信号处理-习题(答案)

1、.数字信号处理习题解答第二章 数据采集技术基础2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率s=6，采样后经理想低通滤波器Ha(j)还原，其中现有两个输入，x1(t)=cos2t，x2(t)=cos5t。试问输出信号y1(t)，y2(t)有无失真？为什么？分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率s必须大于等于信号谱最高角频率h的2倍，即满足s2h。解：已知采样角频率s=6，则由香农采样定理，可得因为x1(t)=cos2t，而频谱中最高角频率，所以y1(t)无失真；因为x2(t)=cos5t，而频谱中最高角频率，所以y2(t)失真。2.2 设模拟信号x(t)=3cos2000t +5s

2、in6000t +10cos12000t，求：（1） 该信号的最小采样频率；（2） 若采样频率fs=5000Hz，其采样后的输出信号；分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。采样定理采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率fs不小于其最高频率fm的两倍，即fs2fm采样公式解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是f1=1000Hz，f2=3000Hz，f3=6000Hz信号的最高频率fm=6000Hz由采样定理fs2fm，得信号的最小采样频率fs=2fm =12kHz（2）由于采样频率fs=5kHz，则采样后的输出信号说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz和2kHz的频率成分，即若由理

3、想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号可见，恢复后的模拟信号y(t) 不同于原模拟信号x(t)，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果。第三章 傅里叶分析I. 傅里叶变换概述3.1 习题3.2设序列x(n)=(n-m)，求其频谱X(ej)，并讨论其幅频和相频响应分析：求解序列的频谱有两种方法：先求序列的z变换X(z)，再求频谱，即X(ej)为单位圆上的z变换；直接求序列的傅里叶变换解：对序列x(n)先进行z变换，再求频谱，得则若系统的单位采样响应h(n)=x(n)，则系统的频率响应故其幅频和相频响应（如图）分别为幅频响应 相频响应 ()H(ej)1由

4、图可见，该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点。3.2 设x(n)的傅里叶变换为X(ej)，试利用X(ej)表示下列序列的傅里叶变换：（1）（2）分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即， 解：（1）由于，则故（2）由于故3.3 设X(ej)是如图所示的信号x(n)的傅里叶变换，不必求出X(ej)，试完成下列计算：（1）（2）（3）分析：利用序列傅里叶变换的定义以及帕塞瓦定理来求解。（1） 序列的傅里叶变换公式为：正变换 反变换 （2） 帕塞瓦定理解：（1）由傅里叶正变换公式可知=0，则（2）由于ej0=1，则由傅里叶反变换公式可知n=0，故（3） 由帕塞瓦定理，得II. 周

5、期序列的离散傅里叶级数（DFS）3.4 如图所示，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。分析：利用DFS的定义求解，即，其中k = 0 (N-1)解：已知N = 6，则由DFS的定义得对上式依次取k = 0 5，计算求得3.5 设，令，试求与的周期卷积。分析：可以利用列表法求解，直观方便。由于只要将列表中对应于某个n的一行中的值和第一行中与之对应的值相乘，然后再将所有乘积结果相加，就得到此n的值解：注意：本题需要利用下一节中有限序列与周期序列的关系以及序列循环移位的概念。在一个周期（N=6）内的计算卷积值则与的周期卷积值（n=05）如下表所示：III. 离散傅里叶变换（D

6、FT）3.6 已知x(n)如图所示，为1，1，3，2，试画出序列x(-n)5，x(-n)6 R6(n)，x(n)3 R3(n)，x(n)6， x(n-3)5R5(n) 和x(n)7 R7(n)的略图。分析：此题需注意周期延拓的数值，也就是x(n)N中N的数值。如果N比序列的点数多，则需补零；如果N比序列的点数少，则需将序列按N为周期进行周期延拓，造成混叠相加形成新的序列。解：各序列的略图如图所示。3.7 试求下列有限长序列的N点离散傅里叶变换（闭合形式表达式）：（1）（2）（3）（4）分析：利用有限长序列的DFT的定义，即解：（1）因为，所以（2）因为，所以（3）由，得注意：为了便于求解，必须

