中考数学八年级下册北师大版第四章　三角形A课时学习区

1、第四章三角形,数学七年级下册北师,1认识三角形,课时1三角形及其内角和,课时1,1.下面是一位同学用三根木棒拼成的图形,其中是三角形的是 (,答案,1.D【解析】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形,由此可知A,B,C不是三角形,D是三角形.故选D,知识点1 三角形的有关概念,2.2020北京顺义区期末如图,以BC为边的三角形有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案,2.C【解析】以BC为边的三角形有BCE,BAC,DBC.故选C,知识点1 三角形的有关概念,3.如图,在BCE中,边BE所对的角是,CBE所对的边是;在AEC中,边AE所对的角是, AEC

2、所对的边是;以A为内角的三角形是,答案,3.BCECEACEACABD,ABC,ACE,知识点1 三角形的有关概念,4.2019浙江绍兴中考如图,墙上钉着三根木条a,b,c,量得1=70,2=100,那么木条a,b所在直线所夹的锐角是 () A.5 B.10 C.30 D.70,答案,4.B【解析】如图,因为2=100,所以3=2=100,所以木条a,b所在直线所夹的锐角为180-3-1=180-100-70=10.故选B,知识点2 三角形的内角和,5.2019湖北襄阳中考如图,直线BCAE,CDAB于点D,若BCD=40,则1的度数是 () A.60 B.50 C.40 D.30,答案,5.

3、B【解析】因为CDAB,BCD=40,所以DBC=50.因为BCAE,所以1=DBC=50.故选B,知识点2 三角形的内角和,6.2020山东淄博中考如图,在四边形ABCD中,CDAB,ACBC,若B=50,则DCA等于 () A.30 B.35 C.40 D.45,答案,6.C【解析】解法一因为ACBC,所以ACB=90,又因为B=50,所以CAB=90-B=40.因为CDAB,所以DCA=CAB=40.故选C. 解法二因为CDAB,B=50,所以DCB=180-50=130.因为ACBC,所以ACB=90,所以DCA=DCB-ACB=40.故选C,知识点2 三角形的内角和,7.如图,1+2

4、+3+4的度数为,答案,7.300【解析】由题图,可知1+2=180-30=150,3+4=180-30=150,所以1+2+3+4= 150+150=300,知识点2 三角形的内角和,8.2019黑龙江哈尔滨香坊区期中如果ABC的三个内角之比为153,那么ABC中最大角的度数为,答案,8.100【解析】设ABC中最小的内角为x,则另外两角的大小分别为5x,3x,由题意,得x+5x+3x=180,解得x=20,所以5x=100,所以ABC中最大角的度数为100,知识点2 三角形的内角和,9.2020河北保定一模如图,一个三角形只剩下一个角,这个三角形为 () A.锐角三角形 B.钝角三角形 C

5、.直角三角形 D.以上都有可能,答案,9.B【解析】从题图中看到的一个角是钝角,所以这个三角形为钝角三角形.故选B,知识点3 三角形按角的大小分类,10.2019四川绵阳涪城区月考在ABC中,A= 1 2 B= 1 3 C,则ABC是 () A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.等边三角形,答案,10.B【解析】因为A= 1 2 B= 1 3 C,所以可设A=x,则B=2x,C=3x,由题意,得x+2x+3x=180,所以x=30,所以A=30,B=60,C=90,所以ABC是直角三角形.故选B,知识点3 三角形按角的大小分类,11.2019四川资阳中考如图,l1l2,点O在直线l1

6、上,若AOB=90,1=35,则2的度数为 () A.65 B.55 C.45 D.35,答案,11.B【解析】解法一因为l1l2,1=35,所以OAB=1=35.因为OAOB,所以2=OBA=90-OAB=55.故选B. 解法二因为AOB=90,1=35,l1l2,所以OBA=180-(AOB+1)=55,所以2=OBA=55.故选B,知识点4 直角三角形的两个锐角互余,12.2019四川成都武侯区期中如图,已知ACB=90,CDAB,垂足是D,则图中与A相等的角是 () A.1 B.2 C.B D.1,2和B,答案,12.B【解析】因为ACB=90,所以1+2=90.因为CDAB,所以AC

7、D是直角三角形,所以A+1=90,所以A=2.故选B,知识点4 直角三角形的两个锐角互余,13.如图,在ABC中,C=90,EFAB,分别交AC,BC于点E,F,CEF=50,则B的度数是,答案,13.40【解析】因为C=90,所以CEF+CFE=90,又因为CEF=50,所以CFE=40.因为EFAB,所以B=CFE=40,知识点4 直角三角形的两个锐角互余,1.2019江苏苏州期中如图,点D在ABC内,若BDC=120,1+2=55,则A的度数为 () A.50 B.60 C.65 D.75,答案,1.C【解析】因为D=120,所以DBC+DCB=60,因为1+2=55,所以ABC+ACB

