高中数学第二章解三角形习题课正弦定理和余弦定理学案北师大版必修5

1、习题课 正弦定理和余弦定理学习目标1.学会利用三角形中的隐含条件.2.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题知识点一有关三角形的隐含条件思考我们知道ysin x在区间(0，)上不单调，所以由0得不到sin sin .那么由A，B为ABC的内角且AB，能得到sin Asin B吗？为什么？梳理“三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论：(1)由ABC180可得sin(AB)_，cos(AB)_，tan(AB)_，sin_，cos_.(2)由三角形的几何性质可得acos Cccos

2、 A_，bcos Cccos B_，acos Bbcos A_.(3)由大边对大角可得sin Asin BA_B.(4)由锐角ABC可得sin A_cos B.知识点二解三角形的基本类型完成下表：已知条件适用定理解的个数三边两边及其夹角两边及一边对角_或_一边及两角知识点三三角形有关问题的解决思路这类问题通常要借助正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为代数问题或者三角恒等式，再利用三角恒等变换解决问题，中间往往会用到一些三角形的隐含条件如内角和等类型一利用正弦、余弦定理解三角形引申探究1对于例1中的条件，ccos Bbcos C，能否使用余弦定理？2例1中的条件ccos Bbcos C的几何意

3、义是什么？例1在ABC中，若ccos Bbcos C，cos A，求sin B的值反思与感悟(1)边、角互化是处理三角形边、角混合关系的常用手段；(2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式跟踪训练1在ABC中，已知b2ac，a2c2acbc.(1)求A的大小；(2)求的值类型二正弦、余弦定理与三角变换的综合应用例2在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2 cos 2A.(1)求A的度数；(2)若a，bc3，求b和c的值反思与感悟(1)解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程(2)三角形内角和定理在判

4、断角的范围、转化三角函数、检验所求角是否符合题意等问题中有着重要的作用跟踪训练2在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a2c2b2ac.求2sin2sin 2B的值类型三正弦、余弦定理与平面向量的综合应用例3在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos B，a7且21.求角C.反思与感悟利用向量的有关知识，把问题化归为三角形的边角关系，再结合正弦、余弦定理解三角形跟踪训练3已知ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m(ab，sin C)，n(ac，sin Bsin A)，若mn，则角B的大小为_1在锐角ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin

5、 Bb，则角A等于()A. B. C. D.2在ABC中，AB3，AC2，BC，则_.3已知ABC中，ax，b2，B45，若这个三角形有两解，则x的取值范围是_1对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般运用正弦定理和余弦定理，把它统一为边的关系或把它统一为角的关系再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论2解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解答案精析问题导学知识点一思考能由于三角形中大边对大角，

6、当AB时，有ab.由正弦定理，得2Rsin A2Rsin B，从而有sin Asin B.梳理(1)sin Ccos Ctan Ccossin(2)bac(3)(4)知识点二余弦定理1余弦定理1正弦定理余弦定理0,1,2正弦定理1题型探究例1解由ccos Bbcos C，结合正弦定理，得sin Ccos Bsin Bcos C，故sin(BC)0，0B，0C，BC，BC0，BC，故bc.cos A，由余弦定理，得3a22b2，再由余弦定理，得cos B，故sin B.引申探究1解由余弦定理，得cb.化简得a2c2b2a2b2c2，c2b2，从而cb.2解如图，作ADBC，垂足为D.则ccos

7、BBD，bcos CCD.ccos Bbcos C的几何意义为边AB，AC在BC边上的射影相等跟踪训练1解(1)由题意知，b2accos A，A(0，)，A.(2)由b2ac，得，sin Bsin Bsin A.例2解(1)由4sin2 cos 2A及ABC180，得21cos(BC)2cos2 A1，4(1cos A)4cos2 A5，即4cos2A4cos A10，(2cos A1)20，解得cos A.0A180，A60.(2)由余弦定理，得cos A.cos A，化简并整理，得(bc)2a23bc，将a，bc3代入上式，得bc2.则由解得或跟踪训练2解由已知得，所以cos B，sin B，所以2sin2sin 2B2cos2sin 2B1cos B2sin Bcos B12.例3解21，21.|cos Baccos B21.ac35，又a7，c5.cos B，sin B.由余弦定理，得b2a2c22accos B32，b4.由正弦定理，得，sin Csin B.cb且B为锐角，C一定是