2019年同济大学高数上册知识点.doc

1、高等数学(上)知识点高等数学上册知识点、函数与极限(一) 函数1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函 数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数 f(x)在 Xo 连续lim f(x)= f(x。)XTXo第一类：左右极限均存在间断点可去间断点、跳跃间断点.第二类：左右极限、至少有一个不存在无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论.(二) 极限1、定义1) 数列极限limXn = a= *O, mNN, %

2、“，x*-a*nTo2) 函数极限lim f (x) = A= * 0,眦 0, x,当 Ox-x|时，f(x)- AXrXo第1页共12页高等数学（上）知识点第5页共12页2、1)左极限：fg) = lim f (x)X_.X0右极限：f （x。）= lim f （x）lim f (x) = A 存在 二 f (x。)= f (x0)X.Xo极限存在准则夹逼准则:-x Zn ( n - n)2) lim yn 二 lim zn 二 ann2)3、1）2）Th1Th24、1）2）3）4）5）X X0lim xn = an :单调有界准则：单调有界数列必有极限.无穷小（大）量定义：若lim= 0

3、则称为无穷小量；若lim无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、n-u-二： oC ）；：-：,lim 一:存在，a F求极限的方法单调有界准则;夹逼准则;极限运算准则及函数连续性;两个重要极限:lim 沁=1a) XrO Xb)无穷小代换：（x 0）则称为无穷大量.k阶无穷小Plim 二aplim（无穷小代换）lim (V x)xXr 0lim (1 )x = ex)xa) x sin x tan x arcsin x arctan xb)1 -COSX 1 -Xc) e _ 1 xd) ln(1 x)x(ax -1 xln a)(也(1 x)xIn ae) (1 x) T ：x导数

4、与微分（一）导数1、定义：f(xo)=lim 心-侬)XTXOX - xof (x) - f (xj 左导数：f(xo) = IimXTX厂X _ XoxXof (X) - f (Xo) 右导数：f (x) = IimXTXoX _ Xo函数 f （x）在 Xo 点可导=f_（x。）= f（X。）2、几何意义：f （Xo）为曲线y二f （x）在点Xo, f （Xo）处的切线的斜率.3、可导与连续的关系：4、求导的方法1）导数定义；2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；高等数学(上)知识点7)对数求导法.5、高阶导数1)d2yd (dy、定

5、义：2 -1疋义：dx2dxldx丿2)nG、八(n) Qk (k) (nA)Leibniz 公式：(UV)- = Cnu Vk=0(二)微分1) 定义：y 二 f(X。x) - f (Xo) = A x o( x)，其中 A与 x 无关.2) 可微与可导的关系：可微二 可导，且dy二(Xo)，x二f (x)dx三、微分中值定理与导数的应用中值定理第8页共12页1、Rolle罗尔定理：若函数f (x)满足：1)f(x) Ca,b； 2)f(x) D(a,b) ； 3)f(a)二 f(b)； 则：(a,b),使f ()二 0.2、Lagrange拉格朗日中值定理：若函数 f (x)满足：1)f(

6、x) Ca,b ； 2)f(x) D(a,b)；贝y(a,b),使f(b)- f(a)二 f ( )(b-a).3、 Cauchy柯西中值定理：若函数f (x), F (x)满足：1) f(x),F(x) Ca,b ； 2) f(x),F(x) D(a,b) ；3)F(x)=0,x(a,b)则.(a，b)，使厭F()洛必达法则(三) Taylor公式(四) 单调性及极值1、单调性判别法：f(x) Ca,b， f(x) D(a,b)，则若f (x) 0，则f (x)单调增加；则若f (x)0 ,则f (x)单调减少.2、极值及其判定定理：a) 必要条件：f(X)在xo可导，若xo为f (x)的极

7、值点，贝S f(X。)= 0 .b) 第一充分条件：f(X)在X。的邻域内可导，且(X。)= 0 ,则若当X ” X。 时，f(X)，0，当X Xo时，f(X)： 0，则X。为极大值点；若当X “ X。 时，f(X)： 0，当X X0时，f (x)0，则X。为极小值点；若在X。的 两侧f(X)不变号，则X。不是极值点.C)第二充分条件：f (x)在X。处二阶可导，且f (X0 0 ,(x。)。，则 若f(X。)。，则X。为极大值点；若f (X0) 0，则X。为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点1) f(x)在区间 I 上连续，若-NX I,f(Xl)2f(X2)，则称 f(x)在 区间I上的图