8、=60+55=115,所以A=180-115=65.故选C,本题主要考查三角形的内角和,求出ABC+ACB的值是解决问题的关键,名师点睛,2.如图是一组按照某种规律摆放成的图形,则第5个图形中三角形的个数是() A.8 B.9 C.16 D.17,答案,2.C【解析】第1个图形中三角形的个数是1;第2个图形中三角形的个数是1+3=4;第3个图形中三角形的个数是1+ 3+4=8;第4个图形中三角形的个数是1+3+4+4=12.由此可知,从第2个图形开始,后一个图形比前一个图形多4个三角形,因此第5个图形中三角形的个数是1+3+4+4+4=16.故选C,3.2020吉林长春期末将一个三角形纸片剪开

9、分成两个三角形,这两个三角形不可能 () A.都是锐角三角形 B.都是直角三角形 C.都是钝角三角形 D.是一个锐角三角形和一个钝角三角形,答案,3.A【解析】如图1,沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形;如图2,钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形;如图3,锐角三角形沿虚线剪开即可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形.综上所述,将一个三角形剪成两个三角形,这两个三角形不可能都是锐角三角形.故选A,4.2019山东东营中考将一副三角板(A=30,E=45)按如图所示方式摆放,使得BAEF,则AOF等于 () A.75 B.90 C.105 D.115,答案,4.A【解析】解法一因为

10、BAEF,A=30,所以FCA=A=30.因为F=E=45,所以COF=180-FCA-F=105,所以AOF=180-COF=75.故选A. 解法二如图,过点O作OMEF.因为BAEF,所以OMEFBA.因为A=30,F=E=45,所以AOM=A=30, FOM=F=45,所以AOF=AOM+FOM=75.故选A,5.2019广西贵港港南区期中下列条件不能判断ABC是直角三角形的是 () A.A+B=CB.A-B=C C.ABC=123D.A=B=3C,答案,5.D【解析】A项,因为A+B=C,所以A+B+C=2C=180,所以C=90,ABC为直角三角形,同理,B项、C项均能得出ABC为直

11、角三角形;D项,因为A=B=3C,所以A+B+C=7C=180,三个内角中没有直角,故不是直角三角形.故选D,判断三角形的形状时,要先根据三角形三个内角的和等于180求出各角的度数,然后观察三角形中最大角的度数,以此判断三角形的形状,名师点睛,6.如图,A+B+C+D+E等于 () A.90 B.180 C.270 D.360,答案,6.B【解析】连接CD,易得A+B=BDC+ACD,则A+B+ACE+BDE+E=ACD+BDC+ACE+ BDE+E=EDC+ECD+E=180.故选B,7.2019江苏常州金坛区期中如图,ABC中,B=68,A比C大28,点D,E分别在AB,BC上,连接DE,

12、DEB=42. (1)求A的度数; (2)判断DE与AC之间的位置关系,并说明理由,答案,7.【解析】(1)设C的度数为x,则A的度数为(x+28), 在ABC中,A+B+C=180,B=68, 可得x+x+28+68=180,解得x=42, 所以C=42,A=70. (2)DEAC.理由如下: 因为C=42=DEB, 所以DEAC,8.如图,直线ABCD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P.试判断EPF的形状,并说明理由,答案,8.【解析】EPF是直角三角形.理由如下: 因为ABCD,所以BEF+DFE=180. 因为BEF的平分线与DFE的平分线相

13、交于点P, 所以PEF= 1 2 BEF,PFE= 1 2 DFE, 所以PEF+PFE= 1 2 (BEF+DFE)=90, 所以EPF=180-(PEF+PFE)=180-90=90, 所以EPF是直角三角形,9.2019广东深圳外国语学校期中如图1,线段AB,CD相交于点O,连接AD,CB.如图2,在图1的条件下,DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P,且与CD,AB分别相交于点M,N.试解答下列问题: (1)在图1中,请直接写出A,B,C,D之间的数量关系; (2)在图2中,若D=40,B=30,试求P的度数; (3)若图2中D和B为任意锐角,其他条件不变,试写出P与D,B之间的数

14、量关系,不需要说明理由,答案,9.【解析】(1)A+D=B+C. 因为A+D+AOD=180,B+C+BOC=180, AOD=BOC, 所以A+D=B+C. (2)由题意,得1+D=P+3, 4+B=2+P. 因为AP,CP分别为DAB和BCD的平分线, 所以1=2,3=4. 由+得1+D+4+B=P+3+2+P, 所以D+B=2P. 因为D=40,B=30, 所以2P=40+30=70, 所以P=35. (3)P= 1 2 (B+D,课时2三角形的三边关系,课时2,1.下列说法正确的是 () 等腰三角形是等边三角形; 三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形; 等腰三角形至少有

15、两边相等; 三角形按角应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. A.B. C.D,答案,1.C【解析】因为有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形,所以等腰三角形不一定是等边三角形,所以错误;因为三角形按边可分为等腰三角形和三边都不相等的三角形,其中等腰三角形分为底边和腰不相等的等腰三角形和等边三角形,所以错误;因为两边相等的三角形叫做等腰三角形,所以正确;因为三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,所以正确.故选C,知识点1 三角形按边分类,2.设M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直角三角形.下列四个选项中,能正确表示它们之

