第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案(含解析)新人教A版必修4

1、2. 3.1 平面向量基本定理层析教材.新知无师自逋-13 -平面向量基本定理提出问题问题1：在物理中，我们学习了力的分解， 即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想:平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？提示：可以.问题2：如果ei, e2是两个不共线的确定向量，那么与ei, e在同一平面内的任一向量 a能否用ei, e2表示？根据是什么？提示：可以根据是数乘向量和平行四边形法则.冋题3：如果ei, e2是共线向量，那么向量 a能否用ei, e2表示？为什么？提示：不一定当 a与ei共线时可以表示，否则不能表示.导入新知平面向量基本定理条件ei, e2是冋一平面内的两个不共线向量结

2、论这一平面内的任意向量a,有且只有一对头数入i,入2,使a入iei+入2e2基底不共线的向量ei, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底化解疑难理解平面向量基本定理应关注的三点(1) 只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一.(2) 零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底.入i ,入2是唯一的.两向量的夹角提出问题问题i：平面中的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗? 提示：存在.问题2:若上题中的结论为存在夹角，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ 提示：不一样.导入新知向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程Obti作向量OA = a, OB

3、 = b,则/ AOB叫做向量a与b的夹角范围0, n 特殊情况0 = 0a与b同向0 = 90a与b垂直，记作a丄b0 = 180a与b反向化解疑难正确理解向量的夹角(1)向量夹角的几何表示:a, b,作 0A = a, OB = b,则/依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所 成的角才是两向量的夹角.如图，已知两向量AOB为a与b的夹角.(2)注意事项：向量的夹角是针对非零向量定义的.向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是0, n 和 I。，n顿定考向.考題千变不离碁宗用基底表小向量例1如图，梯形 ABCD中, AB/ CD且AA 2CQ M

4、N分别是DCAB的中点，若 AB = a, AD = b,试用 a, b 表示 DC , BC , MN .解如图所示,连接 CN则四边形 ANCDI平行四边形.=*=*d -fj.A则 DC = AN = 2 AB = 2a；BC = NC- NB = AD -2 AB = b-qa； 1MN = CN CM =- AD ?CD- 1 1 1一 AD -2 -2 AB = 4a b.类题通法用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性 运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程 组的形式，利用基底表示向

5、量的唯一性求解.活学活用如图所示，已知在？ABCDK E F分别是BCDC边的中点.若AB = a, AD = b,试用a, b为基底表示向量DE , BFA A 答案：DE = a-2b; BF = b-尹题型二例2 已知|a| = |b| = 2，且a与b的夹角为60,贝U a+ b与a的夹角是多少？ a-b 与a的夹角又是多少？解如图所示，作 0A = a, OB = b,且/ AOB= 60.以0A , OB为邻边作平行四边形 OACB则0C = a+ b, BA = a-b.因为|a|=|b|= 2，所以平行四边形 OACBi菱形.又因为/ AOB= 60,所以0C与0A的 夹角为3

6、0, BA与0A的夹角为60.即a+ b与a的夹角是30, a- b与a的夹角是60.类题通法求两个向量夹角的方法求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概 念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角过程简记为“一作二证三算”.活学活用如图，已知 ABC是等边三角形.(1)求向量AB与向量BC的夹角； 若E为BC的中点，求向量 AE与EC的夹角.答案：(1)120 (2)90 健3平面向量基本定理的唯一性及其应用例 3(1)设向量 ei与 e2不共线，若 3xei + (10 y) q = (4y 7)e + 2xe2,则实数 x, y的值分别为()A.

7、0,0B. 1,1C. 3,0D . 3,4(2)在?ABC中, E和F分别是边CD和 BC的中点若 AC =入AE +卩AF，其中入， 卩 R,求入+卩的值.解(1)D 1 1 (2)设 AB = a, BC = b,则 AF = a + AE = b + a, AC = a+ b,所以 AC =入 AE+卩AF =入b+ 2a +卩2b+a =入+ 2卩b+ 2入+卩a= a+ b.又因为a, b不共线，所入 + 2 卩=1,24以彳1解得入= = 3,所以入+卩=3.；入+卩=1,2类题通法1. 平面向量基本定理唯一性的应用X1 = X2 ,设a, b是同一平面内的两个不共线向量，若X+

8、 y1b= x?a+ y2b,则y = y2.2 重要结论设e1, e2是平面内一组基底，当入1e1 +入2e2= 0时恒有入1 =入2= 0若a =入e +入2e2当入2= 0时，a与&共线当入1= 0时，a与e2共线入1=入2= 0时，a= 0活学活用若向量a, b不共线，且c = 2a b, d = 3a 2b,试判断c, d能否作为基底. 答案：c，d能作为基底.储补短板.拉分題一分不丢5 .平面向量基本定理的应用典例（12分）如图，在 ABC中，点 M是边BC的中点,占八、N在边AC上，且AN= 2NCAM与 BN相交于点 P,求AP： PM的值.解题流程捷甚底f 和用卩，血三五共戟

9、.表示卜:八I求ap : rvr的值，可用同一组.基底表示肓和丙.M为BC中点笙 在八仁上、且AM =! 2人肘与相 愛于点P.和用R,九N三点共粗表示刊用两向量相爭求廨数求得A与AM的关系求 AP :的值.规范解答设 BM = ei, CN = e2,则 AM = AC + CM = 3e2 ei,BN = BC + CN = 2ei + e.（2 分） A，P, M和B, P, N分别共线,存在实数入，卩，使得AP =入AM =入ei 3入e2, （4分）名师批注选取恰当的基底是解决此类问题的前提若不能根据题意选出基底或设出基向量，则后续推导无法进行.利用A, P, M和B, P, N分别

