概率论与数理统计(经管类)第二章课后习题答案-推荐下载

1、习题 2.11. 设随机变量 X 的分布律为 PX=k= ,k=1, 2,N,求常数 a.解:由分布律的性质= 1=1 得N* =1, 即 a=11 5 72. 设随机变量 X 只能取-1,0,1,2 这 4 个值,且取这 4 个值相应的概率依次为2 , 4 ,8 ,16 ,求常数 c.31 + 3 + 5 + 7 = 1解: 2 4 8 16 37C=163. 将一枚骰子连掷两次,以 X 表示两次所得的点数之和,以 Y 表示两次出现的最小点数,分别求 X,Y 的分布律.注: 可知 X 为从 2 到 12 的所有整数值可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/

2、36，故P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是 1)P(X=3)=2*(1/36）1/18(两种组合(1,2)(2,1)P(X=4)=3*(1/36）1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2)P(X=5)=4*(1/36）1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)P(X=6)=5*(1/365/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3)P(X=7)=6*(1/36)1/6(这里就不写了,应该明白吧)P(X=8)=5*(1/36)5/36P(X=9)=4*(1/36)1/9P(X=10)=3*(1/36)1/12P(X=11)

3、=2*(1/36)1/18P(X=12)=1*(1/36)1/36以上是 X 的分布律投两次最小的点数可以是 1 到 6 里任意一个整数,即 Y 的取值了. P(Y=1)=(1/6)*1=1/6 一个要是 1,另一个可以是任何值 P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36 一个是 2,另一个是大于等于 2 的 5 个值 P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9 一个是 3,另一个是大于等于 3 的 4 个值 P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12 一个是 4,另一个是大于等于 4 的 3 个值 P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18 一个是 5,另一个是大于等于 5 的

4、 2 个值 P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36 一个是 6,另一个只能是 6 以上是 Y 的分布律了.1 OF 184. 设在 15 个同类型的零件中有 2 个是次品,从中任取 3 次,每次取一个,取后不放回.以 X 表示取出的次品的个数,求 X 的分布律.解:X=0,1,2133=22X=0335时,P= 15132 2112=X=1时,P=33515130 221=X=2时,P=3351525. 抛掷一枚质地不均匀的硬币,每次出现正面的概率为3,连续抛掷 8 次,以 X 表示出现正面的次数,求 X 的分布律.218 解:PX=k= 8()(), k=1, 2, 3, 8336.

5、 设离散型随机变量 X 的分布律为X-123P111424求PX 1, P2 X 5, P2 X 3, P2 X 3 1 = 1232解: P X 24P23 X 52 = 12P2 X 3 = 12 + 14 = 34P2 X 10 = 11 = 0.002840习题 2.21.求 0-1 分布的分布函数.0, 0( ) = , 0 1解:1, 12. 设离散型随机变量 X 的分布律为:3 OF 18X-123P 0.25 0.5 0.25求 X 的分布函数,以及概率 1.5 2.5, 0.5. 解:當 1時, ( ) = = 0;當 1 2時, ( ) = = = 1 = 0.25;當2

6、3時, ( ) = = 1 += 2 = 0.25 + 0.5 = 0.75;當 3時, ( ) = = 1 += 2 += 3 = 0.25 + 0.5 + 0.25 = 1;则 X 的分布函数 F(x)为:0, 1( ) =0.25, 1 20.75,2 31, 31.5 2.5 = (2.5) (1.5) = 0.75 0.25 = 0.5 0.5 = 1 (0.5) = 1 0.25 = 0.753.设 F1(x),F2(x)分别为随机变量 X1 和 X2 的分布函数,且 F(x)=a F1(x)-bF2(x)也是某一随机变量的分布函数,证明 a-b=1.证:( + ) =( + )

7、( + ) = 1,即= 14.如下 4 个函数,哪个是随机变量的分布函数:0, 2( ) =1, 2 02(1)12, 00, 0( ) = ,0 (2)21,0, 0( ) = ,0 2(3)31,20, 0( ) =+1, 0 132(4)41,125. 设随机变量 X 的分布函数为F(x) =a+barctanx, + ,求(1)常数 a,b;(2) 1 1解: (1)由分布函数的基本性质 ( ) = 0, ( + ) = 1 得: + ( ) = 024 OF 1811解之 a=, b=2 1 1 = (1) ( 1) = + ( + ) = =1(2)4422(将 x=1 带入 F

8、(x) =a+barctanx)注: arctan 为反正切函数,值域( ,), arctan1=2246. 设随机变量 X 的分布函数为0, 1( ) = , 1 1,求 2, 0 3, 2 2.5解: 2 = F(2) = ln2注: F(x) = 0 3 =(3) (0) = 1 0 = 1;2.52 2.5 =(2.5) (2) = 2.5 2 =2= ln1.25习题 2.31. 设随机变量 X 的概率密度为: , | | ( ) =20,其他.求: (1)常数 a;(2) 0 4; (3)X 的分布函数 F(x).解:(1)由概率密度的性质 + ( )= 1,2=+2=| asin

9、= + = 1(2)222221A=2(2) 0 4 = (12)sin (4) (12)sin (0) = 12 22 + 12 0 = 42一些常用特殊角的三角函数值正弦余弦正切余切0010不存在/61/23/23/33/42/22/2115 OF 18/33/21/233/3/210不存在00-10不存在(3) X 的概率分布为:0,21( ) =(1 +), 2221,22. 设随机变量 X 的概率密度为( ) = | |, 023. 求下列分布函数所对应的概率密度:1( ) =1+1, 0(2)20, 06 OF 182( ) =2 , 0解: 20, 0 (指数分布)3( ) =