16、间关系的是 (,答案,2.C,知识点1 三角形按边分类,3.一个等腰三角形的周长为18,若腰长比底边长的2倍少6,求各边长,答案,3.【解析】设等腰三角形的底边长为x,则腰长为2x-6. 依题意,得2(2x-6)+x=18,解得x=6, 所以2x-6=26-6=6. 所以三角形各边长分别为6,6,6,知识点1 三角形按边分类,4.2019北京海淀区期末有下列长度的三条线段,其中能组成三角形的是 () A.3,4,8B.5,6,11 C.3,1,1D.3,4,6,答案,4.D【解析】A项,3+46,能组成三角形.故选D,知识点2 三角形的三边关系,判断已知长度的三条线段能否组成三角形的方法 当三

17、条线段的长度互不相等时,只需要验证较短的两条线段的长度之和是否大于最长的线段长度,若大于就能组成,否则就不能组成;当有两条线段的长度相等时,只需要验证相等的两条线段的长度之和是否大于另一条线段的长度,若大于就能组成,否则就不能组成;三条长度相等的线段一定可以组成一个三角形,归纳总结,5.2020福建漳州期末如图,为估计池塘岸边A,B之间的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=15米,OB=10米,则A,B间的距离不可能是 () A.5米 B.10米 C.15米 D.20米,答案,5.A【解析】设A,B间的距离为x米,由题意,可知15-10 x15+10,所以5x25,选项中只有A项不符合

18、x的取值范围.故选A,知识点2 三角形的三边关系,6.易错题边长为整数并且最大边长是5的三角形共有 () A.3个B.9个C.11个D.13个,答案,6.B【解析】三条边长都为5,这样的三角形共有1个;当两边长分别为5,5时,第三边的长度可取1,2,3,4,共4个;当两边长为5,4时,第三边的长度可取2,3,4,共3个;当两边长为5,3时,第三边的长度可取3,4,共2个;当两边长为5,2时,第三边的长度可取4,共1个;当两边长为5,1时,第三边的长度应该大于4且小于5,不存在这样的整数;去掉重合的5,4,3;5,4,2这两组,得这样的三角形共有4+3+2+1+1-2=9(个).故选B,知识点2

19、 三角形的三边关系,7.2020广东珠海北大附属实验学校月考若三角形的两边长分别是4,5,则周长C的取值范围是 () A.1C9B.9C14 C.10C14D.10C18,答案,7.D【解析】设该三角形第三边的长为x,则5-4x4+5,即1x9,所以10C18.故选D,知识点2 三角形的三边关系,8.2020河南信阳期末若三角形的两边长是3和7,且第三边的长是偶数,则第三边的长可能为,答案,8.6或8【解析】设这个三角形的第三边的长为x,则7-3x7+3,所以4x10,因为第三边的长为偶数,所以第三边的长可能为6或8,知识点2 三角形的三边关系,9.七年级(1)班的周祥说大话,被同学们开玩笑地

20、称为“吹牛大王”.一天,他说:“我走起路来步子大,一步能走3米多.”你认为他说的对吗?请你用刚学过的数学知识分析,答案,9.【解析】他说的不对. 人在迈步时,两腿及两脚间的线段所组成的图形可看作三角形,若一步迈3米,由三角形的三边关系,可知腿长应在1.5米以上,则身高大约3米,显然不成立,所以他说的不对,知识点2 三角形的三边关系,10.2020安徽合肥瑶海区期中已知ABC的三边长分别为a,b,c. (1)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,试判断ABC的形状; (2)若a=5,b=2,且c为整数,求ABC周长的最大值及最小值,答案,10.【解析】(1)因为(a-b)2+(b-c)

21、2=0, 所以a-b=0,b-c=0,所以a=b=c, 所以ABC是等边三角形. (2)因为a=5,b=2, 所以5-2c5+2,所以3c7, 因为c为整数,所以c=4,5,6, 所以当c=4时,ABC的周长最小,最小值为5+2+4=11; 当c=6时,ABC的周长最大,最大值为5+2+6=13,知识点2 三角形的三边关系,1.2019江苏无锡新吴区期中有长为2 cm,3 cm,4 cm,5 cm的四根木棒,选其中的三根作为三角形的边,可以围成的三角形的个数是 () A.1B.2C.3D.4,答案,1.C【解析】共有以下方案可围成三角形:选2 cm,3 cm,4 cm三根木棒,3-243+2,

22、能构成三角形;选2 cm,4 cm, 5 cm三根木棒,4-254+2,能构成三角形;选3 cm,4 cm,5 cm三根木棒,4-354+3,能构成三角形.所以可以围成的三角形的个数是3.故选C,2.2019湖北武汉江夏区期中在如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,若C也是图中的格点,且使得ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 () A.6 B.7 C.8 D.9,答案,2.C【解析】如图,分情况讨论:当AB为等腰三角形ABC的底边时,符合条件的点C有4个,分别是C1,C2,C3,C4;当AB为等腰三角形ABC的腰时,符合条件的点C有4个,分别是C5,C6,

23、C7,C8.因此满足条件的点C有8个.故选C,3.2019贵州遵义月考已知三角形的三边长分别为a,b,c,化简|a-b+c|-|a-b-c|的结果为 () A.2a-2b B.2a-2c C.a-2bD.0,答案,3.A【解析】因为三角形的三边长分别是a,b,c,所以a-b+c0,a-b-c0,所以|a-b+c|-|a-b-c|=a-b+c+a-b-c=2a-2b.故选A,解答本题的关键是先根据三角形的三边关系判断绝对值内式子的正负,再去掉绝对值符号,最后合并同类项,名师点睛,4.2020浙江绍兴中考长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得

