）y=2x2-12x+13； （2）y=-5x2+80 x-319； （3）y=2（x- ）（x-2）； （4）y=3（2x+1）（2-x）.,如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状. 按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示 y=0.0225 x2 + 0.9 x +10，而且左、右两条抛物线关于 y 轴对称,（1）钢缆的最低点到桥面的距离是少？ （2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？,做一做,（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流. 可以将函数 y=0.0225 x2 +0.9 x +10 配方，求得顶点坐标，从而获得钢缆的最低点到桥面的距离.,（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流.,想一想，你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?,1. 相同点： （1）形状相同（图象都是抛