类型一倍长中线

1、针对演练1已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不 与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E, F,点 O为AC的中点.当点P与点0重合时如图，求证 0E = OF;直线BP绕点B逆时针方向旋转，当/ OFE= 30寸，如图、图的位置， 猜想线段CF、AE、0E之间有怎样的数量关系？请写出你对图、 图的猜想, 并选择一种情况给予证明.图图图第1题图2. 在等腰 RtAABC 中，/ ABC= 90 BA= BC,在等腰 RtACDE 中，/ CDE=90 DE= DC,连接AD , F是线段AD的中点.(1)如图，连接BF，当点D和点E分别在

2、边BC和AC上时，若AB = 3, CE=2 2,求BF的长；1(2)如图，连接 BE、BD、EF，当/ DBE = 45时，求证：EF = qED.CC第2题图3. 在等腰 RtAABC 中，AC= BC,Z ACB= 90 CF 丄AB 交 AB 于点 F，点 D 在AC上，连接BD，交CF于点G,过点C作BD的垂线交BD于点H，交AB 于点E;如图，/ ABD = /CBD，CG= 1,求AB的长；(2)如图，连接 AH、FH，/ AHF = 90 求证：HB = 2AH.4. 已知，在？ABCD中，连接对角线 AC,/ CAD的平分线AF交CD于点F, / ACD的平分线CG交AD于点

3、G, AF、CG交于点0,点E为BC上一点， 且/ BAE=Z GCD.(1)如图，若 ACD是等边三角形，0C = 2,求?ABCD的面积；如图，若 ACD是等腰直角三角形，/ CAD = 90求证：CE+ 20F = AC.图图第4题图5. （2017重庆江北区模拟）如图， ABC和厶BDE都是等腰直角三角形，其中/ ACB=Z BDE= 90 AC= BC，BD= ED，连接AE，点F是AE的中点，连接DF.如图，若AC = CD = 2,求BF的长度;B、C、D共线，且如图，若6. （2017重庆南岸区模拟）在厶ABC中，点D是BC上的一点，点E是厶ABC外 一点，且/ AEB= 90

4、过点C作CF丄AF，垂足为F,连接DE, DF.如图，点 D 在 AE 上, D 是 BC 中点，/ BAE= 30 / CAE= 45 AB= 2, 求AC的长；如图，点D不在AE 上,连接AD，延长CF至点G，连接GD且GD = AD， 若 BC 平分/ ABE,/ G=Z DAB.求证：DE = DF.图E图第6题图答案1. 解：(1)： AE 丄 PB, CF 丄 BP,：/ AEO=/CFO = 90/ AOE = / COF, 在厶 AEO 和厶 CFO 中， / AEO = / CFO,AO = OC AOEA COF(AAS), OE= OF;图中的结论为：CF = OE +

5、AE;图中的结论为：CF= OE- AE.选图中的结论如下：如解图，延长 EO交CF于点G,第1题解图 AE丄BP, CF丄BP, AE/ CF,EAO=Z GCO,/ EAO = / GCO 在厶EOA和厶GOC中， AO = CO,/ AOE = / COG EOAA GOC(ASA),: EO= GO, AE= GC,在 RtA EFG 中，EO= OG,OE= OF = GO,v/ OFE= 30OFG = 90 - 30 = 60 OFG是等边三角形， 0F= GF, OE= OF, OE= FG,TCF= FG+ CG,. CF = OE + AE;选图的结论证明如下：如解图，延长

6、 EO交FC的延长线于点 G,v AE丄BP, CF丄BP,第1题解图 AE/ CF,/ AEO=Z G,-Z AEO = / G在厶 AOE 和厶 COG 中， Z AOE = Z GOC,OA = OC AOEA COG(AAS),二 OE= OG, AE= CG,在 RtAEFG 中OE = OG,a OE= OF = OG,vZ OFE= 30Z OFG = 90 30 = 60 OFG是等边三角形， OF=FG,v OE= OF,a OE= FG ,v CF= FG CG, CF= OE AE.2. 解：在等腰RtA CDE中，vZ CDE= 90 DE = DC , CE = 2承

7、， DE= DC= 2.v AB= BC = 3, BD= 1,在 RtAABD 中，AD = AB2 + BD2= 32+ 12= 10.v AF= DF ,证明：如解图，延长EF到点N,使得FN = EF，连接BN, AN,延长DE交AF= DFAB 于点 M，在 AFN 和厶 DFE 中 Z AFN =Z DFE,FN= EF AFNA DFE (SAS), AN= DE= DC,Z FAN=Z FDE , DM / AN,Z OMB = Z BAN.vZ MOB +Z OMB = 90 Z DOC + Z OCD = 90 Z MOB = Z DOC , Z OMB = Z OCD ,