24、到的三角形的最长边长为 () A.4B.5C.6D.7,答案,4.B【解析】三角形有三条边,故有两根细木棒连接成一根新的细木棒.若长度为2,3的两根细木棒连接,则三边长分别为5,3,4,符合三角形的三边关系,围成的三角形的最长边为5;若长度为2,4的两根细木棒连接,则三边长分别为3,3,6,不符合三角形的三边关系,不能围成三角形;若长度为3,3的两根细木棒连接,三边长分别为2,4,6,不符合三角形的三边关系,不能围成三角形;若长度为3,4的两根细木棒连接,三边长分别为2,3,7,不符合三角形的三边关系,不能围成三角形.综上所述,得到的三角形的最长边长为5.故选B,5.若一个等腰三角形的周长为1

25、8 cm,一边长为7 cm,则其他两边的长为,答案,5.7 cm,4 cm或 11 2 cm, 11 2 cm【解析】若7 cm为腰长,则另一腰长为7 cm,底边长为18-7-7=4(cm),且7+74;若7 cm为底边长,则腰长为 187 2 = 11 2 (cm),且 11 2 + 11 2 7.故其他两边的长分别为7 cm,4 cm或 11 2 cm, 11 2 cm,6.2019安徽合肥瑶海区期中在ABC中,AB=8,且 BC=2a+2,AC=22. (1)求a的取值范围; (2)若ABC为等腰三角形,求ABC的周长,答案,6.【解析】(1)由题意,得22-82a+222+8, 解得6

26、a14,所以a的取值范围是6a14. (2)因为ABC为等腰三角形, 所以2a+2=8或2a+2=22,解得a=3或a=10. 由(1)知6a14,所以a=10, 所以ABC的周长等于22+22+8=52,7.“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米、3分米,第三边的长为奇数(单位:分米)的不同规格的三角形木框. (1)满足上述条件的三角形木框共有种; (2)若每种规格的三角形木框只制作1个,制作这种木框的木条的售价为8元/分米,问至少需要多少钱购买木条?(忽略接头,答案,7.【解析】(1)3 设三角形木框的第三边的长为x分米,则7-3x3+7,即4x10.因为第三边的长为奇数,所以第三

27、边的长可以为5分米,7分米或9分米.故满足条件的三角形木框共有3种. (2)制作每种规格的三角形木框各1个所需木条的长为3+5+7+3+7+7+3+7+9=51(分米), 518=408(元). 答:至少需要408元购买木条,8.如图,点P是ABC内部的一点,连接PB,PC. (1)度量线段AB,AC,PB,PC的长度,根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小; (2)改变点P的位置,上述结论还成立吗? (3)你能说明上述结论为什么正确吗,答案,8.【解析】(1)经度量,AB1.7 cm,AC2.3 cm,PB1.4 cm,PC2.0 cm, 所以AB+ACPB+PC. (2)成立. (3

28、)延长BP交AC于点D. 在ABD中,AB+ADPB+PD, 在PDC中,PD+DCPC, +,得AB+AD+PD+DCPB+PD+PC, 所以AB+ACPB+PC,9.如图,有4个村庄A,B,C,D,现要建造一座水塔P.问水塔P应建在什么位置,才能使它到4个村庄的距离之和最小.请你找出水塔P的位置,并说明理由,答案,9.【解析】水塔P应建在AC和BD的交点处,这样能使它到4个村庄的距离之和最小.理由如下: 连接AC,BD交于点P,不妨任取一点P(不与点P重合),连接AP,BP,CP,DP, 在APC中,AP+CPAC=AP+CP, 在BPD中,BP+DPBD=BP+DP, +,得AP+BP+

29、CP+DPAP+BP+CP+DP, 所以AC和BD的交点到4个村庄的距离之和最小,所以水塔P应建在AC和BD的交点处,课时3三角形的中线、角平分线和高线,课时3,1.如图,D为AC 上一点,AD=DC,E为BC上一点,BE=EC,则下列说法不正确的是 () A.DE是BDC的中线 B.BD是ABC的中线 C.D为AC的中点,E为BC的中点 D.DE是ABC的中线,答案,1.D【解析】因为BE=EC,所以DE是BDC的中线,所以选项A说法正确,选项D说法不正确;因为AD=DC,所以BD是ABC的中线,所以选项B说法正确;因为AD=DC,所以D为AC的中点,因为BE=EC,所以E为BC的中点,所以

30、选项C说法正确.故选D,知识点1 三角形的中线及重心,2.如图,已知BD是ABC的中线,AB=5,BC=3,则ABD和BCD的周长的差为 () A.2 B.3 C.6 D.不能确定,答案,2.A【解析】因为BD是ABC的中线,所以AD=CD,所以ABD和BCD的周长的差为(AB+BD+AD)-(BC+BD+CD)=AB-BC=5-3=2.故选A,知识点1 三角形的中线及重心,三角形中线的作用 一是一条中线平分一条边;二是一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形(等底同高).本题考查三角形的周长问题,解题的关键是中线将三角形的一边平分,归纳总结,3.如图,已知点P是ABC的重心,连接AP,并延长

