随机过程习题答案

1、随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程为常数，求的一维概率密度、均值和相关函数。解 因，所以，也服从正态分布，所以，的一维概率密度为，均值函数 相关函数 2.2 设随机变量Y具有概率密度，令，求随机过程的一维概率密度及。解 对于任意，是随机变量Y的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法， 对求导得的一维概率密度，均值函数 相关函数 2.3 若从开始每隔秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程 试求：（1）的一维分布函数；（2）的二维分布函数；（3）的均值，方差 。解 （1）时，的分布列为 0 1P 一维分布函数 时，的分布列为 -1 2P 一维分布函数 （2）由于相互独立，所以的分

2、布列为 -1 2 0 1 二维分布函数 （3） 2.4 设有随机过程，其中为常数，是相互独立且服从正态分布的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。解 因独立，所以，均值 相关函数 2.5 已知随机过程的均值函数和协方差函数为普通函数，令，求随机过程均值和协方差函数。解 均值 协方差 其它项都约掉了 2.6 设随机过程，其中是常数，在上服从均匀分布，令 ，求和。解 而 同理 利用三角积化和差公式所以，而 同理 所以，2.7 设随机过程，其中是相互独立的随机变量，且具有均值为零，方差为1，求随机过程的协方差函数。解 根据题意，因相互独立，均值为零，所以上面交叉乘积项数学期望为零2.8 设为实随机过

3、程，为任意实数，令 证明随机过程的均值函数和相关函数分别为的一维和二维分布函数。证明 的取值为 2.9 设是一个周期为T的周期函数，随机变量Y在（0，T）上均匀分布，令，求证随机过程满足 证明 Y的密度函数为 2.13 设是正交增量过程，是标准正态随机变量，若对任意的，相互独立，令，求随机过程的协方差函数。解 因是正交增量过程，所以，有 （因独立，） （利用正交增量过程的结论）习题44.1 设质点在区间0，4的整数点做随机游动，到达0点或4点后以概率1停留在原处，在其它整数点分别以概率向左、向右移动一格或停留在原处，求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。解 转移概率如图一步概率转移矩阵为二步

4、转移概率矩阵为4.2 独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为，对于，令，这些值分别对应于第n-1次和第n次抛掷的结果为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），求马尔可夫链的一步和二步转移概率矩阵。解 对应状态为 ，（正，反），（反，正），（反，反），（不可能事件）（不可能事件）同理可得下面概率，一步转移概率矩阵为二步转移概率矩阵为4.4设为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为 试证 解 根据条件概率的定义及马尔可夫链的有限维分布的结论定理4.3，有同理有所以，4.5 设为随机过程，且 为独立同分布随机变量序列，令 试证：是马尔可夫链。证明 只要证明满足无后效性，即即

5、可。根据题意，由此知是的函数，因为是相互独立的随机变量，所以，对任意的n，与相互独立。从而（因） （因与独立，条件概率等于无条件概率）4.6 已知随机游动的转移概率矩阵为 求三步转移概率矩阵及当初始分布为 时，经三步转移后处于状态3的概率。解 所以，4.7 已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下（1）（2）求下一、二个月的销售状态。解 （1）（2） 4.8 某商品六年共24个季度销售记录如下表（状态1畅销，状态2滞销）季节1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12销售状态1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2季节13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

6、 23 24销售状态1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1以频率估计概率，求（1）销售状态的初始分布，（2）三步转移概率矩阵及三步转移后的销售状态的分布。解 状态1的个数为15个，状态2的个数为9个（1）所以，销售状态的初始分布为 （2）求一步转移概率状态共有7个，状态共有7个，状态共有7个，状态共有2个，所以，一步转移概率矩阵为，三步转移概率矩阵为三步转移后的销售状态分布为4.9 设老鼠在如图所示的迷宫中作随机游动，当它处在某个方格中有k条通道时，以概率随机通过任一通道，求老鼠作随机游动的状态空间、转移概率矩阵。解 状态空间为 转移概率矩阵为习题66.1 设有随机过程，其中为常数，是

7、在区间上服从均匀分布的随机变量，问是否为平稳过程。解 ， 与t 无关所以是平稳过程。6.2设有随机过程，其中是均值为零、方差为的正态随机变量，求：（1）的概率密度；（2）是否为平稳过程。解 （1）因正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量，对任意t，服从正态分布。，所以的概率密度为 ， 的概率密度为 ， （2），与t有关所以，不是平稳过程。6.3 设有随机过程，其中是服从瑞利分布的随机变量，其概率密度为 是在上服从均匀分布且与相互独立的随机变量，为常数，问是否为平稳过程。解 先求出瑞利分布的数学期望和的数学期望， 与t无关所以，是平稳过程。6.4设有随机过程，其中是周期为T的实值连续函数，是在（

8、0，T）上服从均匀分布的随机变量，证明是平稳过程并求相关函数。解 ，为常数， 与t无关所以，是平稳过程。6.5 设是平稳过程，且相互独立，求的相关函数，是否为平稳过程。解 因是平稳过程，它们的均值是常数、相关函数与t无关是的函数，又相互独立。所以， 是常数 与t无关所以，是平稳过程。6.13 设正态随机过程具有均值为零，相关函数为，求给定t时的随机变量的协方差矩阵。解 因是正态过程，且均值为零，相关函数与t无关，所以是平稳过程，则对任意给定的t，服从正态分布，所以，同理 ，所以，所以协方差矩阵为6.15 设随机过程和是单独且联合平稳随机过程，其中为常数，是在上服从均匀分布的随机变量，求和。解

9、因 所以 习题77.2 设平稳过程的相关函数，求的谱密度。解 7.3 设有平稳过程，其中为常数，是在上服从均匀分布的随机变量，求的谱密度。解 的概率密度为 7.4 已知平稳过程的相关函数，求谱密度。解 7.6 当平稳过程通过如图所示的系统时，证明输出的谱密度为。证明 7.7 已知平稳过程的谱密度为，求相关函数。解 7.8 设有平稳过程，其中为常数，是在上服从均匀分布的随机变量，是分布密度满足的随机变量，且相互独立，求证的谱密度为。证明 设是和的联合分布密度，因和相互独立，所以 ， （因为偶函数，=0）又 比较上面两式，所以，7.9 设是单独且联合平稳的随机过程，试证：，。证明 只要证明即可，由互相关函数的性质7.10 设为平稳过程，令，为常数，试证 证明 7.11 设是两个相互独立的平稳过程，均值都不为零，令，求和。解 （因独立） 7.13 设线性时不变系统输入一个均值为零的实平稳过程，其相关函数为，若系统的脉冲响应为，试求系统的输出过程的相关函数、谱密度及的互谱密度。