二元一次方程组详细知识点例题练习课后作业教案

1、二元一次方程组导入：小亮家今年1月份的水费和天然气费共 46.4元，其中水费比天然气费 多5.6元，这个月共用了 13吨水，12立方米天然气。你能算出1吨水费多少 元。1立方米天然气费多少元吗？设小亮家1月份的水费为x元，天然气为y元。列出满足题意的方 程，愀-12y =46413x 2八5.6_并说明理由。说一说它们有什么特点？知识点1：二元一次方程及方程组二元一次方程定义：两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。二元一次方程组定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起， 就组成了一个二元一次方程组。二元一次方程的解

2、定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程的解注：二元一次方程首先是 二元”一应要有两个未知数，其次是未知数的次 数都是1这里应注意xy是二次的。例1：下面的方程是二元一次方程吗？为什么？231 - 2x= 5- xx + 5y = 7m+ n例2：下列方程是不是二元一次方程组？为什么?x + 2y = 1 _ 3x- 2y3= 33x + 5y = 154x y= 30| 2x + y_ 3x y = 6x + y = 7z y= 6练习1：.以下各组是方x + 2y= 2

3、-2x + y= 2的解的是* x = 2Aly=-2Jx =- 2 y= 2r x= 0y= 2x = 2 y= 0练习3:练习2： x a+2+y b-1 = 3是关于x、y的二元一次方程，则a =f x= 2厂 2x+mv= 2已知y= 1是方程 nx + yl的解，求值总结：二元一次方程及方程组的特点是什么?知识点2:二元一次方程组的解法(1)代入消元法消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数， 那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一 个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决 的思想，叫做消元思想。代入消元

4、法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数 的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组 的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法，用代入消元法解二元一次方程 组的步骤：(1) 从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另 一个未知数的式子表示出来。(2) 把(1)中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数。(3) 解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值。(4) 把所求得的一个未知数的值代入(1)中求得的方程，求出另一个未知数 的值，从而确定方程组的解。注：运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得 出“=0”的

5、形式，求不出未知数的值。x =2ax 5y = 15丿 2例1 :已知1是方程组x+by2的解,则a=_b=. embedEquation.3 a 3b =.例2:方程x*y=9的正整数解是 。x =2例3:已知y =5是方程ax 2y= 2的一个解，那么a的值是。练习1:已知x-y=1，用含有x的代数式表示y为：y=；用含有y的代数式表示x为：x=。已知x-2y=1，用含有X的代数式表示y为：y=；用含有y的代数式表示X为：x=。已知4x+5y=3，用含有x的代数式表示y为：y=；用含有y的代数式表示x为：x=。练习2：用代入法解下列方程组:y=4xx=2y-5（1）2x y = 5 2x

6、5x - y = 4_Lx y = 25（3）2x y =5(4) 2x83m 2n =62x 3y 二4（5）4m -3n =1(4x4厂3练习3：已知|x-3| + (2y+1)2=0，且 2x ky=4,则1k=总结：代入消元法的步骤是什么?知识点3：二元一次方程组的解法（2）加减消元法加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方 程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。用加减消元法解二元一次方程组 的步骤：第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反 数,?可以把这两个方程的两边分

7、别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相 等,?可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等 ，那么应选出一 组系数（选最小公倍数较小的一组系数）,求出它们的最小公倍数（如果一个系数 是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数）,然后将原方程组变形，使新方 程组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数）,再加减消元.第三步:对于较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母,去括号,?合并同 类项等）,通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边 ,?常数项在方程 的右边的形式，再作如上加减消元的考虑注：当两个方程中同一未知数的系数的绝

8、对值相等或成整数倍时，用加 减法较简便 如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移 项、合并等），再判断用哪种方法消元好。例1：用加减消元法解下列二元一次方程组：x-y =3x y =1(2)4x-3y=0J2x+3y = 8(3)(3)4x 3y =54x+6y =14练习1：4x +y =5(1)血-勿二15x+4y =62x 3y =1用加减法解二元一次方程解方程组:(2)”3x_2y=7Q+3y=17x = 3m 1练习2：若厂加一2，是方程组4x-3厂10的一组解，求m的值。总结： 代入消元法和加减消元法哪个更简单，为什么？知识点 4：实际问题与二元一次方程组