31、交BC于点D.若ABC的面积为20,则ADC的面积为,答案,3.10【解析】因为点P是ABC的重心,所以AD是ABC的中线,所以ADC的面积等于ABC面积的一半,又因为ABC的面积为20,所以ADC的面积为10,知识点1 三角形的中线及重心,4.2020河南许昌期中如图,ABC中(ABBC),AB=2AC,AC边上的中线BD把ABC的周长分成30和20两部分,求AB和BC的长,答案,4.【解析】设AC=x,则AB=2x. 因为BD是AC边上的中线,所以AD=DC= 1 2 x. 由题意,得2x+ 1 2 x=30,解得x=12. 所以AC=12,AB=24, 所以BC=20- 1 2 12=1

32、4,知识点1 三角形的中线及重心,5.2020辽宁锦州中考如图,在ABC中,A=30,B=50,CD平分ACB,则ADC的度数是 () A.80 B.90 C.100 D.110,答案,5.C【解析】因为A=30,B=50,所以ACB=180-30-50=100.因为CD平分ACB,所以ACD=BCD= 1 2 ACB= 1 2 100=50,所以ADC=180-A-ACD=180-30-50=100.故选C,知识点2 三角形的角平分线,6.2019湖北武汉武昌区模拟如图,在ABC中,ADBC于点D,AE平分BAC交BC于点E.若1=30,2=20,则B的度数为,答案,6.50【解析】因为AE

33、平分BAC,1=30,所以CAE=1=30,所以DAE=CAE-2=10,所以BAD=1+ DAE=40.因为ADBC,所以ADB=90,所以B=180-BAD-ADB=50,知识点2 三角形的角平分线,7.如图,已知AE平分BAC,且1=2=4=15,计算3的度数,并说明AE是DAF的角平分线,答案,7.【解析】因为AE平分BAC,所以BAE=CAE. 因为1=2=15,所以BAE=1+2=15+15=30, 所以CAE=4+3=30, 又因为4=15,所以3=15, 所以2=3=15,所以AE是DAF的角平分线,知识点2 三角形的角平分线,8.2020湖南永州期中下列图形中AD是ABC的高

34、的是 (,答案,8.D,知识点3 三角形的高,9.2019江苏苏州姑苏区期中如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是 () A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形D.任意三角形,答案,9.A【解析】因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高的交点,所以可以得出这个三角形是直角三角形.故选A,知识点3 三角形的高,锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在的直线相交于三角形外一点,名师点睛,10.如图,在ABC中,AC

35、B=90,1=B. (1)试说明CD是ABC的高; (2)如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长,答案,10.【解析】(1)因为ACB=1+BCD=90,1=B, 所以B+BCD=90, 所以CDB=180-90=90,所以CDAB, 所以CD是ABC的高. (2)因为ACB=CDB=90, 所以SABC= 1 2 ACBC= 1 2 ABCD, 又因为AC=8,BC=6,AB=10, 所以CD= = 68 10 = 24 5,知识点3 三角形的高,1.2020天津南开区期末如图,ACBC于C,CDAB于D,图中可以作为三角形高的线段有 () A.1条 B.2条 C.3条 D.5条,答

36、案,1.D【解析】可以作为ACD的高的有AD,CD,共2条;可以作为BCD的高的有BD,CD,共2条;可以作为ABC的高的有BC,AC,CD,共3条.综上所述,可以作为三角形高的线段有AD,CD,BD,BC,AC,共5条.故选D,2.原创题将一副直角三角板按如图所示的方式放置,若AD平分CAB,则1的度数为 () A.15 B.30 C. 45 D.60,答案,2.D【解析】解法一如图,因为AD平分CAB,CAB=90,所以CAD= 45, 又因为C=45,所以COA=90,所以COD=90,所以1=BPD=180-COD- D=180-90-30=60. 解法二因为AD平分CAB,CAB=9

37、0,所以CAD=DAB=45,所以EAC= EAD-CAD=90-45=45.又因为C=45,所以EAC=C,所以BCAE,所以1=E=60,3.2019四川成都金牛区期中如图,在ABC中,1=2,G为AD的中点,连接BG并延长交AC于点E,CFAD分别交AD, AB于点H,F.给出下列判断,其中正确的个数是 () BG是ABD中边AD上的中线;AD既是ABC中BAC的平分线,也是ABE中BAE的平分线;CH既是ACD中AD边上的高线,也是ACH中AH边上的高线. A.0 B.1 C.2 D.3,答案,3.D【解析】因为G为AD的中点,所以BG是ABD中边AD上的中线,故正确;因为1=2,所以

38、AD既是ABC中BAC的平分线,也是ABE中BAE的平分线,故正确;因为CFAD于点H,所以CH既是ACD中AD边上的高线,也是ACH中AH边上的高线,故正确.故选D,4.2020浙江温州期中如图,在ABC中,已知点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且SABC=8 cm2,则图中阴影部分(BEF)的面积等于 () A.1 cm2 B.2 cm2 C.4 cm2 D.6 cm2,答案,4.B【解析】因为点E是AD的中点,所以SABE= 1 2 SABD,SACE= 1 2 SADC,所以SABE+SACE= 1 2 SABC= 1 2 8=4(cm2),所以SBCE=8-4=4(cm2).

