沪教版高一下册数学反三角函数反正弦函数教案高一下学期

1、做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。6.4反三角函数（1）反正弦函数1理解函数y=sinx（xr）没有反函数；理解函数y=sinx，x-p【教学目标】2，p2有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是-1，1，值域是-p可以选取闭区间-pp,，使得y=sinx在p，.222知道反正弦函数y=arcsinx，x-1，1的图像.3掌握等式sin（arcsinx）=x，x-1，1和arcsin（-x）=-arcsinx，x-1，1.4能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角5会用数形结合等数学思想分析和思考问题.【教学重点与难点】教学重点：理解反正弦函数

2、概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点：反正弦函数y=arcsinx,x-1,1的产生和从本质上处理正弦函数y=sinx(xr)的反函数问题.【教学过程】一、情景引入1复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），xd，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域d中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的.2思考那么正弦函数是否存在反函数呢？说明因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.3讨

3、论正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得y=sinx在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得y=sinx存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）y=sinx在所取区间上存在反函数；（2）能取到y=sinx的一切函数值-1,1.22该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习p2xyy=arcsiny=x的反正弦函数.1y=sinxo1p2x做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。二、学习新课1概念辨析（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx，x-y=arcsinx，x-1，1.

4、（2）反正弦函数的性质：图像；定义域-1，1；p2，p2的反函数叫做反正弦函数，记作值域-p2，p2；奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x-1，1；单调性：增函数。说明互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称，函数y=sinx，x-p，p22与函数y=arcsinx，x-1，1的图像关于直线2例题分析例1求下列反正弦函数的值：y=x对称.（1）arcsin123；（2）arcsin0；（3）arcsin（-）262=6-2，所以arcsin1p解：（1）因为sinp1，且pp2，p=.262，（2）因为sin0=0，且0-pp2，所以arcsin0=0.3）=-3（3

5、）因为sin（-p23pppp，且-，所以arcsin（-）=-.23223（1）sinx=2（2）sinx=-1例2用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：pp，x-，；322pp，x-，；522做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。（3）sinx=-33，x-，0.2，2，由定义，可知x=arcsin22，解：（1）因为x-p（2）因为x-pp3p2，由定义，可知x=arcsin（-；11）=-arcsin；552，0上，由定义，可知x=arcsin（-3（3）在区间-p3）=-arcsin；33在区间-，-p233上，由诱导公式，可知x=-+arcsin，满足sinx=-.因此33x=arcsi

6、n33或x=-+arcsin.337）；（2）arcsin（sin4p例3化简下列各式：（1）arcsin（sinp5）；*（3）arcsin（sin20070）7-解：（1）因为pp2，p2，设sinp7=，所以arcsin=p7，即arcsin（sinp7）=p7.（2）因为4ppppppp4pp4p-，而-，且sin=sin，设sin=sin=，52252255554pp所以arcsin（sin）=arcsin（sin）=55arcsin=p5.（3）因为sin20070=sin（53600+2070）=sin2070=sin（1800+270）=-sin270所以arcsin（sin2

7、0070）=arcsin（-sin270）=-arcsin(sin270)=-270.例4求函数f（x）=2arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.解：设y=2arcsin2x，则ypp=arcsin2x，因为2x-1，1，arcsin2x-，所以x22211y1y-，y-，根据反正弦函数的定义，得2x=sin，x=sin，将x，y222221x11互换，得反函数f-1（x）=sin，定义域是-，值域是-，.2222又因为arcsin（-x）-p2，3p例2设xp做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。3问题拓展例1证明等式：arcsin（-x）=-arcsinx，x-1，1

8、证明：x-1，1，-x-1，1sinarcsin（-x）=-x，sin（-arcsinx）=-sin（arcsinx）=-xppppp，-arcsinx-，且正弦函数在-，上单222222调递增，所以arcsin（-x）=-arcsinx，x-1，1.说明这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.1，sinx=，用反正弦函数值表示x.23解：因为xp3ppp，所以（-x）-，又sin（-x）=sinx，得sin（-x）22222，111=，于是-x=arcsin，x=-arcsin.333说明对于用反正弦函数值表示区间-pp2外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习.以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.三、巩固练习判断下列各式是否成立?简述理由.（1）arcsin33ppp=；（2）arcsin=；（3）arcsin1=2k+，kz；（4）arcsin23322（-）=-arcsin；（5）sin（arcsin2）=2；（6）arcsin=.ppp13362（解：1）式成立；2）、4）、5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为-1，1；（3）式仅当k=0时成立，k取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为-