特征函数和矩母函数课件

1、特征函数和矩母函数,1,一、矩母函数,矩母函数和特征函数,1定义,称 的数学期望,为随机变量X的矩母函数,2原点矩的求法,利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对 逐次求导，并计算在 点的值,特征函数和矩母函数,2,3和的矩母函数,定理1,设相互独立的随机变量 的 矩母函数分别为 ， ，,则其和,的矩母函数为,特征函数和矩母函数,3,4. 母函数 定义：设X是非负整数值随机变量，分布律 PX=k=pk，k=0,1, 则称 为X的母函数,特征函数和矩母函数,4,性质： (1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母函数P(s)唯一确定 (2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存

2、在，则DX= P(1) +P(1)- P(1)2,特征函数和矩母函数,5,3)独立随机变量之和的母函数等于母函数之积。 (4)若X1,X2,是相互独立同分布的非负整数值随机变量，N是与X1,X2,独立的非负整数值随机变量，则 的母函数H(s)=G(P(s) , EY=ENEX1 其中G(s),P(s)分别是N, X1的母函数,特征函数和矩母函数,6,证明：(1,特征函数和矩母函数,7,2,特征函数和矩母函数,8,设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律 分别为PX=k=pk，PY=k=qk，k=0,1, ， 则Z=X+Y的分布律为PZ=k=ck,其中 ck= p0 qk +p1qk-1 + +

3、pk q0 设X,Y,Z的母函数分别为PX(s), PY(s), PZ(s)，即有,3,特征函数和矩母函数,9,特征函数和矩母函数,10,4,特征函数和矩母函数,11,特征函数和矩母函数,12,特征函数和矩母函数,13,欧拉公式,二、特征函数,1 .特征函数,设X为随机变量，称复随机变量 的数学期望,为X的特征函数，其中t是实数,还可写成,特征函数和矩母函数,14,分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散型随机变量X，特征函数为 概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征函数为,对于n维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特征函数为,特征函数和矩母函数,15,性质： (1) 。

4、 (2) 在（-， ）上一致连续。 (3)若随机变量X的n阶矩EXn存在，则 , k n 当k=1时，EX = ； 当k=2时，DX =,特征函数和矩母函数,16,4) 是非负定函数。 (5)若X1, X2, , Xn是相互独立的随机变量，则X=X1+X2+Xn的特征函数为 (6)随机变量的分布函数与特征函数是一一对应且相互唯一确定,特征函数和矩母函数,17,如果随机变量X为连续型，且其特征函数绝对可积，则有反演公式,相差一个负号的傅立叶逆变换,相差一个负号的傅立叶变换,特征函数和矩母函数,18,例1,设随机变量X服从参数为 的泊松分布， 求X的特征函数,解,由于,所以,麦克劳林公式,特征函数

5、和矩母函数,19,例2,设随机变量X服从a，b上的均匀分布，求X的特征函数,解,X的概率密度为,所以,特征函数和矩母函数,20,例3：设X服从二项分布B(n, p)，求X的特征函数g(t)及EX、EX2、DX,解: X的分布律为P(X=k)= ， q=1-p，k=0,1,2,n,特征函数和矩母函数,21,例4：设XN(0,1)，求X的特征函数。 解,特征函数和矩母函数,22,例5 ：设随机变量X的特征函数为gX(t) ， Y=aX+b，其中a, b为任意实数，证明Y的特征函数gY(t)为 。 证,特征函数和矩母函数,23,例6：设随机变量YN( , 2) ，求Y的特征函数为gY(t,解：XN(0 , 1) ，X的特征函数为 设Y= X + ，则YN( , 2) ， Y的特征函数为,特征函数和矩母函数,24,三、常