10、共线建立=入AM , BP =1 BN是解决本题 的关键，也是解决此类问题的常用方法.BP = BN = 2卩 ei+ e2.（6 分）故 BA = BP AP =（入 + 2 i） ei + （3 入 + 1 ） e2.而 BA = BC + CA = 2ei + 3e2, （8 分）由平面向量基本定理的唯一性建立关于入，1的方程组，求出入，1的值，即可求出AP与AM的关系，进而求出 AP：PM的值.由平面向量基本定理，入 + 2 1 = 2,得彳|3 入 + 1 = 3,C 4丨入=5，解得（io分）.卩=5.4-二 AP = 5 am , AP： PMk 4 : i.（i2 分）活学活用

11、c如图， ABC中, D为BC的中点，G为AD的中点，过点 G任作一直线MN分别交AB, AC于M N两点，若AM = x AB , AN = y AC，试问:i i+ 一是否为定值？x yi i答案：x+ y=4，为定值.自主演练.百煤方成钢随堂即时演练i 设0是平行四边形 ABC两对角线的交点，下列向量组：AD与AB :DA与BC ;CA与DC :0D与OB，其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是（）A.B.C.D .答案：B2 .已知？ABC中，/ DAB= 30,贝U AD与CD的夹角为（）A. 30B . 60C. 120D . 150答案：D.w3 如图，C, D是厶AO沖边A

12、B的三等分点，设 OA = ei, OB = e2，以ei, q为基底来. ”-=表示 OC =, OD =.答案：|ei + ge1 23ei+ 3e24.已知ei,e2不共线，且a= kei e2, b= e ei，若a, b不能作为基底，贝U k等于答案：i5.梯形ABCD中, AB/ CD M N分别是DA BC的中点，且AB= k，设 AD = ei, AB =e2,以ei, e2为基底表示向量 BC .答案：BC = ei + （ k i） e2课时达标检测一、选择题I .如果ei, e2是平面a内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（） 入ei+卩e2（入，卩 R）可以表示

13、平面 a内的所有向量； 对于平面a内任一向量a,使a=入ei+卩e2的实数对（入，卩）有无穷多个； 若向量 入iei + 1 g与 入2ei + 12e2共线，则有且只有一个实数入，使得 入iei + ie2=入（入 2ei + 12e2）； 若实数 入，1使得 入ei+ i e2= 0,贝U入=1 = 0.A.B.C.D .答案：B2. 已知ei, e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是（）A. ei, ei + e2B. ei 一 2e2, e2一2eiC. ei 2e2,4e2 2eiD. ei + e2, ei 一 e答案：C3 .如图，在矩形 A

14、BCD，若 BC = 5ei, DC = 3e2，则 OC =()ADiA. 2(5 ei + 3e2)iB. 2(5 ei 一 3e2)iC2(3 e2 5ei)1D. 2(5 e2 一 3ei)答案：A4. AD与 BE分别为 ABC勺边BC AC上的中线，且 AD = a, BE = b,则BC =()4224A.3a+ 3b B. 3a+ 3b2 2 2 2C尹一 3bD .3a + 3b答案：B5. 代B, O是平面内不共线的三个定点，且OA = a, OB = b,点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为 R则PF等于()A.a bB.2( b a)C.2( a b)D.b

15、 a答案：B二、填空题6. 已知非零向量 a, b, c满足a+ b+ c= 0，向量a, b的夹角为i20,且| b| = 2| a| , 则向量a与c的夹角为.答案：907 .如图，在 ABC中, AB= 2, BC= 3,Z ABC= 60, AHL BC于点 H, M为 AH的中点.若AM =入 AB +BC，贝U 入 + 卩=.2答案：38 .设ei, e2是平面内一组基向量，且a = ei + 2e2, b= ei + e2,则向量 ei + e2可以表示为另一组基向量 a, b的线性组合，即 ei+ e2=.2 1答案：3a _ 3b三、解答题9 .设ei, e2是不共线的非零向

16、量，且a = ei 一 2e2, b= ei + 3e?.(1) 证明：a, b可以作为一组基底；(2) 以a, b为基底，求向量 c = 3ei e2的分解式；(3) 若4 ei 3e2=入a+口 b,求入，卩的值.解：证明：若a, b共线，则存在入 R,使a=入b,则 ei 2e2=入(e + 3e2).n=i,卩=i,由ei, e2不共线，得*? f23入=一 2p= 入不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底.(2)设 c = m+ nb( m, n R)，贝U3ei e2= m ei 2e2)+ n(ei+ 3e2)=(m+ n) ei + ( 2m+ 3n)e2.2m+ 3n= i

17、n= i.- c = 2a + b.(3)由 4ei 3e2=入 a+ 卩 b,得4e 3e2=入(ei 2a) + 卩(ei + 3e2)=(入 +) ei + ( 2 入 + 3) e2.入 + 1= 4,|入=3,| 2入 + 31= 3 i. 1 = i.故所求入，1的值分别为3和i.iO.如图，已知梯形 ABCDK AB/ CD AB= 2CD E、F分别是DC AB的中点，设 AD =a, AB = b,试用 a, b 表示 DC , EF , FC .解： DC/ AB, AB= 2DC E、F分别是 DC AB的中点, -gj. -fj. -gj. =-a*A A FC= AD = a, DC = AF = AB = qb.EF = ED + DA + AF . 1=-2 DC- AD + 2 AB1111=-2X 2b- a+ qb= 4b- a.11