9、 列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把 “未知”转化为 “已知”的重要方法，它的关键是把已 知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系 . 一般来说，有几个未知数就 列出几个方程，所列方程必须满足： (1)方程两边表示的是同类量； (2)同类量的 单位要统一； (3)方程两边的数值要相等 .利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1审题:弄清题意及题目中的数量关系； 2设未知数 :可直接设元，也可间 接设元；3找出题目中的等量关系； 4列出方程组 :根据题目中能表示全部含义的 等量关系列出方程，并组成方程组； 5解所列的方程组，并检验解的正确性； 6写出答案 .注：

10、(1) 解实际应用问题必须写 “答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意 义，检查求得 的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2) “设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3) 一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组 .(4) 列方程组解应用题应注意的问题 弄清各种题型中基本量之间的关系；审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； 注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答 案都要带单位，列 方程组与解方程组时，不要带单位；正确书写速度单位， 避免与路程单位混淆；在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；列方程组解应用题一定要注意检验。1.行程问题：(1)追击问题：追

11、击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段 ,用图便于理解与分析。其等量关系式是 :两者的速度三瓯医行程差二开始时两者相距的路程； 门二；亍;时间=S相遇问题：相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量 关系是：双方所走的路程之和=总路程。（3）航行问题：船在静水中的速度+水速=船的顺水速度； 船在静水中的速度-水速=船的逆水速度； 顺水速度逆水速度=2 X水速。注：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航 行、逆水航行问题类似。例1：甲、乙两地相距160千米，一

12、辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相 向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？练习1：甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走 2小时，那么 他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走 2小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？练习2：两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20 小时，求船在静水中的速度和水流速度。工程问题：工作效率XX作时间=工作量。例1： 一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8

13、天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天 可完成，需付两组费用共 3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付 多少元？（2）已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪 组，商店所付费用最少？练习1：小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做 4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明 家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由。3商品销售利润问题：（1）利润二售价一成本（进价）; ；利润二成本（进价） 利润率；（4）标

14、价二成本（进价）（1+利润率）;（5）实际售价=标价 对丁折率；注：商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）例1：有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。价格调整后，甲商品的利润率为 4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？利润率亠 练习1 :李大叔去年承包了 10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元,棋中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多

15、少亩?练习2:某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利 6万元，其进价和售价如下表：AB进价（元/件）12001000售价（元/件）13801200（注：获利=售价一进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；4储蓄问题：（1）基本概念 本金：顾客存入银行的钱叫做本金。利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。本息和：本金与利息的和叫做本息和期数：存入银行的时间叫做期数。利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。利息税：利息的税款叫做利息税。（2）基本关系式 利息二本金X利率斓数 本息和=本金+利息=本金+本金X利率 期数=本金X （1 +利率 期数） 利息税=利息X利息税率=本金X利率XW数

16、 利息税率。 税后利息=利息X （1 利息税率）年利率二月利率X12月利率专利率 一注：免税利息=利息例1：小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行 共存了 2000元钱，一种是年利率为2.25%的教育储蓄，另一种是年利率为2.25%的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税二利息金额X20%，教育储蓄没有利息所得税） 练习1 :李明以两种形式分别储蓄了 2000元和1000元，一年后全部取出，扣 除利息所得税可得利息 43.92元.已知两种储蓄年利率的和为 3.24%,问这两种 储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税

17、=利息金额X20%）练习2：小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存 了 4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%;第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75元（不计利息税），问小敏的 爸爸两种存款各存入了多少兀？5.配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。例1：某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣 的衣身 3 个或衣袖 5 只. 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装 （不考虑布料的 损耗）

18、，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 练习 1：现有 190张铁皮做盒子，每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底，一个盒 身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒 底，可以正好制成一批完整的盒子？练习 2： 某工厂有工人 60 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品， 每人每天生产螺栓 14 个或螺母 20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺 母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。练习 3： 一张方桌由 1 个桌面、 4 条桌腿组成，如果 1 立方米木料可以做桌面50 个，或做桌腿 300 条。现有 5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌 面，