7、利用代数简化法消除掉上式中的变量n。所以（4）注意：本题可利用上题的结论来进行化简。由，则根据第（3）小题的结论：若则与上题同理，得所以3.8 试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积。分析：本题可以直接利用循环卷积的公式求解，也可以利用循环移位的概念来求解，即：有限长序列x(n)左移m（m为正整数）位的循环移位定义为且移位时，在主值区间（n=0N-1）内，当某序列值从区间的一端移出时，与它同值的序列值又从区间的另一端移入。解：由循环卷积的定义，可知则根据循环移位的概念，将序列x1(n)循环右移3个单位后乘以3并取其主值序列（n=05）即可，其结果如图所示。3.9 如图所示的5点序列x(n)，

8、试画出：（1） x(n)*x(n)（2） x(n)x(n)（3） x(n)x(n)分析：本题可由图解法来计算循环卷积，并利用循环卷积来求解线性卷积。同时应注意循环卷积代替线性卷积的条件：设两个有限长序列x(n)、h(n)的点数分别为N和M，其循环卷积的长度为L，则要用循环卷积代替线性卷积的条件是：循环卷积的长度L必须不小于线性卷积的长度N+M-1，即LN+M-1否则，在循环卷积周期延拓时会产生混叠。解：由于x(n)是5点序列，所以x(n)* x(n)是5+5-1=9点序列，因此，x(n) x(n)的前9个点（n=0，1，8）就是x(n)* x(n)值，后一个点（n=9）为零，因为L点循环卷积等

9、于线性卷积结果的L点周期延拓、混叠相加后的主值区间内的序列（L可以是任意整数值）。其运算结果分别如图（a）、（b）、（c）所示。3.10 已知两个有限长序列为试作图表示x(n)，y(n)以及f(n) =x(n)y(n)。分析：直接利用循环卷积公式或图解法求解。解：其结果如图所示。3.11 习题3.10已知x(n)是N点有限长序列，且X(k) = DFTx(n)。现将它补零扩展成长度为rN点的有限长序列y(n)，即试求rN点DFTy(n)与X(k)的关系。分析：利用DFT定义求解。y(n)是rN点序列，因而结果相当于在频域序列进行插值。解：由可得 所以在一个周期内，Y(k)的采样点数是X(k)的

10、r倍（Y(k)的周期为rN），相当于在X(k)的每两个值之间插入r-1个其它的数值（不一定为零），而当k为r的整数l倍时，Y(k)与相等。3.12 习题3.12频谱分析的模拟信号以8kHz被采样，计算了512个采样点的DFT，试确定频谱采样之间的间隔，并证明你的回答。分析：利用频域采样间隔F0和时域采样频率fs以及采样点数N的关系fs=N F0。证：由得其中s是以角频率为变量的频谱周期，0是频谱采样之间的频谱间隔。又则对于本题有fs=8kHz，N=512所以 3.13 习题3.20设有一个频谱分析用的信号处理器，采样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力10Hz

11、，如果采用的采样时间间隔为0.1ms，试确定：（1） 最小记录长度；（2） 所允许处理信号的最高频率；（3） 在一个记录中的最小点数。分析：采样间隔T和采样频率fs满足fs=1/T，记录长度T0和频域分辨力F0的关系为T0=1/ F0，采样定理为fs2fh（fh为信号最高频率分量），一个记录中最少的采样总数N满足解：（1）因为T0=1/ F0，而F010Hz，所以即最小记录长度为0.1s。（2）因为，而fs2fh所以即允许处理信号的最高频率为5kHz。（3）又因N必须为2的整数幂所以一个记录中的最少点数为N=210=1024。IV. 快速傅里叶变换（FFT）3.14 如果一台通用计算机的速度为

