20192020学新人教A版必修一5511第1课时两角差的余弦公式学习课件

1、5.5,三角恒等变换,5.5.1,两角和与差的正弦、余弦和正,切公式,第,1,课时,两角差的余弦公式,两角差的余弦公式,公式:cos,cos cos +sin sin,1,简记符号,C,2,适用条件,公式中的角,都是任意角,思考,1,公式写成cos,cos +sin 或cos,cos cos,sin sin 可以吗,提示,不可以,2,公式的结构特征是怎样的,提示,左端为两角差的余弦,右端为角,的同名三角,函数积的和,即差角余弦等于同名积之和,3,公式中的角,可以为几个角的组合吗,提示,可以,公式中,都是任意角,可以是一个角,也,可以是几个角的组合,素养小测,1,思维辨析,对的打“,错的打“”,

2、1)cos (70,40,cos 70,cos 40,2,对于任意实数,cos,cos,cos,都不成立,3,对任意,R,cos,cos cos,sin sin 都成立,4)cos 30,cos 60,sin 30,sin 60,1,提示,1,cos (70,40,cos 30,cos 70,cos 40,2,当,45,45,时,cos,cos (-45,45,cos (-90,0,cos,cos,cos (-45,cos 45,0,此时,cos,cos,cos,3).结论为两角差的余弦公式,4,cos 30,cos 60,sin 30,sin 60,3,cos (60,30,cos 30,2

3、,2.cos 95,cos 35,sin 95,sin 35,等于,A.cos 130,B.sin 130,3,1,C,D,2,2,1,解析,选,D,原式,cos (95,35,cos 60,2,3.cos 15,_,解析,cos 15,cos(45,30,cos 45,cos 30,sin 45,sin 30,2,3,2,1,6,2,2,2,2,2,4,答案,6,2,4,类型一,两角差的余弦公式的简单应用,典例,1.cos 555,的值为,6,2,6,2,A,B,4,4,6,2,2,6,C,D,4,4,2,计算,sin 7,cos 23,sin 83,cos 67,的值为,1,1,3,3,A

4、,B,C,D,2,2,2,2,思维引,1,把,555,转化为两个特殊角的差,利用两角差的余弦,公式求解,2,先利用诱导公式对角进行转化,再利用两角差的余弦,公式求解,解析,1,选,B.cos 555,cos (720,165,cos 165,cos (180,15,-cos 15,-cos (45,30,-(cos 45,cos 30,sin 45,sin 30,2,3,2,1,6,2,2,2,2,2,4,2,选,B.sin 7,cos 23,sin 83,cos 67,cos 83,cos 23,1,sin 83,sin 23,cos(83,23,cos 60,2,内化悟,一般地,利用两角差

5、的余弦公式可以解决什么类型的题,目,提示,1,求非特殊角的余弦值,2,求两角的同名三角,函数积的和,类题通,利用两角差的余弦公式解含非特殊角的三角函数式的,求值问题的一般思路有,1,把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接,求值,2,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构,形式,然后逆用公式求值,习练破,13,求下列各式的值,1,cos,12,2)sin 460,sin(-160,cos 560,cos(-280,13,解析,1,cos,cos,cos,12,12,12,3,2,cos,cos,12,12,4,6,cos,cos,sin,sin,4,6,4,6,2,3,2,1,6,2

6、,2,2,2,2,4,2,原式,-sin 100,sin 160,cos 200,cos 280,-sin 100,sin 20,cos 20,cos 80,-(cos 80,cos 20,sin 80,sin 20,-cos 60,1,2,加练固,3sin,cos,12,12,的值为,1,A,B.1 C,2 D,3,2,3,1,解析,选,C,原式,2,sin,cos,2,12,2,12,2(cos,cos,sin,sin,3,12,3,12,2,2cos,2cos,2,2,3,12,4,2,类型二,给值求值问题,6,4,典例,1,已知,sin,1,则cos + sin 的,3,值为,1,1,

7、A,B,C.2 D,1,4,2,5,3,2,设,都是锐角,且cos = sin (+),5,5,则cos,世纪金榜导学号,2,5,2,5,A,B,25,5,2,5,2,5,5,5,C,或,D,或,25,5,5,25,思维引,1,对所求式逐步变形,直至可代入已知条件即可,2,考虑如何用已知角,+的差来表示所求角,进,而利用两角差的余弦公式解决,1,3,解析,1,选,B.cos + sin,2,cos,sin,3,2cos,3,2sin,2,3,1,1,2sin,2,6,4,2,2,2,2,5,2,2,选,A,依题意得sin = cos (,1,cos,5,4,1,sin,又,均为锐角,5,2,所