19、用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少 张方桌？6增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量 N1+增长率）二增长后的量；原量（1 减少率）=减少后的量。例 1：某工厂去年的利润（总产值 总支出）为 200 万元，今年总产值比去 年增加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元，去年的总 产值、总支出各是多少万元？练习 1：某工厂去年的利润（总产值 总支出）为 200 万元，今年总产值比去 年增加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元，求今年的 总产值、总支出各是多少万元？练习 2：某城市现有人口 42 万，估计

20、一年后城镇人口增加 0.8%，农村人口增 加 1.1%，这样全市人口增加 1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。 7和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量=较小量+多余量，总量=倍数倍量。例 1： “爱心”帐篷厂和 “温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共 9 千顶，现某地震 灾区急需帐篷 14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加 班加点， “爱心”帐篷厂和 “温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内，爱心”帐篷厂和 温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？练习1：地球一小时”是世界自然基金会在 提出的一项倡议号召

21、个人、社 区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分一21时30分熄灯一小 时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导 低碳生活中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城 市参加了此项活动。练习2:游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。 如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽 比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？8、数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及 其表示。如当n为整数时，

22、奇数可表示为2n+1（或2n-1），偶数可表示为2n等， 有关两位数的基本等量关系式为：两位数 =十位数字10+个位数字 例1:两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得 到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位 数，已知前一个四位数比后一个四位数大 2178,求这两个两位数。练习1: 一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23;这个两位数除以它的各位数字之和，商是 5,余数是1,这个两位数是多少？ 练习2: 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还 少

23、9，求这个两位数？数字问题：练习3：某三位数，中间数字为 0，其余两个数位上数字之和是 9，如果百位 数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排 列，求原三位数。9 浓度问题：溶液质量x浓度=溶质质量。例1：现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3 : 7,乙种酒精溶 液的酒精与水的比是4 ： 1,今要得到酒精与水的比为 3 : 2的酒精溶液50kg, 问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？练习1：要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这 两种盐水各需多少？练习2: 一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓 度为3

24、5%的农药加水多少千克，才能配成 1.75%的农药800千克？10几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积 等计算公式例1:如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长 和宽分别是多少？60cm练习1:用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？练习2: 一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m,则长和宽 分别为多少？11 年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的例1:今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是

25、儿子的3倍，求现 在父亲和儿子的年龄各是多少？练习1:今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的 年龄变成爷爷的三分之一 试求出今年小李的年龄。12优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。注：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。例1:某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜 140吨，该公司

26、加工厂的生产能力 是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工 16吨；如果进行细加工，每天可加 工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在 15天 之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？练习1：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。(1)若

27、商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案? 总结：这十二种实际问题你都会了么？总结做题思路。 家庭作业：1.下列方程组中，是二元一次方程组的是()厂 2x2 +y = 10A+y = -2xy = 15x y =51 1.5A . X y 6.x =1D. + y = 32x+3y = 9D .Qx +2y =11負 4m n -3m厂 n5.已知4x y 与5x y是同类项，则m与n的值分别是( )A .4、 1B . 1、 4C

28、. 0、 8A x = 5, y = 3用代入法解方程组2x +5y = 21 x +3y =8 入21x =5yA.由得 22代入C.由得x = 8-3y代入x - y = 35x 2y =15C.下列解法中最简便的是21 2y = 一xB.由得 55代8 xy = 一D.由得3 3代入+7-63-2- -y- 3 y- 2+ -X 一 2 X - 3 I I JID. & 03x = 4 y6.用代入法解方程组 Qx=2y+1中，以下各式代入正确的是（）45x =2(x) 135x 二 2( x) 1A .3B.445x =2(y) 135x =2(y) 1C.3D.44X27.若y八1A. 1, 2B. 4, 01c. 2,-1D. 0,ax 3y = 5是方程组gx+by1的一个解,则a、b的值分别是28.已知 51 x + y 31+2(x - y) =0,则A.x =1y =0x = 2B.八2C.D.3x =23 2x =19.若丿