39、因为点F是CE的中点,所以SBEF= 1 2 SBCE= 1 2 4=2(cm2).故选B,本题考查了三角形面积的求法,解题的关键是掌握三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形,其数学原理为等底同高的两个三角形面积相等,名师点睛,5.易错题已知AD是ABC的一条高,如果BAD=65,CAD=30,那么BAC的度数为,答案,5.95或35【解析】当AD在ABC内部时,如图1,BAC=BAD+CAD=65+30=95;当AD在ABC外部时,如图2,BAC=BAD-CAD=65-30=35.综上,BAC的度数为95或35,6.如图,在钝角三角形ABC中. (1)作出钝角三角形ABC的高AM,

40、CN; (2)若CN=3,AM=6,求BC与AB的比值,答案,6.【分析】(1)过点A作AMBC交BC的延长线于点M,过点C作CNAB于点N,则AM,CN为ABC的高;(2)根据三角形的面积公式得到 1 2 AMBC= 1 2 CNAB,再利用等式的性质求BC与AB的比值. 【解析】(1)如图,AM,CN即所求. (2)因为AM,CN为ABC的高, 所以SABC= 1 2 AMBC= 1 2 CNAB, 所以AMBC=CNAB. 因为CN=3,AM=6,所以6BC=3AB,所以 = 1 2,7.2020江苏泰州姜堰区期中如图,在ABC中,AE为边BC上的高,点D为边BC上的一点,连接AD. (

41、1)当AD为边BC上的中线时,若AE=4,ABC的面积为24,求CD的长; (2)当AD为BAC的平分线时. 若B=35,C=65,求DAE的度数; 若C-B=20,则DAE,答案,7.【解析】(1)因为AE为边BC上的高,AE=4,ABC的面积为24, 所以 1 2 BCAE=24,所以BC=12. 因为AD是边BC上的中线,所以CD= 1 2 BC=6. (2)因为B=35,C=65, 所以BAC=180-B-C=180-35-65=80. 因为AD平分BAC,所以BAD= 1 2 BAC=40. 因为AEBC,所以AEB=90, 所以BAE=90-B=55, 所以DAE=BAE-BAD=

42、55-40=15. 10 由可得DAE=BAE-BAD=90-B- 1 2 (180-B-C)= 1 2 (C-B)=10,8.在ABC中,ACBABC,AD平分BAC. (1)如图1,过点B作BEAD交AD的延长线于点E,则ABE与 1 2 (ACB+ABC)有何大小关系?请说明理由. (2)如图2,过点C作CFAD于点F,则DCF与ACB,ABC有怎样的数量关系?写出你的结论(不用说明理由). (3)如图3,过点A作AMBC于点M,则DAM与ACB,ABC有怎样的数量关系?写出你的结论(不用说明理由,答案,8.【解析】(1)ABE= 1 2 (ACB+ABC).理由如下: 在ABE中,BE

43、AD,所以E=90. 因为AD平分BAC,所以BAD= 1 2 BAC, 所以ABE=180-E-BAD=90- 1 2 BAC. 在ABC中,BAC=180-ACB-ABC, 所以ABE=90- 1 2 (180-ACB-ABC)= 1 2 (ACB+ABC). (2)DCF= 1 2 (ACB-ABC). (3)DAM= 1 2 (ACB-ABC,专项4三角形中三条重 要线段的应用,1.易错题已知一个三角形的三边长之比为345,则这三条边上的高之比为() A.345B.543 C.201512D.541,答案,1.C【解析】由三边长之比为345,3,4,5的最小公倍数为60,再结合同一个三

44、角形的面积相等,得这三边上的高之比为201512.故选C,2.2019山东枣庄模拟如图,ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是BAC,ABC的平分线,BAC=50,ABC=60,则EAD+ACD=() A.75 B.80 C.85 D.90,答案,2.A【解析】根据三角形内角和定理,得ACD=180-(BAC+ABC)=70.因为AD是BC边上的高,所以ADC= 90,所以CAD=90-ACD=20.因为AE是BAC的平分线,所以CAE= 1 2 BAC=25,所以EAD=CAE-CAD= 25-20=5,所以EAD+ACD=5+70=75.故选A,3.2020天津西青区期末如图,AD

45、是ABC的高,BE平分ABC交AD于点E.若C=76,BED=64,求BAC的度数,答案,3.【解析】因为AD是ABC的高,BED=64, 所以EBD=180-90-64=26. 因为BE平分ABC, 所以ABC=2EBD=52. 所以BAC=180-ABC-C=180-52-76=52,4.2020广东深圳福田区期末如图,AD为ABC的中线,BE为ABD的中线. (1)若ABE=15,BAD=35,求BED的度数; (2)作BED中BD边上的高; (3)若ABC的面积为60,BD=5,求点E到BC边的距离,答案,4.【解析】(1)因为ABE=15,BAD=35, 所以BEA=180-15-3