8、以0cos(,4,因为,4,5,所以cos (+),5,5,5,4,5,于是cos =cos (,cos(+)cos,4,5,3,2,5,2,5,sin (+)sin,5,5,5,5,25,素养探,本例,2,主要考查三角函数求值问题,突出考查了数学运,算的核心素养,4,本例,2,若改为,已知,为锐角,且cos = cos,5,16,)= 求cos 的值,65,解析,因为,0 0,所以,0,2,2,63,16,由,cos (+),得,sin (+),65,65,4,3,又因为,cos,所以,sin,5,5,所以cos =cos (,cos (+)cos +sin (+)sin,16,4,63,3

9、,5,65,5,65,5,13,发散拓,常值代换,用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能运用相,关的公式,我们把这种代换称为常值代换,其中特别要,注意的是“1”的代换,如,1=sin,2,cos,2,1,tan 45,1=sin 90,等,再如,3,3,1,2,3,等均可,2,2,2,3,视为某个特殊的三角函数值,从而将常数代换为三角函,数使用,延伸练,1,cos 15,sin 15,3,_,2,2,1,3,解析,因为,cos 60,=sin 60,2,2,3,1,所以,cos 15,sin 15,2,2,cos 60,cos 15,sin 60,sin 15,cos (60,15,cos

10、 45,2,答案,2,2,2,类题通,1,解决三角函数的给值求值问题的关键是把“所求角,用“已知角”表示,其解题策略有,当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个,已知角”的和或差的形式,当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与,已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所,求角”变成“已知角,2,常见的配角技巧:2=(+),=(,2,2,2,2,2,2,等,2,习练破,12,1,已知为锐角,为第三象限角,且cos,13,3,sin = 则cos,的值为,5,63,33,63,33,A,B,C,D,65,65,65,65,12,解析,选,A,因为,为锐角,且,cos,13,5,2,

11、所以,sin,1,cos,13,3,因为,为第三象限角,且,sin,5,4,2,所以cos,1,sin,5,所以cos,cos cos +sin sin,4,5,3,63,5,13,5,65,12,13,1,2,已知,cos,则cos + sin 的值为,3,3,8,_,解析,因为,cos =cos cos +sin sin,3,3,3,1,3,1,cos + sin,8,2,2,1,3,1,所以,cos + sin,2,cos,sin,3,2,2,4,1,答案,4,加练固,1,若0 0,cos,cos,4,2,2,4,3,2,3,则,cos,2,3,3,3,5,3,6,A,B,C,D,3,3

12、,9,9,解析,选,C,cos,cos,2,4,4,2,3,cos,cos,sin,sin,而,4,4,2,4,4,2,4,4,4,2,2,因此,sin,4,2,4,2,4,3,6,1,3,2,2,6,5,3,sin,则,cos,4,2,3,2,3,3,3,3,9,类型三,给值求角问题,3,4,典例,已知cos,sin(+),5,5,3,+2,求的值,世纪,2,2,金榜导学号,思维引,先求2的余弦值,再由角的范围确定2及的大小,4,解析,因为,cos,5,2,3,3,所以,sin,因为,2,sin(,5,2,3,5,4,所以cos (+)= 所以cos 2=cos(,5,cos (+)cos,

13、sin (+)sin,4,4,3,3,1,5,5,5,5,3,因为,+2,所以,2,2,所以2=,所以,2,2,2,3,2,内化悟,解决给值求角问题的关键环节是什么,提示,关键环节有两点,1,确定角的范围,一旦做好这个环节,结合三角函数的,性质与图象,选择恰当的三角函数求解,2,求出所求角,的某种三角函数值,一般选取在上述范围上单调的三角,函数,类题通,解决给值求角问题的一般步骤,1,求角的某一个三角函数值,2,确定角的范围,3,根据角的范围写出要求的角,习练破,10,2,5,1,已知,均为锐角,且sin = sin,10,5,则,_,解析,因为,均为锐角,5,3,10,所以,cos = cos,5,10,所以,cos,cos cos +sin sin,5,3,10,2,5,10,2,5,10,5,10,2,又因为sin sin ,所以0,2,所以0,2,故,4,答案,4,5,1,2,已知,为锐角,cos = sin(+),3,14,7,则=_,1,解析,因为,为锐角,且,cos,7,1,2,4,3,2,所以,sin,1,cos,1,7,7,又,为锐角,所以,(0,5,又sin(+)= sin ,所以,3,14,2,所以cos(+),1,sin,2,5,11,2,1,3,14,14,所以cos =cos(,cos(+