10、0,2解: 3( ) = ,0 (均匀分布)0,其他24. 设随机变量 X 的概率密度为 ,0 1( ) = 2 ,1 20,其他.求: (1) 12; (2) 12 32.解:7 OF 1812 1 = 1 (1) = 1 172= 1 =(1)22288323213 = (3) (1) = (2 3 1 )=3 3 = 1 (3) = 1 35 22 = 23至少有两次观测值大于 3 的概率为:23(23)2(13)1 +33(23)3(13)0 = 20277. 设修理某机器所用的时间 X 服从参数为 =0.5(小时)指数分布,求在机器出现故障时,在一小时内可以修好的概率.解: 1 =

11、(1) = 1 0.518. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计)服从参数为 =5的指数分布,某顾客在窗口等待8 OF 18服务,若超过 10 分钟,他就离开.他一个月要到银行 5 次,以 Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数.写出 Y 的分布律,并求 1.解:1“未等到服务而离开的概率”为 10 = 1 (10) = 1 (1 5 10) = 2 = = 5( 2) (1 2)5 , ( = 0,1,2,3,4,5)Y 的分布律:Y012345P0.4840.3780.1180.0180.0010.00004 1 = 1 = 0 = 1 0.484 = 0.5169. 设 X N

12、(3, 22),求:(1) 2 5, 4 2, 3;(2) 常数 ,使 = .解:(1) 2 5 = (5 2 3) (2 2 3) = (1) 1 (12) = 0.8413 (1 0.6915) = 0.5328 4 2 = 1 2 2 = 1 (2 2 3) ( 22 3) = 1 (0.3085 0.0062) = 0.6977 3 = 3 = 1 (3 2 3) = 1 (0) = 1 0.5 = 0.5(2) = = 1 + = 1 ( 2 3)+ ( 2 3)= 1( 2 3)= 0.5经查表 2 3 = 0,即 C=310. 设 X N(0,1),设 x 满足 | | 0.19

13、 OF 1821 ( ) 0.1 ( ) 0.111. X N(10, 22),求:(1) 7 15;(2) 常数 ,使 | 10| 0.9.解:(1)7 15 = (15 10) (7 10) = (2.5) 1 (1.5) = 0.9938 0.0668 = 0.92722(2)| 10| = 10 10 + 0.9= (10 + 10) (10 10) 0.922= () 0.952经查表= 1.65,即 d=3.3212. 某机器生产的螺栓长度 X(单位:cm)服从正态分布 N(10.05, 0.062),规定长度在范围 10.05 0.12 内为合格,求一螺栓不合格的概率.解:螺栓合

14、格的概率为:10.05 0.12 10.05 + 0.12=9.93 10.17= (10.17 10.05) (9.93 10.05)0.060.06= (2) 1 (2)= 0.9772 2 1= 0.9544螺栓不合格的概率为 1-0.9544=0.045613. 测量距离时产生的随机误差 X(单位:m)服从正态分布 N(20, 402).进行 3 次独立测量.求:(1) 至少有一次误差绝对值不超过 30m 的概率;10 OF 18(2) 只有一次误差绝对值不超过 30m 的概率.解:(1) 绝对值不超过 30m 的概率为: 30 0,即 ( ) = 20, 0(2) = ( ) = 3

15、 + 1,值域為( , + ), = ( ) = 1,( ) =133( ) = ( )|( )| = 1 1=1331,1 4,即 ( ) = 30,其他注: 由 XU(0,1), = 3 + 1,当 X=0 时,Y=3*0+1=1; ,当 X=1 时,Y=3*1+1=4= ( ) = , = ( ) = ,( ) =1(3)( ) = ( )| ( )| = 1 1=11,0 ,即 ( ) = 0,其他注: ,当 X=0 时,= 0 = 0; ,当 X=1 时,= 1 =4. 设随机变量 X 的概率密度为12 OF 1832, 1 0( ) = 20, 其他.求以下 Y的概率密度:(1)Y

16、=3X;(2) Y=3-X; (3) = 2.解: (1) Y=g(x)=3X,= ( ) =, ( ) =133( ) = ( )|( )| =21=231862, 3 0,即 ( ) = 180,其他(2)Y=g(x) =3-X, X=h(y) =3-Y, ( ) = -133(3 )2( ) = ( )|( )| = (3 )2 + 1 =22即 ( ) = 3(3 )2注意是绝对值 ( ),3 4,2 0,其他(3) = g(x) = 2, X=h(y)= Y, ( ) = 21 Y23Y,0 0, 0, 0 11 1 1( ) = ( )|( )| =2 =2221 12, 0即 (

17、 ) = 20,其他13 OF 18(2) = ( ) = , = ( ) = ,( ) = 1( ) = ( )|( )| = 1=11=11=121, 1( ) =永远大于 0.2即0,其他当 x0 是, 1(3) = ( ) = 2, = ( ) = , ( ) = 2 1 ,( ) = ( )|( )| = 1=1,221, 0即 ( ) = 20,其他6. XN(0,1),求以下 Y 的概率密度:(1) = | |; (2) = 2 2 + 1解: (1)=( ) = | |,= ( ) = , ( ) = 1 ( )2( ) =1 2 2 0 02 11(2) = ( ) = 2+ 1, = ( ) =,( ) =22 1214 OF 18( 1)2121 11( ) = ( )| ( )| =2=4 1 ( 1)2 22211即 ( ) = 42 ( 0, 1), 1 1自测题一,选择题1,设一批产品共有 1000 件,其中有 50 件次品,从中随机地,有放回地抽取 500 件产品,