46、5=130, 所以BED=180-130=50. (2)如图所示,EF即BED的边BD上的高. (3)因为AD为ABC的中线,BE为ABD的中线, 所以SABD= 1 2 SABC,SBED= 1 2 SABD, 所以 = 1 4 = 1 4 60=15. 因为BD=5,SBED= 1 2 EFBD,所以EF= 2SBED = 215 5 =6, 即点E到BC边的距离为6,5.在ABC中,CB,AE平分BAC,F为射线AE上一点(不与点E重合),且FDBC于点D. (1)如图1,当点F与点A重合,且C=50,B=30时,求EFD的度数,并直接写出EFD与 1 2 (C-B)之间的数量关系. (

47、2)如图2,当点F在线段AE上(不与点A重合)时,EFD与C-B有怎样的数量关系?并说明理由. (3)当点F在ABC外部时,在图3中画出符合题意的图形,并直接写出EFD与C-B的数量关系,答案,5.【解析】(1)因为B=30,C=50, 所以BAC=180-B-C=100. 因为AE是BAC的平分线, 所以CAE= 1 2 BAC=50. 因为FDBC,所以FDC=90,答案,又因为C=50,所以CAD=180-90-50=40, 所以EFD=CAE-CAD=50-40=10. EFD= 1 2 (C-B). (2)EFD= 1 2 (C-B).理由如下: 如图1,过点A作AMBC于点M, 因

48、为BAC+B+C=180,所以BAC=180-B-C. 因为AE是BAC的平分线, 所以CAE= 1 2 BAC=90- 1 2 (B+C). 因为AMBC,所以AMC=90, 所以CAM=180-90-C=90-C, 所以EAM=CAE-CAM=90- 1 2 (B+C)-(90-C)= 1 2 (C-B). 因为AMBC,FDBC,所以AMFD, 所以EFD=EAM= 1 2 (C-B,答案,3)符合题意的图形如图2所示,EFD= 1 2 (C-B). 如图2,过点A作ANBC于点N, 由(2)可知,EAN= 1 2 (C-B). 因为ANBC,FDBC,所以ANFD, 所以EFD=EAN

49、= 1 2 (C-B,2图形的全等,1.2019湖南邵阳期中下列各组图形是全等图形的是 (,答案,1.D【解析】能够完全重合的两个图形称为全等图形.结合选项,知只有D项中的两个图形能够完全重合.故选D,知识点1 全等图形,判断两个图形是不是全等图形的方法 通过平移、翻折、旋转等方法,将两个图形叠合在一起观察是否完全重合,若重合,则是全等图形,否则不是.有时还可以借助网格背景来观察比较,归纳总结,2.下列说法不正确的是 () A.用一张底片冲洗出来的10张一寸照片是全等图形 B.我国国旗上的4颗小五角星是全等图形 C.全等图形的面积一定相等 D.所有的正方形都是全等图形,答案,2.D【解析】根据

50、全等图形的概念,知A,B,C项说法正确;因为所有的正方形的边长不一定都相等,所以它们不一定是全等图形,故D项说法不正确.故选D,知识点1 全等图形,3.若如图所示的两个三角形能够完全重合,则下列说法正确的是 () A.ABEAFB B.ABEABF C.ABEFBA D.ABEFAB,答案,3.B【解析】观察题中图形可知,两个三角形的对应顶点分别是点A与点A、点B与点B、点E与点F,所以ABE ABF.故选B,知识点2 全等三角形的概念及表示方法,4.如图,已知ABEACD,AEB=ADC,B=C,指出对应边和其他的对应角,答案,4.【解析】因为ABEACD,所以这两个三角形的对应边为AB与A

51、C,AE与AD,BE与CD,其他的对应角为BAE与CAD,知识点2 全等三角形的概念及表示方法,确定全等三角形对应元素的方法 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两对对应角所夹的边是对应边;(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两组对应边所夹的角是对应角;(3)全等三角形中有公共边的,公共边一定是对应边;(4)全等三角形中有公共角的,公共角一定是对应角;(5)全等三角形中有对顶角的,对顶角一定是对应角;(6)两个全等三角形中,一对最长的边(或最大的角)是对应边(或对应角),一对最短的边(或最小的角)是对应边(或对应角,归纳总结,5.2020广东珠海香洲区期末如图,ABCADE,B=20,

52、C=110,则EAD的度数为 () A.50 B.20 C.110 D.70,答案,5.A【解析】因为B=20,C=110,所以CAB=180-20-110=50.因为ABCADE,所以EAD=CAB= 50.故选A,知识点3 全等三角形的性质,6.2020山东淄博中考如图,若ABCADE,则下列结论中一定成立的是 () A.AC=DE B.BAD=CAE C.AB=AE D.ABC=AED,答案,6.B【解析】因为ABCADE,所以AC=AE,AB=AD,ABC=ADE,BAC=DAE,所以BAC-DAC= DAE-DAC,即BAD=CAE.由题中所给条件无法得到A,C,D选项中的结论,B选

53、项一定成立. 故选B,知识点3 全等三角形的性质,7.2020湖南长沙明德教育集团期中已知ABCDEF,ABC的周长为12,AC=3,EF=4,则AB,答案,7.5【解析】因为ABCDEF,所以BC=EF=4.因为ABC的周长为12,所以AB+BC+AC=12,所以AB=12-3-4=5,知识点3 全等三角形的性质,8.已知ABCDEF,BC=6 cm,ABC的面积是18 cm2,则EF边上的高是cm,答案,8.6【解析】因为ABCDEF,BC=6 cm,ABC的面积是18 cm2,所以EF=BC=6 cm,DEF的面积是18 cm2,由三角形的面积公式,得EF边上的高为6 cm,知识点3 全

