2018中考总复习平行四边形专题

1、25. (10分)已知四边形 ABCD是菱形，AB=4,/ ABC=60，/ EAF的两边分别与射线 CB DC相交于点E、F,且/EAF=60 .(1) 如图12-1，当点E是线段CB的中点时，直接写出.线段AE, EF, AF之间的数量关系；(2) 如图12-2，当点E是线段CB上任意一点时(点 E不与B C重合)，求证：BE=CF(3) 如图12-3，当点E在线段CB的延长线上，且/ EAB=15时，求点F到BC的距离。(2016 济宁)如图，正方形ABCD勺对角线AC BD相交于点Q延长CB至点F,使CF=CA连接AF, / ACF的平分线分别交 AF, AB BD于点E, N, M连

2、接EQ.(1) EQ=2 ,求正方形ABCD勺边长；(2) 猜想线段EM与 CN的数量关系并加以证明.(2016 玉林)如图1,菱形ABCD寸角线AC, BD的交点Q是四边形EFGH寸角线FH的中 点，四个顶点A, B , C, D分别在四边形EFGH的边EF, FG GH HE上.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形； 如图2,若四边形EFGH是矩形，当AC与 FH重合时，AC已知 =2,且菱形ABCD勺面积是20 ,求矩形EFGH勺长与宽.BD9.A. B. C. 5 D . 417 .女口图，在 ABC中，/ C=90 , AC=BC=,将 ABC绕点 A顺时针方 向旋转60至U AB

3、 C 的 位置，连接C B,则C B= 1 .【考点】旋转的性质.【分析】连接BB，根据旋转的性质可得AB=AB ,判断出 ABB 是等边三角形，根据等边三 角形的三条边都相等可得AB=BB ,然后利用“边边边”证明 ABC 和 B BC 全等，根据全 等三角形对应角相等可得/ ABC =Z B BC ，延长BC 交AB 于D,根据等边三角形的性质可 得BDL AB ,利用勾股定理列式求出AB,然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质 求出BD、C D,然后根据BC =BD- C D计算即可得解.【解答】解：如图，连接BB , ABC绕点A顺时针方向旋转60得 到 AB C ,:.AB=

4、AB ABB AB=BB 在 ABC,/ BAB =60,是等边三角形，和 B BC 中， ABC B BC ( SSS), / ABC=/ B BC ,延长BC交AB于D,则 BDL AB,/ / C=90 , AC=BC=, AB=2 BD=2K =,C D=X 2=1, BC =BD- C D=- 1 .故答案为：-1 .【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直 角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC 在等边三角形的高上是解题的关键，也 是本题的难点.24 .如图，把 EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E, F, P分别在线段AB

5、, AD, AC上，已知EP=FP=6 , EF=6 ,/ BAD=60 , 且 AB 6 .(1) 求/ EPF的大小；(2) 若 AP=10 ,求 AE+AF 的值;(3 )若 EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和 最小值.【考点】菱形的性质；几何问题的最值.【分析】(1)根据锐角三角函数求出/ FPG 最后求出/ EPF(2)先判断出Rt PME2 Rt PNF 再根据锐角三角函数求解即可，3)根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值. 解答】解：(1 )过点P作PGL EF于点G,如图1所示./ PE=PF=6 , EF=6 ,

6、 FG=EG=3 / FPGd EPGM EPF在 Rt FPG 中，sin / FPG= / FPG=60 , / EPF=120 .(2)过点P作PML AB于点M,作PNL AD于点N,如图2所示./ AC为菱形ABCD的对角线， / DACM BAC AM=AN, PM=PN.在 Rt PME 禾口 Rt PNF 中,PM=PN, PE=PF , Rt PME2 Rt PNF ME=NF又 AP=10 , / PAMM DAB=30 , AM=AN=APcos30=10X =5, AE+AF= ( AM+ME) + ( AN- NF) =AM+AN=10 .(3) 如图， 当 EFP的

7、三个顶点分别在AB, AD, AC上运动，点P在P1, P之间运动， P1 O=PO=3, AO=9 , AP的最大值为12 , AP的最小值为6 ,【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解 本题的关键是作出辅助线.(2015 柳州 T24 10 分)如图，在四边形 ABCD中, AD/ BC, M B= 90 , AB= 8 cm , AD= 12 cm , BC= 18 cm ,点 P 从 点A岀发以2 cm/s的速度沿 2DC运动，点P从点A岀发的同时点 Q从点C岀发，以1 cm/s的速度向点B运动，当 点P到达点C时，点Q也停止运动设点 P,

