概率论与数理统计主要内容小结

1、.概率论与数理统计主要内容小结概率部分1、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式：其中是空间S的一个划分。贝叶斯公式：其中是空间S的一个划分。2、互不相容与互不相关互不相容事件互相独立;两者没有必然联系3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。即二点分布，则分布律为即二项分布，则分布律为即泊松分布，则分布律为即均匀分布，则概率密度为即指数分布，则概率密度为即正态分布，则则概率密度为.连续性随机变量分布函数性质：（i），, (ii)分布函数连续对连续性随机变量，已知概率密度，则分布函数为；已知分布函数为，则概率密度.对连续性随机变量，已

2、知概率密度, 区间概率4、连续函数随机变量函数的概率密度设连续随机变量的概率密度为也是连续型随机变量，求Y的概率密度求法(i) 利用以下结论计算：如果函数处处可导，且恒有（或），则Y概率密度为：其中，是的反函数，且有(ii) 利用分布函数计算：先求值域，再在该值域求Y的分布函数则有.常用求导公式5、二维随机变量分布律对于二维连续性随机变量，其联合概率密度为其联合分布函数为则概率密度性质：（i） (ii) 已知概率密度求区域概率有边缘分布函数为边缘概率密度为条件分布函数为条件概率密度为对于离散情形，设联合分布律为边缘概率密度为，条件概率密度为，6、二维随机变量函数的分布设二维随机变量概率密度为，

3、分布函数为(i) Z=X+Y, 则Z的概率密度为当相互独立时，(ii) M=maxX,Y与N=minX,Y当相互独立时，7、数学期望(i) 求法：连续随机变量概率密度为，则；若, 则.离散随机变量分布律为，则;若, 则.若有二维的随机变量,其联合概率密度为，若, 则.(ii) 性质：相互独立，则有8、方差定义：，标准差（均方差）：.计算：性质：常见分布的数学期望和方差：两点分布：即二项分布，则即泊松分布，则即均匀分布，则即指数分布，则即正态分布，则9、协方差与相关系数定义：协方差: 相关系数：则有.性质：如果相互独立，则有且.10、独立与不相关关系不相关相互独立F为分布函数，而f为概率密度一般

4、情况下，相互独立不相关，但反之不成立；特殊情况，当时，相互独立不相关并且此时.11、切比雪夫(Chebyshev)不等式：设随机变量X的期望与方差为，则对任意正数，有, 即.进一步有：即12、两个中心极限定理定理1（独立同分布的中心极限定理）设随机变量相互独立，服从同一分布，有相同的数学期望和方差：，则当n充分大时，.定理2（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量服从参数为的二项分布，则当n充分大时，统计部分1、常用统计量设为总体，是来自总体的样本，定义样本平均值：, 样本方差： ，样本标准差（均方差）：样本k阶矩：2、常用正态总体相关的统计量（1）分布定义：设，则，特别.性质 (i) 可加性：设则

5、.(ii) 设则.(iii) 特例：设则(2) t 分布定义：设, 且相互独立，则统计量性质 (i) 概率密度为偶函数，关于y轴对称；当n趋于无穷大，该统计量趋于标准的正态分布；(ii) 对于分位点有：.(3) F分布定义：设, 且相互独立，则统计量性质 (i) 对于分位点有：3、正态总体样本均值与样本方差分布单个总体情形：设为总体，且服从是来自总体的样本，分别是样本均值与样本方差，有以下结论：(i) 而且有.(ii) , 即；且 两个正态总体情形：设是来自的样本，是来自的样本, 且两样本相互独立，为两样本均值，为两样本方差，则有(i) .(ii) 当时，(iii) 4. 点估计(1) 矩估计

6、法设概率密度或分布律中含个参数需要估计。(i) 求总体前k阶矩(ii) 由以上方程解得(iii) 以样本i阶矩代替 即得估计量.(2) 最大似然估计定义：给定一组样本观测值，使该观测值概率取最大的参数值为所求参数估计值。两种求法：I 直接用最大似然法估计计算(i) 写出似然函数 连续情形：，离散情形：(ii) 求使似然函数取最大值的参数两种方法：取对数，求导数，令导数为0解出估计值；若求导不行，则用直接分析法(iii) 由上写出估计值，再表示出估计量II 利用不变性计算若求函数的最大似然估计，其中u是单调函数，可先求最大似然估计，然后利用不变性知是的最大似然估计。5. 估计量评价标准无偏性：是

7、的估计量，如果, 则是的无偏估计量；有效性：是的无偏估计量，如果，则较更有效；一致性：是的估计量，当样本容量趋于无穷大，依概率收敛于.6. 置信区间基本的重要概念：置信水平：是参数落在置信区间的概率，即,两统计量分别为双则置信下限与置信上限，为置信水平。例如置信水平为95%，则置信区间几种情形：单个总体情形当已知，的置信区间，枢轴量双侧置信区间：,双则置信上、下限：单侧置信区间：，单侧置信上、下限：当未知，的置信区间，枢轴量双侧置信区间：,双则置信上、下限：单侧置信区间：，单侧置信上、下限：，当未知，的置信区间，枢轴量双侧置信区间：,双则置信上、下限：单侧置信区间：，单侧置信上、下限：. 两个

8、总体情形：当未知，的置信区间，枢轴量双侧置信区间：,双则置信上、下限：单侧置信区间：单侧置信上、下限：在求解置信区间时，先分清总体属于那种情况，然后写出置信区间，再代数值。7. 假设检验假设检验的基本原理：小概率事件在一次观测实验中几乎不可能发生显著性水平：小概率事件发生的概率，也是拒绝域对应事件概率，显著性水平越大，拒绝域越大。两类错误：对原假设，备择假设，第一类错误不真，接受，第二类错误不真，接受，为减少两类错误，需增加样本容量。假设检验的基本步骤：(i)提出假设；(ii)选取检验统计量；(iii) 确定拒绝域；(iv)计算观测值(v) 并作出拒绝与接收原假设判断P值检验：计算p值，与显著性水平比较，p值小于拒绝原假设，否则就接收原假设；p值计算方法是将观测值作为拒绝域临界点，代入拒绝域事件计算其概率。假设检验的情形：见书中164表，请复印下来，以便记忆，重点是1、2、3、7种情形，其余的也最好熟记。特别要注意，对假设检验问题，首先只看总体，是单个总体，还是两个总体，是对均值检验还是方差（精度）检验，若是均值检验，要看总体方差是已知还是未知，总之要分清情形；另外若是单侧检验，要写对原假设与备择假设，一般问有没显著改变，就是双侧检验，有没有显著提高就是右单侧检验，有没有显著降低就是左单侧检验；同时，把不含等于的情形作为备择假设，含有等于的作为原假设，如不超过多少，就是小