(完整版)高一数学必修1知识点总结及练习题,推荐文档

1、期中考复习第一章 集合与函数概念（10，11 班）一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的ft(p1,1)(2) 元素的互异性如：由 happy 的字母组成的集合h,a,p,y（解题时， 最后注意检验是否满足互异性）研究 p3,7、8;(3) 元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3. 集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：a=我校的篮球队员,b=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。u 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：

2、n正整数集 n*或 n+整数集 z 有理数集 q 实数集 r 2，集合的表示法（研究 p2，8；）1） 列举法：a,b,c2） 描述法：m = y | y = x 2 -2 x + 1 , xrm = x | y = x 2 - 2 x + 1 , xr(注意代表元素！)(p5,2) 3） venn 图:（研究 p5，4/7/9）4、集合的分类：运算类型交集并集补集定义由所有属于 a 且属由所有属于集合 a 或设s 是一个集合，a 是s 的一个子集，由 s 中所有不属于 a 的元素组成的集合，叫做 s 中子集a 的补集（或余集）记作cs a ，即csa=x | x s, 且x a于 b 的元素

3、所组成属于集合 b 的元素所的集合,叫做 a,b 的组成的集合，叫做交集记作a,b 的并集记作：aa i b（读作a 交ub（读作a 并b）b），即，即 a u ba i b=x|xa，且 xb=x|xa，或 xb)韦恩图示a图 1ba图 2bsa性质a i a=aa u a=a(cua) i (cub)a i =a u =a= cu (a u b)a i b=b i aa i b a a i b ba u b=b u aa u b a u b b(cua) u (cub)= cu(a i b) a u (cua)=ua i (cua)= 三、集合的运算（ p3,6;p4，4/7/10,p5，

4、10;p6,5/8）(1) 有限集(2) 无限集含有有限个元素的集合含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例：x|x2=5（研究p3，2）二、集合间的基本关系（切记，有包含关系要优先考虑空集）(p3、10) 1.“包含”关系子集（最高次项前面有参数时，要讨论它与 0 的关系）注意： a b有两种可能（1）a 是b 的一部分，；（2）a 与b 是同一集合。2“相等”关系：a=b (55，且 55，则 5=5)实例：设 a=x|x2-1=0 b=-1,1“元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。aa真子集:如果ab,且ab 那就说集合a 是集合b 的真子集，记作ab(或

5、 b a)如果 ab, bc ,那么 ac 如果 ab 同时 ba 那么 a=b规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集，2n-1 个真子集例题：1. 下列四组对象，能构成集合的是（）a 某班所有高个子的学生 b 著名的艺术家 c 一切很大的书 d 倒数等于它自身的实数2. 集合a，b，c 的真子集共有个3.若集合 m=y|y=x2-2x+1,x r,n=x|x0，则m 与n 的关系是.4. 设集合 a=x 1 x 2，b=x x a，若 a b，则 a 的取值范围是 5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得

6、有 40 人，化学实验做得正确得有 31 人，两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有人。7.已知集合 a=x| x2+2x-8=0, b=x| x2-5x+6=0, c=x| x2-mx+m2-19=0,若bc，ac=，求 m 的值(注意：解不等式时，乘以除以一个数时，注意讨论它的符号，如果是负数，记住变号。)二、函数的有关概念 定义(p9，1/;p10，1)1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域 。（1） 具体函数的定义域时列不等式组的主要依据 是(p30,9;p37,2/4)(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；(3) 对数式的真

7、数必须大于零；(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的 定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6) 指数为零底不可以等于零，(7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.抽象函数定义域：(p9,6;p21,5;)u 相同函数的判断方法： 表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；u 定义域一致(p9，3时具备) 2值域 : 先考虑其定义域(p9，7/8;p10，10/6;p14，6) (1)观察法 （遇见上下都有 x，优先分离常数）(2) 配方法(3) 代换法x -2、函数的解析表达 式(p10

8、，9、4) 求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法已知 f1 x2 1 ，求 f(x)xx22) 待定系数法已知一次函数 f(x)满足 f(f(x)4x1，求xxf(x)3) 换元法已知 f(2)x4，求 f(x)（注意新换元的范围）1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换（p10，2）4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间5映射（箭射靶，且箭要全射出去）定义：(p11，1/3/5/6/7/9/10)对于映射 f：ab 来说，则应满足：(1) 集合 a 中的每一个元素，在集合 b 中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 a 中不同的元素，在集合 b 中对应的象可以是同一

9、个；(3) 不要求集合 b 中的每一个元素在集合 a 中都有原象。一一映射：一对一，且集合 b 当中没有多余的元素（p11，8）6 . 分段函数（一般画图处理题目）（p11，9;p12，7;p24，10) (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2) 各部分的自变量的取值情况(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 注意：分段函数单调性，除了保证每一段的单调性，还要保证最值之间的关系，即整体的单调性。（ 补充：复合函数如果 y=f(u)(um),u=g(x)(xa),则 y=fg(x)=f(x)(xa)称为f、g 的复合函数。二函数的性质1.函数的单调性(

10、局部性质)(p12，1/2;p14，2/3)（1） 增函数.如果对于区间 d 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 d 称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(a) 定义法：（p14，9/8;p15，9;p30,10）1 任取 x1，x2d，且 x