12、平均每次复乘5s，每次复加0.5s，用它来计算512点的DFTx(n)，问直接计算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间？分析：直接利用DFT计算：复乘次数为N 2，复加次数为N(N-1)；利用FFT计算：复乘次数为，复加次数为；解：（1）直接计算复乘所需时间复加所需时间所以（2）用FFT计算复乘所需时间复加所需时间所以3.15 已知X(k)，Y(k)是两个N点实序列x(n)，y(n)的DFT值，今需要从X(k)，Y(k)求x(n)，y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。分析：我们来组成一个新的序列X(k)+jY(k)序列，则有它的实部即为实序列x(n)，虚部即为实

13、序列y(n)。解：依据题意，可知取序列对Z(k)作N点IFFT可得序列z(n)。又根据DFT线性性质由原题意可知，x(n)，y(n)都是实序列。再根据z(n) = x(n)+j y(n)，可得3.16 习题3.22, 3.23N=16时，画出基-2按时间抽取法（DIT）及按频率抽取法（DIF）的FFT流图（时间抽取采用输入倒位序，输出自然数顺序，频率抽取采用输入自然顺序，输出倒位序）。分析：DIF法与DIT法的异同：不同点：DIT与DIF的基本蝶形图不同，DIF的复数乘法出现在减法之后，DIT的复数乘法出现在减法之前；相同点：DIT与DIF的运算量是相同的；DIF法与DIT法的关系：它们的基本

14、蝶形是互为转置的。解：（1）按时间抽取（DIT）如图所示（2）按频率抽取（DIF）如图所示3.17 课堂思考题若是因果稳定序列，求证：证：设则由时域卷积定理，得即令上式的左右两边n=0，得又傅里叶反变换公式，得，则，所以3.18 课堂思考题在N=16时按时间抽取的基-2FFT算法中，若输入序列x(n)采用倒位序，输出序列X(k)采用自然数顺序，试写出输入序列x(n)的排列顺序，并简述理由。答：N=16的基-2FFT算法中，输入序列x(n)倒位序排列顺序为x(0)、x(8)、x(4)、x(12)、x(2)、x(10)、x(6)、x(14)、x(1)、x(9)、x(5)、x(13)、x(3)、x(

15、11)、x(7)、x(15)。其倒位序排序规则如表所示：自然顺序n自然顺序二进制数倒位序二进制数倒位序顺序000000000010001100082001001004300111100124010000102501011010106011001106701111110148100000011910011001910101001015111011110113121100001131141110011175第五章 时域分析5.1 随机相位正弦波式中，x0,均为常数，在02内随机取值，试求其自相关函数并作图。分析：利用自相关函数的定义求解，即解：由自相关函数的定义式，得可见，该随机相位正弦波的自相关

16、函数只与角频率有关，而不含相位信息，这表明：正弦函数的自相关函数为失去了相位信息的同频率余弦函数。其自相关函数图形如图所示。x02/2Rxx()5.2 两个随机相位正弦波式中，A0, B0, 均为常数，在02内的取值概率相同，即满足试求其互相关函数并作图。分析：利用互相关函数的定义求解，即解：由互相关函数的定义式，得可见，两个正弦函数的互相关函数仍为同频率的余弦函数，其最大峰值出现在=/处。Rxy()/其互相关函数图形如图所示。第六章 数字滤波器设计6.1 已知模拟滤波器的模方函数求模拟滤波器的传递函数。分析：利用模拟滤波器的模方函数|H(j)|2与其传递函数H(s)之间的关系式求解，即解：将

17、s=j，即2 = -s2代入|H(j)|2，得可见，系统有四个极点s1, 2=3，s3, 4=4和两对零点z1, 2=j2。为了得到一个稳定的滤波系统，则将左半平面的极点分配给H(s)；并取虚轴上的一对共轭零点作为H(s)的零点，以保证H(s)收敛，故模拟滤波器的传递函数为6.2 试设计一个巴特沃思（BW）低通模拟滤波器，使滤波器的幅度响应在通带截止频率105rad/s处的衰减不大于3 dB，在阻带截止频率4105 rad/s处的衰减不小于35 dB。分析：按照6.2中所述的巴特沃思低通滤波器的设计过程来实现。先确定滤波器的阶数N由于公式1则滤波器的阶数公式2注意：N为正整数且截止频率公式3求

