中考数学复习第11讲相似形试题

1、第十一讲 相似形11.1 成比例线段 基础盘点1.比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段a，b的比等于另外两条线段c，d的比，即（或ab=cd），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.2.比例中项：如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a，b，c之间有ab=bc，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.3.比例的性质：（1）基本性质：如果，那么ad=bc.如果ad=bc (a，b，c，d都不等于0)，那么；（2）合比性质：如果，那么=；（3）等比性质：如果，且b1+b2+bn0，那么=.4.平行线分线段成比例：（1）基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

2、.（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.考点呈现考点1 比例的性质例1（2015兰州）如果=k（b+d+f0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=解析：=k，=k，即a+c+e=k（b+d+f）.又a+c+e=3（b+d+f），k=3. 故填3.评注：若问题中出现各个比连等时，将各个比值设为k，从而使各分子都能用含k的代数式表示，这样可巧妙解决相关问题.考点2 平行线分线段成比例及推论例2（2015钦州）如图，AD是ABC的角平分线，则ABAC等于()A.BDCD B.ADCD C.BCAD D.BCAC分析：添加平行线，利用平行线分线段成比

3、例的推论解决.解：过点C作CEAD，交BA的延长线于点EBAD=E，CAD=ACEAD平分BAC，BAD=CADE=ACEAC=AEABAC=ABAE=BDCD 故选A评注：此题也可以过点D作AB，AC的垂线，利用等面积法求解（ABAC=SABDSACD=BDCD）. 误区点拨1. 等积式误化比例式例1 已知7a=8b，则ab= .错解：ab=78. 剖析：此题要求将等积式化为比例式，检验所转化的比例式是否正确的方法是：再将比例式化为等积式，若与原等积式相同，则正确，反之错误. 正解：ab =87.2. 忽略等式成立的条件例2 已知，那么x的值是（ ）A. B. 1 C. 1 或 D.0错解：

4、选A.剖析：错解直接利用等比性质求解，却忽略了等比性质成立的条件，导致漏解.当a+b+c=0时，. 当a+b+c0时，. 正解：选C.跟踪训练1.下列各组中的四条线段成比例的是（ ）A.a=，b=3，c=2，d= B.a=4，b=6，c=5，d=10C.a=2，b=，c=，d= D.a=2，b=3，c=4，d=12. 若2a=3b=4c，且abc0，则的值是（ ）A.2 B.2 C.3 D.33.（2015嘉兴）如图，直线l1l2l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（ ）

5、A. B. 2 C. D. 第4题图第3题图4.（2015河南）如图，ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DEAC，若BD=4，DA=2，BE=3，则EC= .5.（2015六盘水）已知=0，则的值为_6. 若，则= .7. 若，且2ab+3c=21.试求abc.8.如图，E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，分别作MEAB交AD边于M，ENBC交CD边于点N.求证：.第8题图ABCNEDM11.2 相似三角形 基础盘点1.相似三角形的判定：（1）平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似.（2）两角分别相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的

6、两个三角形相似，三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：相似三角形对应高、角平分线、中线、周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.3.位似图形：（1）定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.（2）性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比. （3）位似变换对应的坐标变化规律：平面直角坐标系中，将一个多边形的每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k0，1），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为.考点呈现 图1考点 1 相似三角形

7、的判定例1 （2015永州）如图1，下列条件不能判定ADBABC的是（ ）AABD=ACB BADB=ABC CAB2=ADAC D.= 解析：ADB与ABC中有一公共角，再添加A项或B项，可得两角分别相等，可判定相似；添加C项，可得两边成比例且夹角相等，可判定相似；D项比例式中的对应线段不是ADB与ABC的对应边，不能判定两三角形相似.故选D.考点2 相似三角形的性质例2 （2015巴彦淖尔）如图2，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，PEF，PDC，PAB的面积分别为S，S1，S2.若S=3，则S1+S2的值为（）A24 B12 C6 D3图2解析：E，F

8、分别为PB，PC的中点，EF是PBC的中位线.EFBC，EF=BC.PEFPBC.=.SPEF=S=3，SPBC=34=12.四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC.SPDC+SPAB=SPBC，即S1+S2=12. 故选B .考点3 相似三角形的性质、判定的综合应用例3 （2015岳阳）如图3，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EFAM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.（1）求证：ABMEFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长.分析：（1）运用“两角分别相等的两个三角形相似”证明；（2）由勾股定理求出AM的长，则AF的长易得，通过（1）中的结论

9、确定比例式，求出AE，即可得出DE的长.图3解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=AD，B=90，ADBC.AMB=EAF.EFAM，AFE=90.B=AFE.ABMEFA.（2）B=90，AB=12，BM=5，AM=13.F是AM的中点，AF=AM=6.5.由（1）可得ABMEFA.=，即=，解得AE=16.9.DE=AE-AD=AE-AB=16.9-12=4.9.例4 （2015上海）如图4，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE.（1）求证：DEBE；（2）如果OECD，求证：BDCE=CDDE.分析：（1）结合平行四边形的性质及已知