11、1x2；2 作差 f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方） ；4) 消参法（函数方程法）已知： 2 f (x) - f ( 1 )= 3 xx23. 函数图象知识归纳a、 图象变换法常用变换方法有三种4 定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 d 上的单调性）(b)图象法(从图象上看升降)(c)复合函数的单调性(p14，4;p31,9;p39,8)复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相（2）若-b m,

12、 n，则 f (x)max2a= maxf (m), f (n)， f (x)min= minf (m), f (n)同的区间和在一起写成其并集.（d）利用已知函数的单调性。（一次函数，二次函数，反比例函数， 双勾函数，对数函数，指数函数）(p12，3/4/5/6;p14，1/5)注：增+增=增；减加减=减（p13，3/4）8函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)， 那么 f(x)就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)， 那么 f(x)就叫做奇函数（3） 具有

13、奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称（图像法）另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越小。2 利用图象求函数的最大（小） 值(p22，5;)3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 ：如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)；11:恒成立问

14、题转化为最值问题，（一般求什么，就把它放到一边。） (p24,9;p17,8;p37,6/7/10；p44,6;p45,4;)例题：x2 - 2x -15x + 3 - 31- ( x -1)2x +11. 求下列函数的定义域：利用定义判断函数奇偶性的步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； y = y =2 确定 f(x)与 f(x)的关系；3 作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数2. 设函数 f (x) 的定义域为0，1，则函数 f (x

15、2 ) 的定义域为_ _ 3. 若函数 f (x +1) 的定义域为-2，3，则函数 f (2x -1) 的定义域是 x + 2(x -1)注意：（1）函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条4. 函数f (x) =x2 (-1 x 0且a 1) ，总有f (1) = a ；二、对数函数（切记真数大于零，注意定义域）（一）指数与指数幂的运算u 负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0，记作n 0 = 0 。（一）对数说明：1 注意底数的限制a 0 ，且 a 1；当 n 是奇数时， n an= a ，当 n 是偶数时，=| a |= an an- a(a 0, m, n n * , n

16、 1) ，m2 自然对数：以无理数e = 2.71828l为底的对数的对数ln n (a *0, m, n n , n 1)=-11n amman =（二）对数的运算性质如果 a 0 ，且 a 1， m 0 ， n 0 ，那么：a nu 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义1 loga (m n ) = log amm loga n ；3. 实数指数幂的运算性质2 log = log m log n ；（1） ar ar = ar +s (a 0, r, s r)a naa（2） (ar )s = ars(a 0, r, s r)(ab)r = ar as3 loga m n

17、 = n log ma注意：换底lo公g式b(n r) （3）（3）(a 0, r, s r)log b =c（ a 0 ，且 a 1； c 0 ，且c 1 ； b 0 ）注意利用平方差公式，完全平方之间的关系，以及立方差公式。（p27,9,10,p28,9/10;p29,4/6）（二）指数函数及其性质 y = a x (a 0,且a 1) （注意值域大于零）alog ca利用换底公式推导下面的结论(p35,3/5/6/8/9;p36,3/4/6/8)nn1a10a 0 ，且 a 1) 叫做对数函数， 其中 x 是自变量，函数的定义域是（0，+）注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式

18、定义，注意辨别。如：y = 2 log2函数x ， y = log x5 5都不是对数函数，而只能称其为对数型注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a，b上， f (x) = a x (a 0且a 1) 值域是f (a), f (b) 或2 对数函数对底数的限制：(a 0 ，且 a 1) 2、对数函数的性质：0a132.52.5221.51.50.50.5-1-1.5-1.5-2-2.5-2.5函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）在 r 上递减在 r 上递增值域为 r值域为 r定义域 x0定义域 x0-2-17654321 10-0.517654321 10-0.

19、51111183-8注意：对于 y=loga g(x),若 u=g(x)为二次函数，先画图，取 x 轴上半部的图像，再结合图像解题。（一定注意先求定义域，真数大于 0） f(x)=的图像要记住，若有 f(a)=f(b),则 a,b 互为倒数。（三）幂函数 y = xa（a=-1,1/2,2,3 的图像必须掌握）（1） 所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2） a 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,+) 上是增函数特别地，当a 1时，幂函数的图象下凸；当0 a 1时，幂函数的图象上凸；（3） a 0 时，幂函数的图象在区间(0,+) 上是减函数在第一象限内，当

20、x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于+ 时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴(p22,1)总结：幂函数在第一象限为减函数，则a 0 ； 幂函数为奇函数，则 a 为奇数，为偶函数则 a 为偶数（p22,9）第三章 函数的应用即：方程 f (x) = 0 有实数根 函数 y = f (x) 的图象与 x 轴有交点 函数 y = f (x) 有零点3、函数零点的求法：1 （代数法）求方程 f (x) = 0 的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = f (x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点： 二次函数 y = ax 2 + bx + c(a 0) （1） 根的分布：画图！看四点、开口方向，对称轴，端点值的符号。（注意隐含条件，和经过的定点 ）没有隐含条件时，切记每一个都要考虑。（2） 两个正根，两个复根，一正一负根时一般用维达定理.（除了一正一负隐含了德塔大于零，其他时候不要忘记德塔）（3） 若已知一个根，代入求出参数，再解方程，检验另外一根是否满足条件。“”“”at the end, xi