54、等三角形的性质,9.如图,ABCDEF,且点B,E,C,F在同一条直线上. (1)试说明:ACDF. (2)若D+F=90,试判断AB与BC的位置关系,并说明理由,答案,9.【解析】(1)因为ABCDEF, 所以ACB=F, 所以ACDF. (2)ABBC.理由如下: 在DEF中,D+F=90,所以DEF=90. 因为ABCDEF, 所以B=DEF=90, 所以ABBC,知识点3 全等三角形的性质,10.2020四川眉山期末如图,已知ABCDEB,点E在AB上,DE与AC相交于点F. (1)当DE=8,BC=5时,求线段AE的长. (2)已知D=35,C=60,求DBC的度数,答案,10.【解

55、析】(1)因为ABCDEB,DE=8,BC=5, 所以AB=DE=8,BE=BC=5. 所以AE=AB-BE=8-5=3. (2)因为ABCDEB, 所以A=D=35,DBE=C=60. 因为A+ABC+C=180, 所以ABC=180-A-C=85. 所以DBC=ABC-DBE=85-60=25,知识点3 全等三角形的性质,1.2020江西南昌十九中月考如图,在RtABC中,BAC=90,D,E分别是AC,BC上的点.若ADBEDBEDC,则C的度数是 () A.15 B.20 C.25 D.30,答案,1.D【解析】因为ADBEDBEDC,所以ABD=EBD=C.因为BAC=90,所以AB

56、D+EBD+ C=90,即3C=90,所以C=30.故选D,2.2020河南周口期末如图,在ABC和ABC中,ABCABC,AABC,ACB=,BCB=,则,满足关系 () A.+=90 B.+2=180 C.2+=180 D.+=180,答案,2.C【解析】因为ABCABC,所以AC=AC,易得AAC=AAC.因为AABC,所以AAC=ACB=,所以AAC=AAC=,所以BCB=ACA=180-AAC-AAC=180-2=,所以2+=180.故选C,3.已知ABCDEF,AB=2,BC=4.若DEF的周长为偶数,则DF的长为 () A.3B.4 C.5D.3,4或5,答案,3.B【解析】因为

57、ABCDEF,AB=2,BC=4,所以DE=AB=2,EF=BC=4,所以4-2DF4+2,即2DF6.因为DE=2, EF=4,DEF的周长为偶数,所以DF的长为偶数,所以DF=4.故选B,4.2020江苏镇江市外国语学校月考已知ABC的三边长分别为3,5,7,DEF的三边长分别为3,3x-2,2x-1.若这两个三角形全等,则x为 () A. 7 3 B.4C.3D.2,答案,4.C【解析】因为ABC与DEF全等,所以3x-2=5,2x-1=7或3x-2=7,2x-1=5.当3x-2=5,2x-1=7时,x不存在;当3x-2=7, 2x-1=5时,x=3.故选C,5.2020福建莆田期末如图

58、,在孔雀开屏般漂亮的44正方形网格中,1+2+3+4+5+6+7,答案,5.315 【解析】由题意,得AEFLBA,所以7=EAF. 所以1+7=90.同理可得2+6=90,3+5= 90,易知4=45,所以1+2+3+4+5+6+7=90+90+90+45=315,6.如图,请分别画两条直线,把这个“+”图案分成四个全等的图形,答案,6.【解析】如图所示.(答案不唯一,7.2019北京海淀区期末如图,已知ABCADE,DAE=80,C=30,DAC=35,AC,DE交于点F,求CFE的度数,答案,7.【解析】因为DAE=80,DAC=35, 所以FAE=DAE-DAC=45. 因为ABCAD

59、E,所以E=C=30, 所以CFE=180-AFE=180-(180-FAE-E)=75,8.2020河南南阳期末如图,已知ABFCDE. (1)若B=30,DCF=45,求EFC的度数; (2)若BD=10,EF=2,求BF的长,答案,8.【解析】(1)因为ABFCDE,所以D=B=30, 又因为DCF=45, 所以DFC=180-D-DCF=105, 所以EFC=180-DFC=75. (2)由ABFCDE,可知BF=DE, 所以BF-EF=DE-EF,所以BE=DF, 又因为BD=10,EF=2, 所以BE= 1 2 (BD-EF)= 1 2 (10-2)=4, 所以BF=BE+EF=4

60、+2=6,9.2019湖南常德鼎城区期中如图,A,D,E三点在同一直线上,且BADACE. (1)试说明:BD=DE+CE. (2)ABD满足什么条件时,BDCE,答案,9.【解析】(1)因为BADACE,所以BD=AE,AD=CE, 所以BD=AE=AD+DE=CE+DE,即BD=DE+CE. (2)ABD满足ADB=90时,BDCE.理由如下: 当ADB=90时,BDE=180-90=90. 因为BADACE,所以E=ADB=90, 所以BDE=E,所以BDCE,解答探究条件类题目的方法 可先猜想出条件,利用猜想的条件推出题目的结论;也可先将题目中的结论当作条件进行推理,推出题目中要探究的