8、 Q运动的时间为t秒.(1)从运动开始，当t取何值时，PQ/ CD?(2)从运动开始，当t取何值时， PQC为直角三角形?【思路点拨】 (1)已知AD/ BC添加PD- CQ即可判断以 P , Q, D, C为顶点的四边形是平行四边形;(2)点P处可能为直角，点Q处也可能是直角，故需要分类讨论求解.解：(1)当PQ/CD时，四边形 PDCC是平行四边形，此时PD= QC 2分 12-2t = t.解得 t = 4.当 t = 4 时，PQ/ CD.4 分过D点作DF丄BC于F. DF= AB= 8 , FC= BC AD 18 12= 6 ,由勾股定理得CD= 10.当 PQL BC 时,贝U

9、 BQ+ CQ= 18 ,即 2t + t = 18,解得 t = 6; 6 分当QPL PC时，此时 P 一定在 DC上,22 2t6二1o.解得13，综上所述，当110J t 6或13时， PQC是直角三角形.10分当Pd BC时，/ DCBi 90,此种情形不存在.(2014柳州)如图，正方形ABCD勺边长为1 , AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90后，得到线段PE,且PE交BC于F,连接DF,过点E作EQLAB的延长线于点 Q.(1)求线段PQ的长；问：点P在何处时， PFDBFP,并说明理由.解：根据题意，得PD= PE, / DPE= 90,/ APDZ Q

10、P匡 90 .四边形 ABCD是正方形，/ A= 90 . Z ADPZ APD= 90 . Z ADP=Z QPE./ EQ! AB,.Z A=Z Q= 90 .Z A=Z Q在厶 ADP 和厶 QPE中， Z ADP=Z QPEPD= EP, ADPA QPE(AAS). PQ= AD= 1. 当P点为 AB的中点时， PFDA BFP. 理由：TZ ADP=Z BPF Z A=Z FBPPD APDAPA PBF. pf= BF.t P点为AB的中点,1pa=-AB= pb.2PB PDPB BF=,即=_.BF PFPD PF又TZ PBF=Z DPF PFDA BFP.2. (201

11、7 海南)如图，四边形 ABCD是边长为1的正方形，点 E在AD边上运动，且不与点 A和点D重合，连接CE过点 C作CF丄CE交AB的延长线于点 F , EF交BC于点G.(1)求证： CDE CBF当DE= 2时,求CG的长；连接AG在点E运动过程中，四边形 CEAG能否为平行四边形？若能，求岀此时DE的长；若不能，说明理由.解:(1)证明：在正方形A8ABCD中 , DC= BC, Z D=Z ABC=Z DCB= 90 Z CBF= 180 Z ABC= 90, Z DCEZ ECB=Z DCB= 90CP= 10+ 12-2t = 22- 2t , CQ= t , 易知CQiR./ C

12、F丄 CE :丄 ECF= 90 . / BCFZ ECB=Z EC= 90 :丄 DCE=Z BCF.在厶CDE禾口 CBF中，/ D=Z CB= 90,DC= BC,/ DCE=Z BCF： CDEA CBF(ASA).在正方形 ABCD中, AD/ BC,： GBFA EAF.:BG= BFAE= AF由(1) 知 CDEA CBF1.:BF= DE= t2正方形的边长为 1 ,31：AF= AB+ BF=-, AE= AD- DE=-.221BGT：23. : BG=16.5: CG= BC BG= .6AE/ CG AE= CG 不能理由：若四边形 CEAG是平行四边形，则必须满足：

13、AD- AE= BC- CG.： DE= BG.由(1) 知 CDEA CBF：DE= BF, CE= CF.: 68卩和厶ECF是等腰直角三角形.：/ GFB= 45, / CFE= 45 .:/ CFA=Z GFBbZ CFE= 90 .此时点F与点B重合，点 D与点E重合，与题目条件不符，:点E在运动过程中，四边形 CEAG不能是平行四边形.4. (2017 贵港)已知在 Rt ABC中，/ ACB= 90 , AC= 4 , BC= 2 , D是AC边上的一个动点，将厶 ABD沿BD所在直线折 叠，使点A落在点P处.(1)如图1,若点D是AC中点，连接 PC. 写岀BP, BD的长；

14、求证：四边形 BCPD是平行四边形； 如图2,若BD= AD,过点P作PH丄BC交BC的延长线于点 H,求PH的长.解：(1)BP= 2 5 , BD= 2 2.证明：延长 BD至E,/ D是 AC边的中点，AC= 4 , BC= 2 , .:DC= AD= BC.又/ ACB= 90 ,: BDC是等腰直角三角形，:/ BDC=Z ADE= 45 .由折叠(轴对称)性质可知，/ EDP=Z ADE= 45 , PD= AD= 2 , :/ PDA= 90 . PD/ BC,且 PD= BC= 2.四边形BCPD是平行四边形.(2)连接AP并延长与BC的延长线交于点 F,延长BD与AP交于点E, 由折叠(轴对称)性质可知，PD= AD, / PDE=Z ADE BE丄 AP, PE