8、形是凹的；若一Xi,X2，I, f(互产)f(Xl)2f(X2)，则称f(x)在 区间I上的图形是凸的.2) 判定定理：f(x)在a,b上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则a) 若一 x (a,b), f (x)0,则f(x)在a,b上的图形是凹的；b) 若_x，(a,b), f (x)。,则f(x)在a,b上的图形是凸的.3) 拐点：设y二f(x)在区间I上连续，x0是f(x)的内点，如果曲线y二f(x)经高等数学（上）知识点过点（X。，f（X。）时，曲线的凹凸性改变了，则称点（Xo, f（X。）为曲线的拐点.（五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值

9、）.（六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.（七）渐近线1、铅直渐近线：lim f （x） = 00，则x = a为一条铅直渐近线；xt a772、水平渐近线：lim f（X）二b，则y二b为一条水平渐近线；XJ Hf （ X）3、 斜渐近线：|imk !呵f （x） - kx = b存在，则y = kx b为一条斜XT e XXT *渐近线.（八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I上，若函数F（x）可导，且F&）二f （x），则F（x）称为f （x）的一个原函数.2、 不定积分：在区间I上，函数f（x

10、）的带有任意常数的原函数称为 f（x）在 区间I上的不定积分.3、 基本积分表（P188, 13个公式）；4、性质（线性性）.（二）换元积分法1、 第一类换元法（凑微分）：.f（x）（x）dxf （u）dJ u =（x）2、 第二类换元法（变量代换）：.f（x）dx二1 fr（t）r（t）dt= _i（x）（三）分部积分法： udv二uv- vdu（四）有理函数积分1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）五、定积分（一）概念与性质:1、定义:bf (x)dx=anlim .j o.i=f( Hi2、 性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数f （x）在区间a,b上连续，则a,

11、b，使bf (x)dx 二 f ( )(b - a)abf f(x)dx(平均值：f ()1b 一 a第10页共12页高等数学(上)知识点微积分基本公式(N L公式)x1、变上限积分：设(x) = Ja f (t)dt，则(x) = f (x)di-(x)推广 Lj(t)dt=fm5 (x)2、N L公式：若F(x)为f(x)的一个原函数，则bf (x)dx 二 F(b)- F(a)a(三)换元法和分部积分1、换元法:f (x)dx 二f (t) (t)dtot2、分部积分法:budvuv匚b-I vdua(四)反常积分1、无穷积分:f (x)dx = limat )二 af(x)dxbf (

12、x)dx 二blimt )-二 tf(x)dxf(x)dx =OD0f(x)dx f(x)dxo2、瑕积分:第12页共12页bf(x)dx 二lim f (x)dx (a为瑕点)t- a ttf(x)dx = lim f (x)dx (b为瑕点)tTb a两个重要的反常积分:高等数学（上）知识点0x第14页共12页1)-dxa XPIp-1q 1q- 12)r dx =dx 星a(X- a)q a(b x)qI + QO六、定积分的应用（一）平面图形的面积2、b1、a极坐标：A高等数学（上）知识点（二）体积1、旋转体体积：a）曲边梯形y二f（x）, x二a,x二b,x轴，绕x轴旋转而成的旋转体

13、的体积:b 2V= f 2（x）dxx ab）曲边梯形y二f （x）, x二a, x二b, x轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积:bVy 二 2 xf （x）dx（柱壳法）ab2、平行截面面积已知的立体： V = JaA（x）dx（三）弧长1、直角坐标：s 二:K11 f （x） 1 2dx2、参数方程：s =J（t）】2（t）】2dt3、极坐标：s =）以W）】2d，七、微分方程（一）概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的

14、阶数相同特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程g(y)dy 二 f(x)dx，两边积分 g(y)dy 二 f(x)dx（三）齐次型方程虬喈）设u则=u+x包； dxx设 x则 dxdxdx/X、x dxdv或（），设V ，则 7目-dy y，y， dydy（四）一阶线性微分方程学 P（x）y 二 Q（x）dx用常数变易法或用公式:-P(x)dx厂efP(x)dx1Q(x)e dx C（五）可降阶的高阶微分方程1、y（n） = f （x），两边积分n次；2、 yj f（x,y）（不显含有 y），令 y = p，则 y= p ；” dp3、y f（y, y）（不显含有 x），令 y = p，则 y = p&（六）线性微分方程解的结构1、yi,y2是齐次线性方程的解，则 GyC?y2也是；2、yi,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则 Gy“2是方程的通解；*3、 y =C?y2 y为非齐次方程的通解，其中 *、为对应齐次方程的* 线性无关的解，y非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：y，py qy二0第16页共12页高等数学(上)知识点2特征方程：r pr 0 ,特征根：ri, D特征根通解实根1 *2亠 X亠2 Xy= C1e十 C2e1 =2夕H xy = (G + C2x)e1,2