10、条件可知OBE与ODE都是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质及三角形的内角和定理即可获证. 图4H（2）要证BDCE=CDDE，可证，为此只需证明BDEDCE.证明：（1）OB=OE，OEB=OBE.四边形ABCD是平行四边形，OB=OD.OD=OE.OED=ODE.OBE+OEB+OED+ODE=180，错误！未找到引用源。OEB+OED=90，即BED=90.DEBE.（2）设OE交CD于H.OECD，CHE=90.CEH+HCE=90.CED=90，CDE+DCE=90.CEH=CDE.OEB=OBE，OBE=CDE.又BED=DEC，BDEDCE. BDCE=CDDE.评注

11、：要证明等积式，通常思路是将其化为比例式，由比例式确定要证明的相似三角形.需要注意的是由比例式可确定两对三角形，哪对易于证明相似，便证明哪对. 错误！未找到引用源。考点4 相似三角形的应用图5例5 （2015邵阳）如图5，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上.已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度.解析：由题意，得DEFDCA.=.DE=0.5米，EF=0.25米，DC=20米，=，解得CA=10.

12、AB=CA+CB=CA+DG=10+1.5=11.5（米）.答：旗杆的高度为11.5米. 图6例6（2014潍坊）如图6，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是 米分析：观察图形，存在两对相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求解.解：由题意，知ABBH，CDBH，ABD=CDG=90. ABCD.CDGABG.，即

13、. 同理，即. 由，得AB=54.故填54.评注：解答此题的关键是能从实际问题中抽象出相似三角形，并利用相似三角形的性质求解.考点5 平面直角坐标中的位似变换例7（2015营口）如图7，ABE和CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是() 图7A.（4，2）B.（4，1） C.（5，2） D.（5，1）解析：法一：将图形向左平移1个单位长度，使位似中心为原点，则A，C，D的对应点的坐标分别为A（2，4），C（1，2），D（2，1），则ABE和CDE的相似比为=2.将点D的横、纵坐标都乘以2，得点B的坐标为（4，2），将点B

14、向右平移1个单位长度，得点B的坐标为（5，2）.故选C.法二：设点B的坐标为（x，y），则，.解得x=5，y=2.点B的坐标为（5，2），故选C.ADBCE 图1评注：此题通过平移，将问题转化为以原点为位似中心的位似变换问题解决，或者直接利用“对应点到位似中心的距离（这里分解为横向距离、纵向距离）之比=相似比”解决.无论哪种方法，都离不开数形的有机结合.误区点拨1.误把特殊当一般例1 如图1，点B，C在线段DE上，且ABC是等边三角形.当DB，BC，CE满足怎样的关系时，ADBEAC？并加以证明.错解：当DB=BC=CE时，ADBEAC.证明：ABC是等边三角形，ABC=ACB=60，AB=B

15、C=AC. ABD=ACE=120.DB=BC=CE，=1. ADBEAC.剖析：错解没有认真思考，给定的条件除了能判定两三角形相似外，还能判定两三角形全等，具有特殊性，不符合一般性的要求，因此错误.正解：当，或BC2=DBCE时，ADBEAC.证明：ABC是等边三角形，ABC=ACB=60，AB=BC=AC.ABD=ACE=120.又，ABPC图2. ADBEAC.2.考虑不周，导致多解或漏解例2 如图2，P是RtABC的斜边BC上异于B,C的一点，过P点作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线条数是( )A.1 B.2 C.3 D.4错解：选B或D.剖析：如图3，共有

16、3种情况，分别是过点P作PDAC或BPD=C、PDAB或CPD=B、PDBC或BPD=A.ABPCABPCABPCDDD图 3正解：选C.跟踪训练1.（2015武汉）如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）A(2，1)B(2，0)C(3，3)D(3，1)第1题图第2题图2.（2015恩施州）如图，在平行四边形ABCD中，EFAB交AD于点F，DEEA=34，EF=3，则CD的长为（ ）A.4 B.7 C.3 D.12 3.（2015株洲）如图，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是B

17、，D，F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（ ）第3题图A. B. C. D.第4题图第5题图4.（2015庆阳）如图，在ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则SDOESDCE=（）A.14B13C12D235.（2015安徽）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）A.2 B.3 C.5 D.66.（2015自贡）副三角板叠放如图，则AOB与DOC的面积之比为_第7题图第6题图7.（2015河池）如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于点M，交AD的延长线于N，则 +

18、= .8.（2015泰安）如图，在ABC中，AB=AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且APD=B.（1）求证：ACCD=CPBP；（2）若AB=10，BC=12，当PDAB时，求BP的长.第8题图9.（2015崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120 mm，高AD=80 mm，把它加工成正方形零件如图，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上（1）求证：AEFABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图，问这个矩形的最大面积是多少？AABCEFKGDHBCEFKGDH第9题图参考答案11.1成比例线段1. C 2. B 3. D4. 5.6. 7. 解：令，则a+2=3m，b=4m，c+5=6m.a=3m2，b=4m，c=6m5.2ab+3c=21，2（3m2）4m+3（6m5）=21,即20m=40，解得m=2.a=3m2=4，b=4m=8，c=6m5=7.abc=487.8.证明：MEAB，.同理. .11.2相似三角形1. A 2. B 3. C 4. B 5. C6. 13 7. 1 8.解：（1）证明：APC=APD+DPC=PAB+B，APD=B，DPC=PAB.又AB=AC，B=C.ABPPCD.=.=.