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文档简介

1、二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,三重积分的定义与性质,(与定积分性质相似),ch7-1复习,一. 重要结论,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,y型,x型,（在积分中注意使用对称性）,ch7-2复习,计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,xy

2、 型空间区域,坐标面投影法,坐标轴投影法,z 型空间区域,x 型区域,ch7-3复习,柱面坐标系中的体积元素为,进行积分计算,球面坐标系中体积元素为,其中,进行积分计算,若 是包含原点在内的闭曲面,(一) 立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,ch7-4复习,若光滑曲面方程为隐式,则,且,若光滑曲面方程为,则有,(二) 曲面的面积,(A 为 D 的面积),得D 的形心坐标:,当薄片是均匀的，质心称为形心(或中心).,即,(三) 物体的质心,1、平面薄片的质心(重心),2、空间物体的重心,当物体是均匀的，重心称为形心.,1、平面薄片的转动惯量,薄片对 x

3、轴 的转动惯量:,同理此薄片 对 x 轴、原点 的转动惯量分别为:,(四) 转动惯量,物体 对 z 轴 的转动惯量:,2、空间物体的转动惯量,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,1.,证明,证:左端,= 右端,二. 重要例题,2. 计算二重积分,在第一象限部分.,解: (1),两部分, 则,其中D 为圆域,把与D 分成,作辅助线,(2) 提示:,两部分,说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D 分成,3.,设函数 f (x) 连续且恒大于零,其中,(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +) 内的单调性;,(2) 证明 t 0 时,(03考研),解: (1) 因为,两边对 t 求导, 得,(2) 问题转化为证,即证,故有,因此 t 0 时,因,4. 计算二

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