一道数学联赛题的巧解及推广应用

1、一道数学联赛的巧解及推广应用（2007年全国高中数学联赛）设实数使得不等式对任意实数恒成立，则是实数的取值范围是：A： B： C： D：该题解答过程如下：一般地，对，则原不等式为，很容易知道原不等式等价于：对任意恒成立。由于，所以的最小值为，从而不等式恒成立等价于，故答案选A分析：该解答过程技巧性比较强，引入实数并对变量进行替换，从而有效地对不等式进行参变分离，达到等价转化恒成立的目的。另外也可以构造函数 ，利用零点分段法对变量的取值进行讨论去掉绝对值符号，求该函数的最小值来进行运算，同时也可以运用数形结合进行运算。以上方法思路简单但运算比较麻烦，具体解题时不易采用。如果该题巧妙地运用绝对值的

2、几何意义可以得到如下解法。巧解一、构造函数如图在数轴上设点以及变量对应的动点P则由绝对值的几何意义得：由线段和的几何意义知：当动点P落在线段AB上时取最小值，同时当动点P与点B重合时取最小值为0，所以当时取最小值，由题意知：，解得应用举例：【例1】：已知，求的最小值。解：依题知： 如图在数轴上设点以及变量对应的动点P则由绝对值的几何意义得：由线段和的几何意义知：当动点P落在线段AC上时取最小值，同时当动点P落在线段BC上时取最小值，所以当点P落在线段BC上即：时取到最小值，而此时最小值为：.【例2】 已知求的最小值。解：依题知：同上题由绝对值的几何意义得：很容易得到当点P与B重合即：时取到最小

3、值，而此时最小值为：.应用推广一：设求函数的最小值。解：如图在数轴上根据绝对值的几何意义，结合线段和的几何意义很容易解得：当为偶数时，当且仅当时，取到最小值。当为奇数时，当且仅当时，取到最小值。例如：求函数的最小值。由上推广结论显然知：当时取到最小值同时也可以较快地解决含绝对值的方程等问题。【例3】已知，且已知集合，则集合的元素个数有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、无数个解：由上述推广结论很容易得到当时取最小值，同时是偶函数即：。所以满足有以下三种情形：解得集合由于当且仅当时对应的函数值取值是唯一的即为的最小值，又由于，即当时对应取值不是唯一的，而是无数个，所以该题选D。该推广后的题

4、目与上述联赛题以及例1、例2的主要区别在该题各项（绝对值）前的系数为1，而上述题目涉及各项前的系数不为1，当然系数不为1的各项可以看成若干相同项的和，因此上述联赛题又可以用此法求解。巧解二：构造函数由上推广结论知若时，则此时是奇数当时有最小值若时，则此时仍然当时有最小值综上知有最小值由题意知：解得。显然上述【例1】【例2】也可以用同样的方法求解，请读者自己求解。上述应用推广一中的各个绝对值之间是和的形式，若之间有若干个负号及若干个正号，对于这类题又该如何进行？下面通过几个例子进行说明。【例4】、已知函数，求的最值。解： 如图在数轴上设点以及变量对应的动点P则由绝对值的几何意义得：由线段差的几何意义知：当动点P落在线段AD的延长线上时取最大值，同时当动点P落在线段BC的延长线上时取最大值，所以当点P落在线段AD的延长线上即：时取到最大值，而此时最大值为：.同理当点P落在线段DA的延长线即：时取到最小值，而此时最小值为：。综上知：的最大值与最小值分别为。【例5】、已知函数，求的最值。解：同上由绝对值的几何意义可得：同样由线段差的几何意义很容易得到：点P落在A点即时取最小值，函数无最大值。【例6】、已知函数，求的最值。略解：同上题很容易得到：点P落在E点即时取最大值，函数无最小值。应用推广二