8、 Z BAN=Z BCD.了 BA = BC在厶 BAN 和厶 BCD 中， Z BAN =Z BCD ,AN = CD BANA BCD(SAS , Z ABN=Z CBD , BN = BD , Z DBN=Z CBA= 90.vZ DBE= 45 , Z EBN=Z EBD. BE= BE, BN= BD, BENA BED (SAS), DE= EN= 2EF，二 EF = ；ED.第2题解图3. 解：(1)：/ ACB= 90 AC= BC, CF丄AB, FC= BF,又 CE 丄 BD,/ GCH = /GBF, FCEA FBG(ASA), GF= EF ,vZ ABD=Z C

9、BD , BH = BH , / BHC = /BHE , BHCA BHE(ASA), BC= BE ,设 GF = x,贝U EF = x , BF = CF = x+ 1 , BC= EF+ BF = 2x+ 1 ,2 2 2v CF2 + BF2= BC2 , 2(x+ 1)2= (2x+ 1)2，解得 xi = ,血=_(舍去)I BC= 2x+ 1 =2+ 1 , AB= 2BC = 2+ 2.第3题解图如解图，延长 HF至点M，使HM = AH，连接AM.vZ AHF = 90/HAM = Z HMA = 45 AM= 2AH.vCE 丄 BD, CF 丄 AB,Z CGH =

10、Z BGF,Z CHG = Z BFG , CHGBFG , GC_ HG BG= GF,vZ CGB=Z FGH , GBCsA GFH , Z GHF = Z GCB=Z 45. Z GHF = Z FMA.v AC= BC, CF丄 AB,a AF= BF,vZ HFB = Z AFM , HFB MFA(AAS), BH = AM , BH = 2AH.4. 解：(1)vAACD为等边三角形, Z CAD=Z ACD = 60.v AF、CG 分别平分Z CAD、Z ACD ,1 1 1 Z CAF = 2 Z CAD = 2 X 60 = 30, Z ACG = Z DCG = 2

11、X 60 = 30,且AF 丄 CD, CD = 2CF,/ CAO=Z ACO= 30 A0= CO= 2.在 RtAOCF 中，vZ DCG = 301 1 OF= 2OC = 2X 2= 1, CF= OC2 OF2= 22- 12= 3, AF = AO+ OF= 2+ 1 = 3, CD = 2X 3= 2 3,S四边形ABCD = CD AF = 2 3X 3 = 6 3;如解图，延长OF到H，使FH = OF,连接HD , OH= OF + FH = 2OF.第4题解图 ACD为等腰直角三角形，AF平分Z CAD, CF= DF, AF丄CD,又 vZ CFO = Z DFH ,

12、 CFO 也 DFH (SAS, Z OCF=Z HDF , CG/ HD , Z AOG=Z H , Z AGO=Z ADH.在 RtA OCF 中，Z OCF +Z COF = 90 在 RtA ACG 中，Z ACG+Z AGC= 90v CG 平分Z ACD, Z ACG=Z FCG,/ COF=/ AGC,/ AOG=A AGC,:.AO= AG, / H = / ADH , AH = AD, AH AO= AD AG, 即卩 OH = GD, 2OF = GD.四边形ABCD是平行四边形， AB/ CD , AD/ BC,/ BAC=Z ACD.v/ BAE=Z DCG,/ BAC

13、/ BAE=/ ACD / DCG，即/ EAC=/ ACG, AE/ CG,四边形AECG为平行四边形， EC= AG.在 RtAACD 中，AC = AD,v AG+ GD = AD , CE+ 2OF = AC.5. 解：vAC= CD = 2 ,DB= DE= 4.如解图，过A点作AH丄DE ,垂足为H ,则四边形AHDC是边长为2的正方 形.AH=2 , HE=2+4=6 ,在 RtAAHE 中,AE2 = AH2+ HE2 = 22 + g = 40,在 Rt ABC 中,AB2 =AC2 + BC2 = 22 + 22 = 8 ,在 RtA BDE 中,BE2= BD2+ DE2

14、 = 42 + 42 = 32, AB2 + BE2 = AE2,/ ABE= 90 BF是斜边中线，1 BF = 2AE= 10.第5题解图如解图，延长 DF至M，使MF = DF,连接AM , CM.Lf第5题解图 F是AE中点， AF= EF，vZ AFM = / DFE， AMF EDF(SAS， AM= DE = BD，Z MAF = Z DEF.又 vZ BCE= Z BDE= 90Z CBD=Z DEF，Z MAC = Z CBD，v AC= BC, AM = BD， MACDBC(SAS， CM = CD，Z ACM = Z BCD，/ MCD = / ACB = 90 DCM是等腰直角三角形，又 DF = FM , CF 丄 DM，二 DF = CF, DC2 = 2DF2,a DC= 2DF.6. 证明：(1)v D是BC中点，二 BD= CD.CF 丄 AE,/ CFA=Z CFD = 90. Z AEB= 90/ AEB=Z CFD.在厶BDE和厶CDF中， Z E=Z CFD，Z EDB=Z FDC，BD= CD， BDECDF(AA. CF = BE. Z AEB= 90 Z BAE = 30 AB = 2， BE= 1，a CF= 1. Z CFA= 90 Z CAE= 45I AC= ；/2CF = #2.第6题解图(