18、解位于左半S平面上的极点公式4确定N阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数公式5解：先确定滤波器的阶数N由题意可知，p=105rad/s时，通带最大衰减p=3 dBs=4105rad/s时，阻带最小衰减s=35 dB则代入公式1，求得参数和将参数、p和s代入公式2，则滤波器的阶数将参数N、和p代入公式3，可得截止频率求解位于左半S平面上的极点将参数c和N代入公式4，得极点即确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H(s)将参数N、c和sk代入公式5，得巴特沃斯低通滤波器的传递函数（式中c=105rad/s）6.3 试导出二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设c =3 rad/s。分析：本题利用模方函数求出其左半

19、S平面极点，而求得系统函数。N阶巴特沃斯低通滤波器的模方函数定义为在上式中代入j= s，可得而H(s)H(-s)在左半S平面的极点即为H(s)的极点，因此其中，k0由来确定。注意：可以证明，系数k0=cN。解：对于二阶（N=2）巴特沃斯低通滤波器，其模方函数为令j= s，则有各极点满足则k=1, 2时，所得的sk位于左半S平面，即为H(s)的极点由以上两个极点构成的系统函数为代入条件，可得k0 =9 注：k0 =c2，故二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数6.4 试导出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设c =2 rad/s。分析：与习题6. 3同理，利用模方函数求出其左半S平面极点，而求得系统函

20、数。解：对于三阶（N=3）巴特沃斯低通滤波器，其模方函数为令j= s，则有各极点满足不难得知，当k=1, 2, 3时，相应的极点sk均位于左半S平面。则滤波器的系统函数H(s)的极点因此，三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数为6.5 设模拟滤波器的系统函数为试利用冲激响应不变法，设计IIR数字低通滤波器。确定AF的传函H(s)给定指标求解AF的单位冲激响应h(t)取拉氏反变换获得DF的单位冲激响应序列h(n)采样获得DF的传函H(z)Z变换令t=nT分析：利用冲激响应不变法，设计IIR数字低通滤波器的过程如图所示解：将H(s)展开成部分分式，得对H(s)取拉氏反变换，得对h(t)作周期为T的等间隔

21、采样，得对h(n)取Z变换，得IIR数字低通滤波器的系统函数为6.6 设有一模拟滤波器采样周期T=2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数H(z)。分析：双线性变换法是模拟系统函数的S平面和数字系统函数的Z平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，其变换关系为解：将T=2代入变换公式，可得则数字系统函数6.7 用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，采样频率fs = 1.2kHz，截止频率fc = 400Hz。分析：按照6.3中所述的采用双线性变换法的设计过程来实现。利用关系式=T将给定的模拟域频率指标转化为数字域频率指标利用如下的预畸变补偿公式将数字域频率指标变换为补偿后的模拟域频率指

22、标按补偿后的模拟域频率指标设计三阶巴特沃斯模拟滤波器H(s)参见例6.2.4利用双线性变换公式，将模拟滤波器H(s)变换为数字滤波器H(z)，即（T为采样周期）解：此数字滤波器的截止频率由预畸变补偿，得相应的模拟滤波器的截止频率由习题6. 4可知，三阶巴特沃斯模拟滤波器的系统函数其中，滤波器的系统函数H(s)的极点故有将双线性变换公式和代入，可得三阶巴特沃斯数字滤波器的系统函数6.8 请选择合适的窗函数及窗宽N来设计一个线性相位低通滤波器要求其阻带最小衰减为 -45 dB，过渡带宽为8/51，试求出h(n)（设截止频率c =0.5）。分析：本题是真正实用的设计题，从中可以看到阻带衰减影响窗形状的选择（当然用凯塞窗则可改变来满足阻带衰减的要求），而窗宽N的选择则影响过渡带宽。按照6.4中所述的线性相位FI